最值问题（绝对值与线段最值）—2026浙江中考数学高阶能力拓展专题练习（含解析）

这是一份最值问题（绝对值与线段最值）—2026浙江中考数学高阶能力拓展专题练习（含解析），共5页。试卷主要包含了绝对值相关最值问题，几何单条线段相关最值问题，几何多条线段相关最值问题等内容，欢迎下载使用。
1． 数轴上两点之间的距离可以由两点所表示的数来刻画，如数轴上 A、B 两点分别表示 -3 和 5，则 A、B 两点之间的距离为 |5−(−3)|−|5+3|=8. 在求 |x+2|+|x−3| 的最小值时，先把式子化为 |x−(−2)|+|x−3|，然后借助于数轴分析即可得到最小值为 5. 按照这样的方法，式子 |x−2|−|x+1| 的最大值为 ．
2．我们知道，|3-1|可理解为3与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理|a+5|也可理解为a与-5两数在数轴上所对应的两点之间的距离.请完成：
⑴若|x-2|=3，则x= ；
⑵|x+1|+|x+a|+|x-2|的最小值是5，则a= .
3．已知a，b，c为3个自然数，满足a+2b+3c=2021，其中a≤b≤c，则|a-b|+|b-c|+|c-a|的最大值是 .
4．若a1，a2，a3，a4，a5互不相等的正偶数，满足(2020−a1)(2020−a2)(2020−a3)(2020−a4)(2020−a5)=242，则|x−a1|+|x−a2|+|x−a3|+|x−a4|+|x−a5|的最小值为 .
5．对于平面直角坐标系中的任意两点P1x1,y1，P2x2,y2，我们把x1−x2+y1−y2叫做P1，P2两点间的直角距离，记作dP1,P2．
（1）已知A1,1,B5,4，求dA,B．
（2）已知点O为坐标原点，动点Px,y满足dO,P=2，请写出y与x之间的关系式．
（3）设点P0x0,y0是一定点，点Qx,y是直线y=ax+b上的动点，我们把dP0,Q的最小值叫做点P0到直线y=ax+b的直角距离．试求点M1,−3到直线y=x+2的直角距离．
6．阅读材料：数轴是沟通数与形的重要桥梁，利用数轴可以直观地理解很多代数问题．对于数轴上的两点A，B，我们把A，B两点所表示的数之差的绝对值，叫做A，B两点之间的距离，记作AB．例如，数轴上表示2和5的两点之间的距离为2−5=−3=3；数轴上表示−1和−4的两点之间的距离为−1−−4=−1+4=3=3．
完成下列各题∶
（1）数轴上表示3和−4的两点之间的距离为： ；
（2）①若x−3=5，则x= ；
②若数轴上点M表示的数为x，点N表示的数为−2，点P表示的数为5，且MN+MP=10，则x= ；
（3）x+2+2x−1+3x−4+4x−7+5x−10的最小值为 ．
二、几何单条线段相关最值问题
7．“山高水阔知何处？巧构全等觅飞痕”如图所示，两条互相垂直的数轴相交于O，点A在O右侧6个单位长度处，点B是O下方y轴上一动点，连接AB，过点A作AC⊥AB，若AC=AB，点M在O左侧x轴上1个单位长度处，连接CM，CM的最小值为 个单位长度．
8．如图，点E是正方形ABCD边BC上一动点，（点E不与点B、C重合），连接DE，过点A作AF⊥DE交CD于F，垂足为P，连接PC，已知正方形的边长为2，则PC的最小值为 ．
9．如图所示，在扇形OAB中，∠AOB=90°，半径OA=4，点F位于AB的13处且靠近点A的位置.点C、D分别在线段OA、OB上，CD=4,E为CD的中点，连接EF.在CD滑动过程中（CD长度始终保持不变），当EF取最小值时，BD的长为 .
