2026届广东省深圳市西乡中学高三第四次模拟考试数学试卷含解析

这是一份2026届广东省深圳市西乡中学高三第四次模拟考试数学试卷含解析，共9页。试卷主要包含了考生必须保证答题卡的整洁，已知集合A，B=,则A∩B=，已知函数，关于x的方程f，设集合，，若，则等内容，欢迎下载使用。
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．复数的共轭复数在复平面内所对应的点位于( )
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．已知，是双曲线的两个焦点，过点且垂直于轴的直线与相交于，两点，若，则△的内切圆的半径为（ ）
A．B．C．D．
3．已知命题若，则，则下列说法正确的是（ ）
A．命题是真命题
B．命题的逆命题是真命题
C．命题的否命题是“若，则”
D．命题的逆否命题是“若，则”
4．已知圆锥的高为3，底面半径为，若该圆锥的顶点与底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的体积与圆锥的体积的比值为( )
A．B．C．D．
5．已知集合A，B=,则A∩B=
A．B．C．D．
6．已知函数，关于x的方程f（x）＝a存在四个不同实数根，则实数a的取值范围是（ ）
A．（0，1）∪（1，e）B．
C．D．（0，1）
7．设集合，，若，则（ ）
A．B．C．D．
8．设为坐标原点，是以为焦点的抛物线上任意一点，是线段上的点，且，则直线的斜率的最大值为（ ）
A．1B．C．D．
9． “纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样.为了测算某火纹纹样（如图阴影部分所示）的面积，作一个边长为3的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷200个点，己知恰有80个点落在阴影部分据此可估计阴影部分的面积是（ ）
A．B．C．10D．
10．关于圆周率，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验.受其启发，某同学通过下面的随机模拟方法来估计的值：先用计算机产生个数对，其中，都是区间上的均匀随机数，再统计，能与构成锐角三角形三边长的数对的个数﹔最后根据统计数来估计的值.若，则的估计值为（ ）
A．B．C．D．
11．如图在一个的二面角的棱有两个点，线段分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于棱，且，则的长为（ ）
A．4B．C．2D．
12．方程的实数根叫作函数的“新驻点”，如果函数的“新驻点”为，那么满足（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．在二项式的展开式中，的系数为________.
14．已知是函数的极大值点，则的取值范围是____________．
15．在中，角所对的边分别为，为的面积，若，，则的形状为__________，的大小为__________．
16．已知是定义在上的偶函数，其导函数为．若时，，则不等式的解集是___________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）武汉有“九省通衢”之称，也称为“江城”，是国家历史文化名城.其中著名的景点有黄鹤楼、户部巷、东湖风景区等等.
（1）为了解“五·一”劳动节当日江城某旅游景点游客年龄的分布情况，从年龄在22岁到52岁的游客中随机抽取了1000人，制成了如图的频率分布直方图：
现从年龄在内的游客中，采用分层抽样的方法抽取10人，再从抽取的10人中随机抽取4人，记4人中年龄在内的人数为，求；
（2）为了给游客提供更舒适的旅游体验，该旅游景点游船中心计划在2020年劳动节当日投入至少1艘至多3艘型游船供游客乘坐观光.由2010到2019这10年间的数据资料显示每年劳动节当日客流量（单位：万人）都大于1.将每年劳动节当日客流量数据分成3个区间整理得表：
以这10年的数据资料记录的3个区间客流量的频率作为每年客流量在该区间段发生的概率，且每年劳动节当日客流量相互独立.
该游船中心希望投入的型游船尽可能被充分利用，但每年劳动节当日型游船最多使用量（单位：艘）要受当日客流量（单位：万人）的影响，其关联关系如下表：
若某艘型游船在劳动节当日被投入且被使用，则游船中心当日可获得利润3万元；若某艘型游船劳动节当日被投入却不被使用，则游船中心当日亏损0.5万元.记（单位：万元）表示该游船中心在劳动节当日获得的总利润，的数学期望越大游船中心在劳动节当日获得的总利润越大，问该游船中心在2020年劳动节当日应投入多少艘型游船才能使其当日获得的总利润最大？
18．（12分）已知都是各项不为零的数列，且满足其中是数列的前项和，是公差为的等差数列．
（1）若数列是常数列，，，求数列的通项公式；
（2）若是不为零的常数），求证：数列是等差数列；
（3）若（为常数，），．求证：对任意的恒成立．
19．（12分）已知数列满足：对一切成立.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
20．（12分）设函数，其中是自然对数的底数.
