2026届广东省中山一中等七校重点中学高考数学押题试卷含解析

这是一份2026届广东省中山一中等七校重点中学高考数学押题试卷含解析，共5页。
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若为纯虚数，则z＝（ ）
A．B．6iC．D．20
2．函数的定义域为（ ）
A．[，3）∪（3，+∞） B．（-∞，3）∪（3，+∞）
C．[，+∞） D．（3，+∞）
3．若函数在时取得极值，则（ ）
A．B．C．D．
4．若函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，若函数在区间上单调递增，则的最大值为（ ）．
A．B．C．D．
5．某人2018年的家庭总收人为元，各种用途占比如图中的折线图，年家庭总收入的各种用途占比统计如图中的条形图，已知年的就医费用比年的就医费用增加了元，则该人年的储畜费用为（ ）
A．元B．元C．元D．元
6．若复数为虚数单位在复平面内所对应的点在虚轴上，则实数a为（ ）
A．B．2C．D．
7．函数在上单调递减，且是偶函数，若 ，则 的取值范围是（ ）
A．（2，+∞）B．（﹣∞，1）∪（2，+∞）
C．（1，2）D．（﹣∞，1）
8．某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为，若低于60分的人数是18人，则该班的学生人数是（ ）
A．45B．50C．55D．60
9．已知三棱锥中，为的中点，平面，，，则有下列四个结论：①若为的外心，则；②若为等边三角形，则；③当时，与平面所成的角的范围为；④当时，为平面内一动点，若OM∥平面，则在内轨迹的长度为1．其中正确的个数是（ ）．
A．1B．1C．3D．4
10．已知函数，，其中为自然对数的底数，若存在实数，使成立，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
11．已知函数（，是常数，其中且）的大致图象如图所示，下列关于，的表述正确的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
12．如图，在圆锥SO中，AB，CD为底面圆的两条直径，AB∩CD＝O，且AB⊥CD，SO＝OB＝3，SE.，异面直线SC与OE所成角的正切值为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若，则__________．
14．已知数列为等差数列，数列为等比数列，满足，其中，，则的值为_______________．
15．二项式的展开式中项的系数为_____．
16．已知复数z1＝1﹣2i，z2＝a+2i（其中i是虚数单位，a∈R），若z1•z2是纯虚数，则a的值为_____．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知椭圆与抛物线有共同的焦点，且离心率为，设分别是为椭圆的上下顶点
（1）求椭圆的方程；
（2）过点与轴不垂直的直线与椭圆交于不同的两点，当弦的中点落在四边形内（含边界）时，求直线的斜率的取值范围.
18．（12分）有甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司底薪元，送餐员每单制成元；乙公司无底薪，单以内（含单）的部分送餐员每单抽成元，超过单的部分送餐员每单抽成元.现从这两家公司各随机选取一名送餐员，分别记录其天的送餐单数，得到如下频数分布表：
（1）从记录甲公司的天送餐单数中随机抽取天，求这天的送餐单数都不小于单的概率；
（2）假设同一公司的送餐员一天的送餐单数相同，将频率视为概率，回答下列两个问题：
①求乙公司送餐员日工资的分布列和数学期望；
②小张打算到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，小张应选择哪家公司应聘？说明你的理由.
19．（12分）为提供市民的健身素质，某市把四个篮球馆全部转为免费民用
（1）在一次全民健身活动中，四个篮球馆的使用场数如图，用分层抽样的方法从四场馆的使用场数中依次抽取共25场，在中随机取两数，求这两数和的分布列和数学期望；
（2）设四个篮球馆一个月内各馆使用次数之和为，其相应维修费用为元，根据统计，得到如下表的数据：
①用最小二乘法求与的回归直线方程；
②叫做篮球馆月惠值，根据①的结论，试估计这四个篮球馆月惠值最大时的值
参考数据和公式：，
20．（12分）记为数列的前项和，N.
（1）求；
（2）令，证明数列是等比数列，并求其前项和.
21．（12分）对于给定的正整数k，若各项均不为0的数列满足：对任意正整数总成立，则称数列是“数列”.
（1）证明：等比数列是“数列”；
（2）若数列既是“数列”又是“数列”，证明：数列是等比数列.