10．如图，在边长为4的正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的动点，M、N分别是EF、AF的中点，则MN长的最大值是 ．
11． 在△ABC中，∠B=105°，∠BCA=45°，BC=1，点 D在边AB上运动(不与A重合)，以AD为边向△ABC外作正△ADE，如图，过点D作射线垂直于线段 DE，F为射线上一动点，取EF中点G，连结CG，则CG的最小值为 .
12．如图，在△ABC中，∠ACB=90°,∠ABC=30°，将△ABC绕顶点C顺时针旋转，旋转角为θ0°NP=5−−2=7，
∴x−−2+x−5=10，
当点M在点N的左侧时，−x−2+5−x=10，解得x=−72；
当点M在点P的右侧时，x+2+x−5=10，解得x=132；
故答案为：−3.5或6.5；
（3）由题意可得：x+2+2x−1+3x−4+4x−7+5x−10表示数x到−2的距离，x到1的距离的2倍，到4的距离的3倍，到7的距离的4倍，到10的距离的5倍的和，
故当x=7时，此时x+2+2x−1+3x−4+4x−7+5x−10的和最小为7+2+2×7−1+3×7−4+4×7−7+5×7−10
=9+12+9+0+15=45．
【分析】（1）根据两点间的距离公式进行求解即可；
（2）①根据两点间的距离公式，进行求解即可；
②分点M在点N的左侧和点M在点P的右侧，两种情况进行讨论即可；
（3）根据绝对值的意义，可得15个距离的和，再进行计算求解即可．
（1）解：3−−4=7；
故答案为：7；
（2）①由题意，x=3+5=8或x=3−5=−2；
故答案为： 8或−2；
②MN+MP=10>NP=5−−2=7，
∴x−−2+x−5=10，
当点M在点N的左侧时，−x−2+5−x=10，解得x=−72；
当点M在点P的右侧时，x+2+x−5=10，解得x=132；
故答案为：−3.5或6.5；
（3）x+2+2x−1+3x−4+4x−7+5x−10表示数x到−2的距离，x到1的距离的2倍，到4的距离的3倍，到7的距离的4倍，到10的距离的5倍的和，
故当x=7时，此时x+2+2x−1+3x−4+4x−7+5x−10的和最小为7+2+2×7−1+3×7−4+4×7−7+5×7−10
=9+12+9+0+15=45．
7．【答案】6
【解析】【解答】解：如图，过点C作CD⊥x轴于点D，
由题意可得：A6,0，
∵∠ACD+∠CAD=90°，∠BAC=∠CAD+∠BAO=90°，
∴∠ACD=∠BAO，
在△ACD和△BAO中，
∠AOB=∠CDA=90°∠ACD=∠BAOAC=AB，
∴△ACD≌△BAOAAS，
∴CD=AO，
∵A6,0，
∴CD=AO=6，
∴点C在平行于x轴且与x轴距离为6的直线上运动，当CM垂直于这条直线时，CM最短，此时CM=CD=6，
故答案为：6．
【分析】
本题考查了全等三角形的判定与性质，通过全等三角形确定点的运动轨迹，再利用垂线段最短的性质求最短距离是解决本题的关键.先过点C作CD⊥x轴，证明△ACD≌△BAO，得出CD=AO=6，从而确定点C在平行于x轴且与x轴距离为6的直线上运动，根据垂线段最短，当CM垂直于这条直线时，CM最短，其长度为6.
8．【答案】5−1​​​​​​​
【解析】【解答】解：∠APD=90°，AD=2，故点P在以AD为直径的圆上运动，圆心为M，半径DM=1，
当C、P、M共线时，PC取最小值，
CM=12+22=5，PCmin=5-1
故答案为：5−1.
【分析】由题意知点P的轨迹，当C、P、M共线时，可取最小值.
