湖北省襄阳市第四中学2026届高三下学期阶段检测（二）数学试卷含解析（word版）

这是一份湖北省襄阳市第四中学2026届高三下学期阶段检测（二）数学试卷含解析（word版），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求
1. 若 ，则复数
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】.
2. 已知集合 则符合条件的集合 的个数为
A. 2 B. 6 C. 7 D. 8
【答案】C
【解析】集合 , ,所以 可能的取值为0,1,2,即集合 , 是 的真子集,有 7 个.
3.圆 与圆 的公共弦长为
A. 2 B. C. D. 4
【答案】D
【解析】已知两圆方程: 圆 ,圆心 ,半径 ,
圆
将两圆方程相减消去二次项,得到公共弦方程 ,
化简得: .
根据点到直线的距离公式,圆心 到公共弦的距离: ,
根据垂径定理,公共弦长 .
4.已知 为递减的等比数列,且 ,则公比
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】 为递减的等比数列,若 ,数列各项正负交替,不可能保持单调递减,
,数列所有项符号一致;
又 ,故数列所有项均为正数.
,结合 ,得 .
,
代入 得: .
整理得 ,解得 (舍去,因数列递减要求 ) 或 .
5.已知一条河的两岸平行,一艘船从河的岸边 处出发，向对岸航行，若船的速度 ，水流速度 ，且船实际航行的速度的大小为
A. 2B. C. D. 12
【答案】C
【解析】
设船实际航行的速度为 ,则 ,
又 ,所以 ,解得 (负值舍去).
6.已知 为球 的半径， 为线段 上的点，且 ，过 且垂直于 的平面截球面得到圆 ，若圆 的面积为 ，则
A. B. 3 C. D. 4
【答案】B
【解析】如图所示,由题得 .
设球的半径为 ,则 ,
所以 .
7.已知函数 ,且 ,则实数 的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
令 ,则 ,
故 在 上单调递增,且 为奇函数.
不等式 ,即 ,
即 ,则
故 ,即 ,所以 .
8.已知点 在直线 上移动，椭圆 以 和 为焦点且经过点 ，则椭圆 的离心率的最大值为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】椭圆 以 为焦点,即 ,
所以设椭圆方程 ,
联立方程 ,
消去 得出,
由题意可得 ,
即 ,得出 或 (舍去),解得 ,
所以 ,
所以椭圆 的离心率的最大值为 .
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.在 中,内角 的对边分别为 ,且 ,则 的可能取值为
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】在中，由余弦定理得，
即，解得或．.
10.下列说法正确的是
A. 若 ,则 的值为 3 或 2
B. 从 6 名男生和 2 名女生中选出 3 名, 其中至少有 1 名女生的选法共有 42 种
C. 的展开式中 的系数为 -14
D. 从 5 本不同的书中选出 3 本分配给 3 位同学, 每人一本, 则分配方案总数为 60
【答案】ACD
11.已知抛物线 的焦点为 ,过 的直线 交 于 两点,直线 交 于另一点 ,则
A.
B. 的内心在 轴上
C. 若 ,则
D. 若 ,则 的面积为
【答案】ABD
【解析】因为抛物线 的焦点为 ,所以 ,
解得 ,则抛物线方程为 ,
如图,作出符合题意的图形,作 轴,
对于 ,设 ,则 ,由题意得 是直线 的倾斜角,
由斜率的几何意义得 ,
由诱导公式得 ,
由焦半径公式得 ,在 中,可得 ,
则 ,故 A 正确,
对于 ,设 的方程为 ,
联立方程组 ,可得 ,
由韦达定理得 ,则 ,
由斜率公式得 ,
因为 ,所以 ,可得 ,
则 ,得到 被 轴平分,
可得 的内心在定直线上,故 正确,
对于 ,因为 被 轴平分,所以 ,
设 ,
因为 ,所以 ,
由二倍角公式得 ,解得 (另一根舍去),
则 ，联立方程组 ，解得 ，
此时 ,与 不符,故 错误,
对于 ,因为 ,
所以 或 ,
设直线 的方程为 ,设 ,
联立方程组 ,可得 ,
由韦达定理得 ,则 ,
由弦长公式得 ,
由焦半径公式得 ,且 ,
而直线 的方程为 ,设 到 的距离为 ,
由点到直线的距离公式得 ,
则 ,
因为 ,所以 平分 ,
由角平分线性质得 ,可得 ,
化简得 ,解得 ,则 ,互补同理可得,故 正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12.已知函数 的部分图象如图所示，则 为________.
【答案】
【解析】由图象得 的最大值为 3,最小值为 -3,所以 ,
,解得 ,所以 ,
又 过点 ,代入可得 ,所以 ,
则 ,解得 ,
因为 ,所以 .
13.已知曲线 ,当 轴时, _______.
【答案】
【解析】当 轴时,设 ,则
则有:
记 ,则有:
令 ,解得:
故当 时, 在区间 上单调递减;
当 时, 在区间 上单调递增;
故有:
故 .
