【数学】江苏宿迁市沭阳县2025-2026学年度第二学期期中调研测试高二试题（学生版+解析版）

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1. 的值为（ ）
A. 5B. 8C. 10D. 36
2. 已知空间向量，若共面，则实数的值为（ ）
A. 0B. -1C. 1D.
3. 已知随机变量，且，则（ ）
A. 0.2B. 0.3C. 0.4D. 0.6
4. 已知直线的方向向量为，平面的法向量为，若，则实数的值为（ ）
A. B. C. D.
5. 某校高一新生中的四名同学打算参加“文学社”、“街舞社”、“美术社”三个社团．若每个社团至少有一名同学参加，每名同学至少参加一个社团且只能参加一个社团，则不同的参加方法的种数为（ ）
A. 18B. 36C. 48D. 72
6. 在正三棱锥中，是棱的中点，则点到直线的距离是（ ）
A. 3B. C. 8D.
7. 有甲，乙两个盒子，甲盒中有且仅有1个白球，乙盒中有k（）个白球和个黑球，现从乙盒中随机抽取i（）个球放入甲盒中，设放入后在甲盒中随机抽取一个球是白球的概率为，甲盒中含有白球个数的期望为，则（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
8. 如图，在三棱锥中，为的中点，平面，，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.
9. 设离散型随机变量的分布列如表，若离散型随机变量满足，则下列结果正确的是（ ）
A. B.
C. D.
10. 已知的展开式中，第5项与第4项的系数之比为，则（ ）
A.
B. 展开式中的常数项为
C. 展开式中二项式系数最大项为
D. 展开式中系数最大的项为
11. 如图点是棱长为2的正方体的表面上一个动点，是线段的中点，则（ ）
A. 当为的中点时，
B. 当在面上，且直线与所成的角为时，点的轨迹长度为
C. 三棱锥体积的最大值为
D. 当平面时，线段长度最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，满分15分.
12. 已知向量，向量，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是______.
13. 某晚会由4个歌舞节目和2个机器人表演节目组成，若要求机器人表演节目不能相邻出演且前3个节目中至少有一个是机器人表演节目，则不同的节目安排方法有________种．
14. 在数轴上，一枚棋子初始位于0，每步移动规则如下，若棋子位于1，则下一步以概率向右移动一格，以概率向左移动一格；若棋子位于其他位置，则下一步以概率向右移动一格，以概率向左移动一格，当棋子首次到达2时游戏获胜，首次到达时游戏失败，则获胜的概率为________．
四、解答题：本题共5大题，满分77分.每题要有详细的解答过程.
15. 甲、乙、丙三位教师指导五名学生，，，，参加全国高中数学联赛，
（1）若每位教师至多指导一名学生，每名学生至多接受一位教师指导，求共有多少种分配方案；
（2）若每位教师至少指导一名学生，教师甲只指导一名学生，每名学生有且只有一位指导教师，求共有多少种分配方案.
16. 如图，四棱锥的底面是菱形，，，侧棱底面且，是的中点．
（1）证明：平面平面；
（2）求与平面所成角的正切值．
17. 甲、乙、丙三人进行羽毛球比赛，规定：第一局由甲、乙对打，丙轮空；每局的比赛的胜者与轮空者进行下一局对打，负者下一局轮空，如此循环．设甲对乙、丙的胜率均为，乙、丙之间的胜率互为．
（1）求甲连续打前四局比赛的概率；
（2）前四局中，求在第二局乙获胜的条件下甲轮空两局的概率；
（3）如果甲胜一局得2分，输一局不得分，记打完前三局后甲的得分为，求的分布列和期望．
18. 把一副三角板按如图所示的方式拼接，其中，．将沿翻折至，使得二面角为直二面角．
（1）证明：平面；
（2）若在同一个球面上，求该球的半径；
（3）求平面与平面所成角的余弦值．
19. 已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）讨论的单调性；
（3）若有极小值，且，求a的取值范围.
0
1
0.6