9．【答案】2
【解析】【解答】解：如图，连接OE、OF，
∵ 点F位于AB的13处且靠近点A的位置
∴∠AOF=30°
∴∠BOF=60°
∵点E为CD中点，且△COD是直角三角形
∴OE=12CD=2
又∵OF=4，且OF≤OE+EF
∴当O、E、F三点共线时，EF有最小值
∴∠EOD=∠FOD=60°，OE=DE=2
∴△ODE是等边三角形
∴OD=2
且OB=4
∴BD=2
故答案为：2.
【分析】连接OE、OF，根据 点F位于AB的13处且靠近点A的位置 可得∠BOF=60°，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OE=2，可得当O、E、F三点共线时，EF有最小值，可判断△ODE是等边三角形，即可得BD的长度.
10．【答案】22
【解析】【解答】解：连接AC、AE，如图所示：
∵M、N分别是EF、AF的中点
∴MN=12AE
∵E是BC上的动点，
∴AEmax=AC
∵AB=BC=4
∴AC=42+42=42
∴AEmax=42
∴MN长的最大值是：22．
故答案为：22．
【分析】连接AC、AE，根据M、N分别是BC、EF的中点，可得MN=12AE，且AEmax=AC即可求解．
11．【答案】6+324
【解析】【解答】解：取DE的中点I，连接AI并延长交CB延长线于点H，作BM⊥AC于点M，
∵∠BCA=45°
∴CM=BM=22
∵∠CAB=180°-∠BCA-∠ABC
∴∠CAB=180°-105°-45°=30°
∴AB=2BM=2，AM=62
∴AC=AM+CM=62+22
∵△ADE为等边三角形，I为DE的中点
∴AI⊥DE，AI平分∠DAE
∴∠DAH=30°
∴∠H=180°-∠BCA-∠CAH=180°-45°-30°-30°=75°
∵∠ABH=180°-∠ABC=180°-105°=75°
∴∠ABH=∠AHB
∴AH=AB=2
点G在AH上运动，当CG⊥AH时，CG取最小值，
作HN⊥AC于点N，HN=62
∵S△ACH=12AC×HN=12AH×CG，即有12×(22+62)×62=12×2×CG
∴CG=6+324，即CG的最小值为6+324.
故答案为：6+324 .
【分析】取DE的中点I，连接AI并延长交CB延长线于点H，作BM⊥AC于点M，∠GAB=30°知点G在AH上运动，当CG⊥AH时取最小值，求出相应的线段长，根据等面积法知其最小值.
12．【答案】120；3
【解析】【解答】解：∵∠ACB=90°,∠ABC=30°，AC=2，
∴AB=4，∠A=60°，
由旋转得∠A'=∠A=60°，A'B'=AB=4，
∵A'B'中点为P，
∴PC=PA'=12A'B'=2，
∴△A'PC是等边三角形，
∴∠A'CP=60°，
如图，连接CP，当△ABC旋转到点E、C、P三点共线时，EP最长，此时θ=∠A'CA'=120∘，
∵点E是AC的中点，AC=2，
∴CE=1，
∴EP=CE+PC=3，
故答案为： 120，3.
【分析】本题考查了直角三角形的性质，等边三角形的判定及性质，旋转的性质；解题的关键在于明确旋转得到EP的最大值，当点E、C、P三点共线时，即CE+PC，据此来求出旋转角以及EP的长.