（Ⅰ）若在上存在两个极值点，求的取值范围；
（Ⅱ）若，函数与函数的图象交于，且线段的中点为，证明：.
21．（12分）直线与抛物线相交于，两点，且，若，到轴距离的乘积为．
（1）求的方程；
（2）设点为抛物线的焦点，当面积最小时，求直线的方程．
22．（10分）已知数列是公比为正数的等比数列，其前项和为，满足，且成等差数列.
（1）求的通项公式；
（2）若数列满足，求的值.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】
由复数除法运算求出，再写出其共轭复数，得共轭复数对应点的坐标．得结论．
【详解】
，，对应点为，在第四象限．
故选：D.
【点睛】
本题考查复数的除法运算，考查共轭复数的概念，考查复数的几何意义．掌握复数的运算法则是解题关键．
2、B
【解析】
设左焦点的坐标， 由AB的弦长可得a的值，进而可得双曲线的方程，及左右焦点的坐标，进而求出三角形ABF2的面积，再由三角形被内切圆的圆心分割3个三角形的面积之和可得内切圆的半径.
【详解】
由双曲线的方程可设左焦点，由题意可得，
由，可得，
所以双曲线的方程为:
所以，
所以
三角形ABF2的周长为
设内切圆的半径为r，所以三角形的面积，
所以，
解得，
故选：B
【点睛】
本题考查求双曲线的方程和双曲线的性质及三角形的面积的求法，内切圆的半径与三角形长周长的一半之积等于三角形的面积可得半径的应用，属于中档题.
3、B
【解析】
解不等式，可判断A选项的正误；写出原命题的逆命题并判断其真假，可判断B选项的正误；利用原命题与否命题、逆否命题的关系可判断C、D选项的正误.综合可得出结论.
【详解】
解不等式，解得，则命题为假命题，A选项错误；
命题的逆命题是“若，则”，该命题为真命题，B选项正确；
命题的否命题是“若，则”，C选项错误；
命题的逆否命题是“若，则”，D选项错误．
故选：B．
【点睛】
本题考查四种命题的关系，考查推理能力，属于基础题.
4、B
【解析】
计算求半径为，再计算球体积和圆锥体积，计算得到答案.
【详解】
如图所示：设球半径为，则，解得.
故求体积为：，圆锥的体积：，故.
故选：.
【点睛】
本题考查了圆锥，球体积，圆锥的外接球问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.
5、A
【解析】
先解A、B集合，再取交集。
【详解】
,所以B集合与A集合的交集为，故选A
【点睛】
一般地，把不等式组放在数轴中得出解集。
6、D
【解析】
原问题转化为有四个不同的实根，换元处理令t，对g（t）进行零点个数讨论.
【详解】
由题意，a＞2，令t，
则f（x）＝a⇔⇔
⇔⇔．
记g（t）．
当t＜2时，g（t）＝2ln（﹣t）（t）单调递减，且g（﹣2）＝2，
又g（2）＝2，∴只需g（t）＝2在（2，+∞）上有两个不等于2的不等根．
则⇔，
记h（t）（t＞2且t≠2），
则h′（t）．
令φ（t），则φ′（t）2．
∵φ（2）＝2，∴φ（t）在（2，2）大于2，在（2，+∞）上小于2．
∴h′（t）在（2，2）上大于2，在（2，+∞）上小于2，
则h（t）在（2，2）上单调递增，在（2，+∞）上单调递减．
由，可得，即a＜2．
∴实数a的取值范围是（2，2）．
故选：D．
【点睛】
此题考查方程的根与函数零点问题，关键在于等价转化，将问题转化为通过导函数讨论函数单调性解决问题.
7、A
【解析】
根据交集的结果可得是集合的元素，代入方程后可求的值，从而可求.
【详解】
依题意可知是集合的元素，即，解得，由，解得.
【点睛】
本题考查集合的交，注意根据交集的结果确定集合中含有的元素，本题属于基础题.
8、A
【解析】
设，因为，得到，利用直线的斜率公式，得到，结合基本不等式，即可求解.
