2025-2026学年下学期河南省开封五校高一数学2026年5月期中试卷含答案

这是一份2025-2026学年下学期河南省开封五校高一数学2026年5月期中试卷含答案，共11页。试卷主要包含了本试卷分选择题和非选择题两部分等内容，欢迎下载使用。
1．本试卷分选择题和非选择题两部分。满分 150 分，考试时间 120 分钟。
2. 答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3. 考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
4. 本卷命题范围:人教 A 版必修第二册第六章 一第八章第 4 节。
一、选择题:本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符 合题目要求的。
1. 复数 z=−i9−8i 的虚部为
A. -8 B. 8 C. -9 D. 9
2. 已知向量 a=m+1,2,b=3,−m ,若 a⊥b ,则 m=
A. -3 B. 0 C. 3 D. 4
3. 在平行四边形 ABCD 中, E 为 CD 的中点,点 F 在 AB 上,且 AB=3AF ,则 EF⏜=
A. 16AB−AD B. −16AB−AD
C. 56AB−AD D. −56AB−AD
4. 下列说法正确的是
A. 有一个面是多边形, 其余各面都是三角形的几何体叫做棱锥
B. 直角三角形绕一条边所在直线旋转一周得到的旋转体是圆锥
C. 如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形,那么这个棱锥不可能为六棱锥
D. 用一个平面去截棱锥, 底面与截面之间的部分组成的几何体是棱台
5. 在 △ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ,且 A=π4,csC=137,c=4 ,则 a=
A. 42 B. 1227 C. 2427 D. 723

6. 若水平放置的平面四边形 AOBC 按斜二测画法得到如图所示的直观图，其中 A′C′//O′B′,A′C′⊥B′C′,A′C′=1,O′B′=2 ，则以原四边形 AOBC 的边 AO 为轴旋转一周,得到的几何体的体积为
A. 723π B. 1423π
C. 62π D. 1023π
7. 任何一个复数 z=a+bi (其中 a,b∈R,i 为虚数单位)都可以表示成 z=rcsθ+isinθ (其中 r≥0,θ∈R) 的形式,通常称之为复数 z 的三角形式,法国数学家棣莫弗发现 rcsθ+isinθa =rncsnθ+isinnθn∈N∗ ,我们称这个结论为棣莫弗定理. 若复数 −sin11π8− ics 5π8 " m∈N∗ 为纯虚数,则正整数 m 的最小值为
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
8. 在 △ABC 中, AC⋅AB−CB=2BA⋅BC+AC ,则 cs2B 的最小值为
A. −23 B. −13 C. 13 D. 23
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分。在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要 求。全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。
9. 设 A,B,C 是三个不同的点， m ， n 是两条不同的直线， α ， β 是两个不同的平面，下列结论错误的是
A. 若 l⊄α,A∈li 则 A∉α
B. 若 A∈α,A∈β,B∈α,B∈β ,则 α∩β=AB
C. 若 m⊂α ; n⊂β ,则 m 与 n 为异面直线
D. 若 A,B,C 是平面 α 内不共线的三点, A∈β,B∈β ,则 C∉β
10. 已知复数 z1,z2,z1 为 z1 的共轭复数,则下列结论一定成立的是
A. z1+z1 为实数 B. z1=z1
C. 若 z1=z2 ,则 z1=±z2 D. z2z1=z2z1
11. 数学家欧拉曾提出欧拉线定理:任意三角形的外心、重心、垂心依次位于同一条直线上(重心在外心与垂心之间),且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半,这条直线被称为三角形的欧拉线. 已知 △ABC 的外心为 O ,重心为 G ,垂心为 H ,若 AB=23,AC=5,BC=3 ,则
A. AO⋅AB=6 B. CG⋅AB=−83
C. OH=OA+OB+OC D. AH+2AO=3AG
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分。
12. 已知向量 a 与 b 的夹角为 23π ，且 a=2 ， b=5 ，则 a 在 b 上的投影向量为_____.
13. 如图，在正三棱锥 A−BCD 中， ∠BAD=40∘ ，从 C 点拉紧一条无弹性的细绳绕过侧棱 AB ， AD 回到 C 点，若细绳的最短长度为 26 ，则该三棱锥的侧棱长为_____.

第 13 题图
如图，某湖泊沿岸有 A ， B ， C ， D 四个镇，已知 A 镇与 D 镇之间的距离为 3 km ， A 镇与 C 镇之间的距离为 6 km ,测得 ∠DAC=120∘,∠BCD=90∘,∠BDC=30∘ ,则 A,B 两镇之间的距离为_____km.

第 14 题图
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. (本小题满分 13 分)
已知复数 z=2m2−3m−2+m2−m−2i,m∈R .
(1)若 z 在复平面内对应的点位于第四象限，求 m 的取值范围；
(2)当 m=1 时， z 是关于 x 的方程 x2+px+q=0 的一个根，求实数 p,q 的值.
16. (本小题满分 15 分)
在 △ABC 中，内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ，且 a=3acsB+3bcsA .
(1)求 a2+c2ac 的值；
(2)若 B=2π3 ， △ABC 的面积为 1534 ，求 AC 边上的高.
17. (本小题满分 15 分)
如图是3D打印技术打印的一个艺术品，该艺术品外部的圆锥底面半径为 3 cm ，高为 5 cm ， 内部挖去一个高 a cm 的圆柱体.

(1)当 a=103 时，求该艺术品的体积；
(2)当 a 为何值时,该艺术品的表面积最大?
18. (本小题满分 17 分)
如图，在 △ABC 中， CA=2,CB=3,D,E 分别是边 AB,CB 上的点， CD 与 AE 交于点 O ,且 AD =13AB,BE=λBC0