13．【答案】（1）解：①∵∠A=90°，
∴∠AFB=90°-∠ABF=90°-α
∴∠CFD=90°-α
∵∠BFD=180°-∠AFB-∠CFD
∴∠BFD=180°-(90°-α)-(90°-α)=2α；
②∵△ABF≌△DCF
∴BF=FC
∴∠FBC=∠BCF=30°
∵∠ABF=∠ABC-∠FBC
∴∠ABF=60°-30°=30°
（2）解：①在AB上取点H，使HF=HB，
∵FD=DG，CD⊥GF
∴∠DCF=∠DCG=12∠ACB=15°
∴∠ABF=15°
∵HF=HB
∴∠HBF=∠HFB=15°
∴∠AHF=∠HBF+∠HFB=15°+15°=30°
设AF=m，则HF=2m，HB=2m，AH=3m，
于是2m+3m=1，解得m=2−3；
②取点B关于AC的对称点B'，连接CB'、FB'
∵BB'=BC，∠ABC=60°
∴△BBC为等边三角形
∴CB'=CB=BB'=2，∠CBB'=60°
∵∠ABF=∠ABF=α=∠FCD
∴∠CBF=60°-α，∠B'CD=30°+α
∴∠CDB'=180°-∠CBF-B'CD=90°
即D、F、B'共线
∴点D在以B'C为直径的圆上运动，圆心为B'C的中点M，
当B、D、M三点共线时，BD取最小值，
BM=3，DM=1，故BDmin=3−1
【解析】【分析】(1)①由直角三角形的性质知AFB=∠CFD=90°-α，即可得BFD的度数；
②当 △ABF≌△DCF时，BF=FC，可得∠FBC=30°，即得∠ABF=30°；
(2)①由等腰三角形的性质知∠DCF=∠DCG=15°，即知∠ABF=15°，在AB上取点H，使HB=HF，利用特殊角可得AF的长；
②取点B关于AC的对称点B'，连接CB'、FB'，由角度关系知D、F、B'共线，知点D的轨迹，知当B、D、M共线时BD取最小值，求出BD的最不值即可.
14．【答案】（1）证明：∵OA是直径
∴∠OCA =90゜
∴∠COA+∠OAC＝90゜
∵∠BOC+∠AOC＝90゜
∴∠BOC=∠OAC
（2）解：①作CE⊥y轴于点E
则∠OEC=90゜
∵∠OCA =90゜
∴∠OEC=∠OCA
∵∠BOC=∠OAC
∴△OEC∽△ACO
∴CEOC=OCOA
∵点C的横坐标为2，圆心M的坐标为（3，0）
∴CE=2，OA=6
∴OC=AD=23
∴AC=AO2−OC2=62−(23)2=26
∴CD=26−23
②在y轴上取点F，使得OF=OA=6
∵ ∠BOC=∠OAC，OC=AD
∴△COF≌△DAO
∴CF=OD
连结FM，则FM=OM2+OF2=62+32=35
当点F、C、M三点共线时，FM取得最小值35，此时FC也取得最小值
∵MC=3
∴FC=FM−CM=35−3
∴OD的最小值为35−3．
【解析】【分析】(1)由OA是直径得∠OCA =90゜，再利用同角余角相等即可证明；
(2)①作CE⊥y轴于点E，证出△OEC∽△ACO，得CEOC=OCOA，代入求出OC=23，再由勾股定理求出AC=AO2−OC2=26，得到CD=26−23；②在y轴上取点F，使得OF=OA=6，证出△COF≌△DAO，得CF=OD，再利用圆外一定点与圆上一动点的距离最小值是点到圆心距离减半径即可求出.
15．【答案】D
【解析】【解答】解：作点F关于AC的对称点F'，连接EF'交AC于点P'，过点F'作AD的垂线，交AC于点K，
由题意得：此时F'落在AD上，且根据对称的性质，当P点与P'重合时PE+PF取得最小值，
设正方形ABCD的边长为a，则AF'=AF=23a，
∵四边形ABCD是正方形
∴∠F'AK=45°，∠P'AE=45°，AC=2a
∵F'K⊥AF'
∴∠F'AK=∠F'KA=45°
∴AK=223a
∵∠F'P'K=∠EP'A
∴△F'KP'~△EAP'，
∴F'KAE=KP'AP'=2
∴AP'=13AK=292a
∴CP'=AC−AP'=792a
∴AP'CP'=27
∴当PE+PF取得最小值时，APPC的值为27
故答案为：D.