【详解】
由题意，抛物线的焦点坐标为，
设，
因为，即线段的中点，所以，
所以直线的斜率，
当且仅当，即时等号成立，
所以直线的斜率的最大值为1.
故选：A.
【点睛】
本题主要考查了抛物线的方程及其应用，直线的斜率公式，以及利用基本不等式求最值的应用，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.
9、D
【解析】
直接根据几何概型公式计算得到答案.
【详解】
根据几何概型：，故.
故选：.
【点睛】
本题考查了根据几何概型求面积，意在考查学生的计算能力和应用能力.
10、B
【解析】
先利用几何概型的概率计算公式算出，能与构成锐角三角形三边长的概率，然后再利用随机模拟方法得到，能与构成锐角三角形三边长的概率，二者概率相等即可估计出.
【详解】
因为，都是区间上的均匀随机数，所以有，，若，能与构成锐角三角形三边长，
则，由几何概型的概率计算公式知，
所以.
故选：B.
【点睛】
本题考查几何概型的概率计算公式及运用随机数模拟法估计概率，考查学生的基本计算能力，是一个中档题.
11、A
【解析】
由，两边平方后展开整理，即可求得，则的长可求．
【详解】
解：，
，
，，
，，
．
，
，
故选：．
【点睛】
本题考查了向量的多边形法则、数量积的运算性质、向量垂直与数量积的关系，考查了空间想象能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
12、D
【解析】
由题设中所给的定义，方程的实数根叫做函数的“新驻点”，根据零点存在定理即可求出的大致范围
【详解】
解：由题意方程的实数根叫做函数的“新驻点”，
对于函数，由于，
，
设，该函数在为增函数，
， ，
在上有零点，
故函数的“新驻点”为，那么
故选：．
【点睛】
本题是一个新定义的题，理解定义，分别建立方程解出存在范围是解题的关键，本题考查了推理判断的能力，属于基础题..
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、60
【解析】
直接利用二项式定理计算得到答案.
【详解】
二项式的展开式通项为：，
取，则的系数为.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力和应用能力.
14、
【解析】
方法一：令，则，，当，时，，单调递减，∴时，，，且，∴在上单调递增，时，，，且，∴在上单调递减，∴是函数的极大值点，∴满足题意；当时，存在使得，即，又在上单调递减，∴时，，，所以，这与是函数的极大值点矛盾．综上，．
方法二：依据极值的定义，要使是函数的极大值点，由知须在的左侧附近，，即；在的右侧附近，，即．易知，时，与相切于原点，所以根据与的图象关系，可得．
15、等腰三角形
【解析】
∵
∴根据正弦定理可得，即
∴
∴
∴的形状为等腰三角形
∵
∴
∴
由余弦定理可得
∴，即
∵
∴
故答案为等腰三角形，
16、
【解析】
构造，先利用定义判断的奇偶性，再利用导数判断其单调性，转化为，结合奇偶性，单调性求解不等式即可.
【详解】
令，则是上的偶函数，
，则在上递减，于是在上递增．
由得，
即，
于是，
则，
解得．
故答案为：
【点睛】
本题考查了利用函数的奇偶性、单调性解不等式，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于较难题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）投入3艘型游船使其当日获得的总利润最大
【解析】
（1）首先计算出在，内抽取的人数，然后利用超几何分布概率计算公式，计算出.
（2）分别计算出投入艘游艇时，总利润的期望值，由此确定当日游艇投放量.
【详解】
（1）年龄在内的游客人数为150，年龄在内的游客人数为100；若采用分层抽样的方法抽取10人，则年龄在内的人数为6人，年龄在内的人数为4人.
可得.
（2）①当投入1艘型游船时，因客流量总大于1，则（万元）.
②当投入2艘型游船时，
若，则，此时；
若，则，此时；
此时的分布列如下表：
此时（万元）.
③当投入3艘型游船时，
若，则，此时；
若，则，此时；
若，则，此时；
此时的分布列如下表：
此时（万元）.
由于，则该游船中心在2020年劳动节当日应投入3艘型游船使其当日获得的总利润最大.
【点睛】
本小题主要考查分层抽样，考查超几何分布概率计算公式，考查随机变量分布列和期望的求法，考查分析与思考问题的能力，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.
18、（1）；（2）详见解析；（3）详见解析.