14.2025 年春晚, 一场别开生面的机器人舞蹈表演震撼了观众。现在编排一个动作,机器人从原点 出发,每一次等可能地向左或向右或向上或向下移动一个单位,共移动 3 次。则该机器人在有且仅有一次经过(含到达)点 位置的条件下，水平方向移动 2 次且竖直方向移动 1 次的概率为________.
【答案】
【解析】设事件 “有且仅有一次经过 (含到达) ”,事件 “水平方向移动 2 次且竖直方向移动 1 次”,
按移动到 位置需要 1 步还是 3 步分类讨论.
记 向左， 向右， 向上， 向下，
(1)若第 1 步到 为事件 ，则移动 3 次满足要求的是 ， ， 或 或 ,
所以 ;
(2)若 3 步到 为事件 ，则移动 3 次满足要求的是 ，
所以 .
因为 ,且 互斥,所以 .
满足 的情况有: ; 所以 , 所以 .
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15.已知双曲线 的右焦点为 ,点 在 上,且 轴.
(1)求 的方程；
(2)过 且斜率大于 0 的直线 与 的右支交于 两点，若 ，求 的一般方程 .
【解析】(1)因为点 在 上,所以 ,
又 为 的右焦点， 轴，则 ，故 ，
所以 ,因此 的方程为 .
(2)设直线 的方程为 ，
因为斜率大于 0 的直线 与 的右支交于两点，
所以 ,即 ,故 ,联立方程 ,
消去 得 ,则 ,
所以 ,
解得 ,即
故直线 的方程为 .
16.小林、小张、小陈、小王 4 位同学参加校园文化知识竞赛活动, 每位同学只回答一个问题, 且小林、 小张、小陈、小王答对的概率分别为 ,每位同学答对与否相互独立.
(1)在小林答对的情况下，求恰有 3 位同学答对题目的概率；
(2)若答对题目得 2 分,答错题目得 0 分, 表示 4 位同学得分之和,求 的数学期望.
(期望线性公式: )
【解析】(1)小张、小陈、小王答对题目分别记为事件 ，
小张、小陈、小王三人中恰有两人答对题目记为事件 ,
-3 分
,
故在小林答对的情况下,求恰有 3 位同学答对题目的概率为 .
(2)设 表示第 位同学的得分 ，分别对应小林，小张，小陈，小王)，
则 ,由数学期望的性质可知
对于 ,答对得 2 分,答错得 0 分,则

则 .
17.已知数列 的前 项和为 ,且满足 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)若数列 的前 项和为 ，求证:对于任意 ，都有 .
【解析】
(1) 当 时,由 得 ,
所以 ,即 ,
当 时， ，所以 ，所以 ，故 ，
所以 是以 1 为首项, 为公比的等比数列
所以 ,即
(2)
,
所以 ,
当 时, ,
不等式成立,当 时,
综上 .
18.已知函数 .
(1) 当 时, ,求 的取值范围;
(2) 函数 有两个不同的极值点 (其中 ), 证明: .
【解析】(1)函数 ,且 ,
① 当 时，因为 ，故 恒成立，此时 单调递增，所以 成立；
②当 时，令 ，得 ，
当 时 ,此时 单调递减，故 ，不满足题意；
综上可知: .
即 的取值范围为 .
(2)由 ，
故 ，
因为函数有两个不同的极值点 (其中 ),故
要证: ,只要证: .
因为 ,于是只要证明 即可
因为 ,故 ,
因此只要证 ,等价于证 ,
即证 ,令 ,等价于证明 ,
令 ,
因为 ,所以 ,
故 在 上单调递增,所以 ,得证.
19.四面体是最简单的多面体,只需 4 个三角形面, 6 条棱, 4 个顶点, 就能围成一个封闭空间, 这种用最少元素实现三维存在的特性, 让它在多面体家族中具有最原始而纯粹的地位。
(1)已知四面体 的棱长均为 分别是棱 的中点， 为直线 上一点， 为底面 内部的一个点, 到侧面 ,侧面 ,侧面 的距离分别是 .
(I) 求 的值;
(II) 求直线 与直线 所成角的余弦值的最大值.
(2)若存在具有如下性质的四面体，其中 2 条棱长度为 ，另外 4 条棱长度为 2，求实数 的取值范围.
【解析】(1)设 到底面 的高为 ，则由等体积公式可知
又因为
所以
(2)设正四面体 的棱长为 ，
显然 ,
,
所以 ,
,
,
,
所以 ,
要使直线 与直线 所成角的余弦值最大,
即 最大,
当 时， ，
当 时， ,
当 时,易知 ,
,
当 时,易知 ,
,
综上所诉， ，
故直线 与直线 所成角的余弦值的最大值为 .
法二: 建系也可以做, 酌情给分
(2). (i)设 是这两条棱的公共顶点，则因
由 ，得 得 ，
设 是 的中点,由 得 ,解得 .
另一方面,由 得 ,解得 .
所以 化简得
(ii) 设 ，这两条棱没有公共点，
由 及 中的不等关系，
得 ,解得 .
综合(i)(ii)知， 的取值范围为 .