【分析】作点F关于AC的对称点F'，连接EF'交AC于点P'，此时PE+PF取得最小值，过点F'作AD的垂线，交AC于点K，根据题意可知点F'落在AD上，设正方形的边长为a，求得AK的边长，证明△AEP'∽△KF'P'，可得KP'AP'=2，即可解答.
16．【答案】A
【解析】【解答】解：∵A'E=AE=1，
∴点A'在以点E为圆心、1为半径的圆上，
如图，作AD关于BC的对称线段MN，点E关于BC的对称点为E'，以点E'为圆心、1为半径画圆，连接E'D交BC于点P，交⊙E'于点A″，
则PA″=PA'，
∴PA'+PD=PA″+PD=A″D，
由两点之间线段最短，可知此时PA'+PD的值最小，最小值为A″D的长，
∵MN=BC=4，
∴E'N=4−1=3，
又∵DN=2+2=4，
∴E'D=E'N2+DN2=32+42=5，
∴A″D=E'D−E'A″=5−1=4，
即PA'+PD最小值是4，
故答案为：A．
【分析】作AD关于BC的对称线段MN，点E关于BC的对称点为E'，以点E'为圆心、1为半径画圆，连接E'D交BC于点P，交⊙E'于点A″，即可得到PA″=PA'，由两点之间线段最短得到此时PA'+PD的值最小为A″D的长，根据勾股定理计算即可．
17．【答案】D
【解析】【解答】解：根据垂线段最短，得出MN是河的宽时，MN最短，即MN⊥直线a（或直线b)，只要AM+BN最短即可，
即过A作河岸a的垂线AH，垂足为H，在直线AH上取点I，使AI等于河宽．
连接IB交河的b边岸于N，作MN垂直于河岸交a边的岸于M点，所得MN即为所求．
故选：D．
【分析】过A作河的垂线AH，且截取AI=MN，连接BI即可得出N，作出AM、MN、BN即可，则点M，N即为所作．
18．【答案】D
【解析】【解答】解：如图，
连接OE、AE，AE交CD于P，
∵AB、CD是⊙O的两条直径，且AB⊥CD，
∴AB与CD互相垂直平分，
∴PA=PB，
∴△PEB周长的最小值=PB+PE+BE=PA+PE+BE=AE+BE，
∵CE⏜=12EB⏜ ，
∴∠A=12∠BOC=12×23×90°=30°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∵AB=2，
∴BE=1，AE=3，
∴△PEB周长的最小值=3+1．
故答案为：Ｄ.
【分析】连接OE、AE，AE交CD于P，根据垂径定理即推论得AB与CD互相垂直平分，即可得PA、PB相等，即可得△PEB周长的最小值等于AE加BE，根据CE⏜等于12EB⏜得∠A=30°，进一步推理得BE=1，AE=3，代入即可得△PEB周长的最小值=3+1.
19．【答案】B
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，边长为5，BD=8，
∴AC⊥BD，
设AC与BD相交于点O，
∴BO=12BD=4，
根据勾股定理得：AO=AB2−BO2=52−42=3，
∴AC=6
由平移得△ABD≌△A'B'D'，
∴A'B'//AB，A'B'//AB=5，AA'//BD，
∴A'D=B'C，
作点C关于直线BD的对称点E，则E在AC的延长线上，且CE=AC=6，连接A'E，
∴AE=AC+CE=12，
∵点C与点E关于直线BD对称，
∴B'C=B'E，
∴A'C+B'C=A'C+B'E≥A'E(当且仅当A'，B'，E三点共线时取等号)，
在Rt△A'CE中，A'C⊥CE，A'C=5，CE=6，
根据勾股定理A'C+B'C=A'E=97.
故答案为：B.
【分析】通过萎形的性质求出相关线段长度，利用平移得到线段关系，再通过作对称点将A'C+B'C转化为一条线段，根据两点之间线段最短求出最小值.