【解析】
(1)根据,可求得,再根据是常数列代入根据通项与前项和的关系求解即可.
(2)取,并结合通项与前项和的关系可求得再根据化简可得,代入化简即可知,再证明也成立即可.
(3)由(2) 当时,,代入所给的条件化简可得,进而证明可得,即数列是等比数列.继而求得,再根据作商法证明即可.
【详解】
解：
．
是各项不为零的常数列,
则,
则由,
及得,
当时,,
两式作差,可得．
当时,满足上式,
则；
证明：,
当时,,
两式相减得：
即．
即．
又,
,
即．
当时,,
两式相减得：．
数列从第二项起是公差为的等差数列．
又当时,由得,
当时,由,得．
故数列是公差为的等差数列；
证明：由,当时,
,即,
,
,即,
即
,
当时,即．
故从第二项起数列是等比数列,
当时,．
．
另外,由已知条件可得,
又,
,
因而．
令,
则．
故对任意的恒成立．
【点睛】
本题主要考查了等差等比数列的综合运用,需要熟练运用通项与前项和的关系分析数列的递推公式继而求解通项公式或证明等差数列等.同时也考查了数列中的不等式证明等,需要根据题意分析数列为等比数列并求出通项,再利用作商法证明.属于难题.
19、（1）；（2）
【解析】
（1）先通过求得，再由得，和条件中的式子作差可得答案；
（2）变形可得，通过裂项求和法可得答案.
【详解】
（1）①，
当时，，
，
当时，②，
①②得：，
，
适合，
故；
（2），
.
【点睛】
本题考查法求数列的通项公式，考查裂项求和，是基础题.
20、（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.
【解析】
（Ⅰ）依题意在上存在两个极值点，等价于在有两个不等实根，由参变分类可得，令，利用导数研究的单调性、极值，从而得到参数的取值范围；
（Ⅱ）由题解得，，要证成立，只需证：，即：，只需证：，设，即证：，再分别证明，即可；
【详解】
解：（Ⅰ）由题意可知，，
在上存在两个极值点，等价于在有两个不等实根，
由可得，，令，
则，令，
可得，当时，，
所以在上单调递减，且
当时，单调递增；
当时，单调递减；
所以是的极大值也是最大值，又当，当大于0趋向与0，
要使在有两个根，则，
所以的取值范围为；
（Ⅱ）由题解得，，要证成立，
只需证：
即：，
只需证：
设，即证：
要证，只需证：
令，则
在上为增函数
，即成立；
要证，只需证明：
令，则
在上为减函数，，即成立
成立，所以成立.
【点睛】
本题考查利用导数研究函数的单调性、极值，利用导数证明不等式，属于难题;
21、（1）；（2）
【解析】
（1）设出两点的坐标，由距离之积为16，可得.利用向量的数量积坐标运算，将转化为.再利用两点均在抛物线上，即可求得p的值，从而求出抛物线的方程；
（2）设出直线l的方程，代入抛物线方程，由韦达定理发现直线l恒过定点，将面积用参数t表示，求出其最值，并得出此时的直线方程.
【详解】
解：（1）由题设，
因为，到轴的距离的积为，所以，
又因为，，
，
所以抛物线的方程为．
（2）因为直线与抛物线两个公共点，所以的斜率不为，
所以设
联立，得，
即，，
即直线恒过定点，
所以，
当时，面积取得最小值，此时.
【点睛】
本题考查了抛物线的标准方程的求法，直线与抛物线相交的问题，其中垂直条件的转化，直线过定点均为该题的关键，属于综合性较强的题.
22、（1）（2）
【解析】
（1）由公比表示出，由成等差数列可求得，从而数列的通项公式；
（2）求（1）得，然后对和式两两并项后利用等差数列的前项和公式可求解．
【详解】
（1）∵是等比数列，且成等差数列
∴，即
∴，解得：或
∵，∴
∵
∴
（2）∵
∴
【点睛】
本题考查等比数列的通项公式，考查并项求和法及等差数列的项和公式．本题求数列通项公式所用方法为基本量法，求和是用并项求和法．数列的求和除公式法外，还有错位相关法、裂项相消法、分组（并项）求和法等等．
劳动节当日客流量
频数（年）
2
4
4
劳动节当日客流量
型游船最多使用量
1
2
3
2.5
6
2
5.5
9