20．【答案】4
【解析】【解答】解：如图，作点F关于对角线AC所在直线的对称点F'，
连接PF'、EF'，
∵PE−PF=PE−PF'≤EF'，
∴当点P、E、F'在一条直线上时，PE−PF取到最大值，最大值即为EF'的长度，
∵四边形ABCD为菱形，AB=10，AC=16，
∴AO=12AC=8，AC⊥BD，
∴在Rt△AOB中，BO=AB2−AO2=6，
由对称性可得OF'=OF=1，
∴BF'=OB−OF'=5，
∵∠F'BE=∠ABO，BE=3，
∴BEBO=36=12，BF'BA=510=12，
∴BEBO=BF'BA，
∴△BF'E∽△BAO，
∴∠F'EB=∠AOB=90°，
∴在Rt△BEF'中，由勾股定理得，EF'=4，
∴PE−PF的最大值为4．
故答案为：4．
【分析】如图，作点F关于对角线AC所在直线的对称点F'，连接PF'、EF'，结合PE−PF=PE−PF'≤EF'，可得当点P、E、F'在一条直线上时，PE−PF取到最大值，最大值即为EF'的长度；由菱形的对角线互相垂直平分得出AO=12AC=8，AC⊥BD，在Rt△AOB中，利用勾股定理算出OB，由轴对称性质得出OF'=OF=1，由线段和差算出BF'，由两边成比例且夹角相等的两个三角形相似得△BF'E∽△BAO，由相似三角形对应角相等得出∠F'EB=∠AOB=90°， 然后在Rt△BEF'中，利用勾股定理算出EF'，从而可得答案.
21．【答案】22
【解析】【解答】解：如图所示，分别作点E关于直线AD、BC的对称点E1、E2，作点E2关于直线CD的对称点E3，连接E1E3交CD于点G'，连接G'E1交AD于点H'，连接G'E2交BC于点F'，连接EH'、EF'，
则E1H'=EH',EF'=F'E2, G'E2=G'E3，
∵3AE=EB，
∴E1E2=E2E3=2
当E、F、G、H分别在E、F'、G'、H'点时，路程最小为E1E3=22．
故答案为：22.
【分析】 分别作点E关于直线AD、BC的对称点E1、E2，作点E2关于直线CD的对称点E3，连接E1E3交CD于点G'，连接G'E1交AD于点H'，连接G'E2交BC于点F'，连接EH'、EF' ，即可得到点E1，H'，G'，E3共线时，蚂蚁所走路程最小，根据勾股定理解答即可．
22．【答案】32
【解析】【解答】解：作点D关于AB的对称点为点E，连接CE交AB于点G，连接OC，OD，OE，PE，
∴PD=PE，AB⊥DE，
∴PC+PD=PC+PE≥CE，当点P与点G重合时，此时PC+PD有最小值，最小值为CE，
∵∠CAB=30°，
∴∠COB=2∠CAB=60°，
∵点D是弧BC的中点，
∴CD=DB，
∴∠COD=∠DOB=12∠COB=30°，
∵AB⊥DE，
∴DB=BE，
∴∠BOE=∠DOB=30°，
∴∠COE=∠COB+∠BOE=90°，
∵OC=OE，
∴△COE是等腰直角三角形，
∵AB=6，
∴OC=OE=3，
∴CE=OC2+OE2=32，
∴PC+PD的最小值为32，
故填：32．
【分析】作点D关于AB的对称点为点E，连接CE交AB于点G，连接OC，OD，OE，PE，根据轴对称的性质得出PD=PE，AB⊥DE，从而可得PC+PD=PC+PE≥CE，此时PC+PD有最小值即为CE，证出△COE是等腰直角三角形，利用勾股定理求出CE的长，即可得出答案．
23．【答案】165
【解析】【解答】解：由折叠的性质知CE是∠DCM的平分线，
∴点P关于CE的对称点在CD上，
∴作点P关于CE的对称点P'，过点M作MF⊥CD于F，交CE于点G，
∵MN+NP=MN+NP'≥MF，
∴MN+NP的最小值为MF的长，
连接DG，DM，
∵ 正方形ABCD的边长为4，
∴AD=CD=4，
∵ 点E为AD的中点，
∴DE=2，
又∵∠CDE=90°，
∴CE=CD2+DE2=42+22=25，
∵12CE×DO=12CD×DE，
∴DO=455
由折叠的性质知CE为线段DM的垂直平分线，
∴∠DOE=90°，
∴EO=DE2−DO2=255，
∵MF⊥CD，∠EDC=90°，
∴DE∥MF，
∴∠EDO=∠GMO，
∵CE为线段DM的垂直平分线，
∴DO=OM，∠DOE=∠MOG=90°，
∴△DOE≌△MOG，
∴DE=GM，
∴四边形DEMG为平行四边形，
∵∠MOG=90°，
∴四边形DEMG为菱形，
∴EG=2OE=455，GM=DE=2，
∴CG=CE−EG=655，
∵DE∥MF，
∴DE∥GF，
∴△CFG∽△CDE，
∴FGDE=CGCE，
∴FG2=65525，
∴FG=65，
∴MF=2+65=165，
∴MN+NP的最小值为165．
故答案为：165．
【分析】作点P关于CE的对称点P'，过点M作MF⊥CD于F，交CE于点G，由作图可得MN+NP的最小值为MF的长，再说明四边形DEMG为菱形，再根据平行线可得△CFG∽△CDE，进而求出FG的长度，最后利用线段的和差即可得出答案.
24．【答案】3. 5
【解析】【解答】解：解：设AD的中点为点O，则以O为圆心，12AD为半径作圆，点P就在这个圆上，作点M关于直线DC的对称点M'，连接OM'交圆O于点P’，交CD于N’，连接OP，M'N，如图：
∴MN = M'N，OP=OP'=r，OA=OD=12AD，CM =CM'.
∴PN +MN = PN + M'N，
∵P是矩形内部一动点，N为边CD上的一个动点，两点之间线段最短，
.'.(PN + MN)min = P'N'+ M'N’=P'M'=OM' -OP'，
∵四边形ABCD为矩形，AD=3，AB=4，
∴AD=BC=3，AB=CD=4，∠BCD=90°，AD//BC，
∴OD//MC，
∵AD=3，
∴.圆O的半径r =0D=12AD=12x3=1.5，
∴OP =OP'=r=1.5，
∵M为BC的中点，AD=BC，
∴CM=CM'=12BC=12AD=OD=1.5
∴MM'=CM+CM' = 1.5+1.5=3，
∵∠BCD=90°，CM=OD，OD//MC，
∴四边形OMCD为矩形，
∴ ∠OMM’= 90°，OM=CD=4，
在Rt△OMM'中，
∴OM'=0M2+MM2=42+32=5
∴(PN + MN)min = OM'-OP'=5-1.5 =3.5，
故答案为：3.5.
【分析】作点M关于直线DC的对称点M'，连接OM'交圆O于点P’，交CD于N’，连接OP，M'N，如图：根据对称的性质，可得出PN +MN = PN + M'N，进而根据两点点之间线段最短。可得出(PN + MN)min = P'N'+ M'N’=P'M'=OM' -OP'，进而根据矩形的性质及勾股定理可得出OM'和OP'的长度，进一步即可得出答案。
25．【答案】61
【解析】【解答】解：由题意，得AC=4，BD=2，AC⊥l，BD⊥l，CD=5，
作A关于l的对称点A'，连接A'P，A'B，AA'，过A'作A'E⊥BD于E，
则AA'过点C，AC=A'C=4，四边形A'CDE是矩形，AP=A'P，
∴A'E=CD=5，A'C=DE=4，
∴BE=6，
∴A'B=A'E2+BE2=61，
∵AP=A'P，
∴PA+PB=A'P+PB≥A'B，
∴当A'、P、B三点共线时，PA+PB取最小值，最小值为A'B=61，
即PA+PB的最小值为61．
故答案为：61．
【分析】作A关于l的对称点A'，连接A'P，A'B，AA'，过A'作A'E⊥BD于E，根据轴对称的性质得到AC=A'C=4，AP=A'P，即可得到PA+PB的最小值为A'B的长，证明四边形A'CDE是矩形，得出A'E=5，DE=4，在Rt△A'BE中，根据勾股定理求出A'B的值即可解答．
26．【答案】②③④
【解析】【解答】解：①如图，延长AD，BC交于M，过P作直线l∥AB，
∵△ADE和△BCE是等边三角形，
∴∠DEA=∠MBA=60°，∠CEB=∠MAB=60°，
∴DE∥BM，CE∥AM，
∴四边形DECM是平行四边形，
∵P为CD中点，
∴P为EM中点，
∵E在线段AB上运动，
∴P在直线l上运动，
由AB=4知等边三角形ABM的高为23，
∴M到直线l的距离，P到直线AB的距离都为3，
作A关于直线l的对称点A'，连接A'B，当P运动到A'B与直线l的交点，即A'，P，B共线时，PA+PB=PA'+PB最小，
此时PA+PB最小值A'B=AA'2+AB2=232+42=27，故①错误；
②∵PM=PE，
∴PE+PF=PM+PF，
∴当M，P，F共线时，PE+PF最小，最小值为MF的长度，
∵F为AB的中点，
∴MF⊥AB，
∴MF为等边三角形ABM的高，
∴PE+PF的最小值为23，故②正确；
过D作DK⊥AB于K，过C作CT⊥AB于T，如图，
∵△ADE和△BCE是等边三角形，
∴KE=12AE，TE=12BE
∴KT=KE+TE=AB=2，
∴CD≥2，
∴DE+CE+CD≥AE+BE+2，即DE+CE+CD≥AB+2，
∴DE+CE+CD≥6，
∴△CDE周长的最小值为6，故③正确；
④设AE=2m，则BE=4−2m，
∴AK=KE=m，BT=ET=2−m，DE=3AK=3m，CT=3BT=23−3m，
∴S△ADK=12m⋅3m=32m2，S△BCT=122−m23−3m=32m2−23m+23
S梯形DKCT=123m+23−3m⋅2=23
∴S四边形ABCD=32m2+32m2−23m+2+23=3m−12+33
∴当m=1时，四边形ABCD面积的最小值为33，故④正确．
故答案为：②③④。
【分析】①延长AD，BC交于M，过P作直线l∥AB，根据△ADE和△BCE是等边三角形，根据平行四边形的判定定理，易证四边形DECM是平行四边形，根据P为CD中点，知P为EM中点，易得P在直线l上运动，作A关于直线l的对称点A'，连接A'B，当P运动到A'B与直线l的交点，即A'，P，B共线时，PA+PB=PA'+PB最小，再根据勾股定理求出A'B的值；②根据PM=PE，易得M，P，F共线时，PE+PF最小，最小值为MF，根据等边三角形的性质和勾股定理，代入数据，即可求出MF的值；③过D作DK⊥AB于K，过C作CT⊥AB于T，根据题意，可知△ADE和△BCE是等边三角形，得KT=KE+TE=12AB，有CD≥2，根据三角形CDE的周长公式，即可求出△CDE周长的最小值；④设AE=2m，则BE=4−2m， 进而求出AK、BT、DE和CT的值，最后再根据三角形的面积公式和梯形的面积公式，分别求出三角形ADK、BCT和梯形DKCT的面积，用m表示S四边形ABCD，再配方，当m=1，将m代入即可求出四边形ABCD面积的最小值。