22．（10分）已知函数 ，
（1）求函数的单调区间；
（2）当时，判断函数，（）有几个零点，并证明你的结论；
（3）设函数，若函数在为增函数，求实数的取值范围．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】
根据复数的乘法运算以及纯虚数的概念，可得结果.
【详解】

∵为纯虚数，
∴且
得，此时
故选：C.
【点睛】
本题考查复数的概念与运算，属基础题.
2、A
【解析】
根据幂函数的定义域与分母不为零列不等式组求解即可.
【详解】
因为函数，
解得且；
函数的定义域为, 故选A．
【点睛】
定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2) 对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3) 若已知函数的定义域为，则函数的定义域由不等式求出.
3、D
【解析】
对函数求导，根据函数在时取得极值，得到，即可求出结果.
【详解】
因为，所以，
又函数在时取得极值，
所以，解得.
故选D
【点睛】
本题主要考查导数的应用，根据函数的极值求参数的问题，属于常考题型.
4、C
【解析】
由题意利用函数的图象变换规律，正弦函数的单调性，求出的最大值．
【详解】
解：把函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，
若函数在区间，上单调递增，
在区间，上，，，
则当最大时，，求得，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查函数的图象变换规律，正弦函数的单调性，属于基础题．
5、A
【解析】
根据 2018年的家庭总收人为元，且就医费用占 得到就医费用，再根据年的就医费用比年的就医费用增加了元，得到年的就医费用，然后由年的就医费用占总收人，得到2019年的家庭总收人再根据储畜费用占总收人求解.
【详解】
因为2018年的家庭总收人为元，且就医费用占
所以就医费用
因为年的就医费用比年的就医费用增加了元，
所以年的就医费用元，
而年的就医费用占总收人
所以2019年的家庭总收人为
而储畜费用占总收人
所以储畜费用：
故选：A
【点睛】
本题主要考查统计中的折线图和条形图的应用，还考查了建模解模的能力，属于基础题.
6、D
【解析】
利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为求得值．
【详解】
解：在复平面内所对应的点在虚轴上，
，即．
故选D．
【点睛】
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
7、B
【解析】
根据题意分析的图像关于直线对称，即可得到的单调区间，利用对称性以及单调性即可得到的取值范围。
【详解】
根据题意，函数 满足是偶函数，则函数的图像关于直线对称，
若函数在上单调递减，则在上递增，
所以要使，则有，变形可得，
解可得：或，即的取值范围为；
故选：B．
【点睛】
本题考查偶函数的性质，以及函数单调性的应用，有一定综合性，属于中档题。
8、D
【解析】
根据频率分布直方图中频率＝小矩形的高×组距计算成绩低于60分的频率，再根据样本容量求出班级人数.
【详解】
根据频率分布直方图，得：低于60分的频率是（0.005+0.010）×20＝0.30，
∴样本容量（即该班的学生人数）是60（人）.
故选：D.
【点睛】
本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了频率的应用问题，属于基础题
9、C
【解析】
由线面垂直的性质,结合勾股定理可判断①正确; 反证法由线面垂直的判断和性质可判断②错误;由线面角的定义和转化为三棱锥的体积,求得C到平面PAB的距离的范围,可判断③正确;由面面平行的性质定理可得线面平行,可得④正确.
【详解】
画出图形：
若为的外心，则，
平面,可得,即，①正确;
若为等边三角形，，又
可得平面，即,由可得
，矛盾，②错误;
若，设与平面所成角为
可得，
设到平面的距离为
由可得
即有，当且仅当取等号.
可得的最大值为，
即的范围为，③正确；
取中点，的中点，连接
由中位线定理可得平面平面
可得在线段上，而，可得④正确；
所以正确的是：①③④
故选：C
【点睛】
此题考查立体几何中与点、线、面位置关系有关的命题的真假判断，处理这类问题，可以用已知的定理或性质来证明，也可以用反证法来说明命题的不成立.属于一般性题目.
10、A
【解析】
令f（x）﹣g（x）=x+ex﹣a﹣1n（x+1）+4ea﹣x，
令y=x﹣ln（x+1），y′=1﹣=，
故y=x﹣ln（x+1）在（﹣1，﹣1）上是减函数，（﹣1，+∞）上是增函数，
故当x=﹣1时，y有最小值﹣1﹣0=﹣1，
而ex﹣a+4ea﹣x≥4，（当且仅当ex﹣a=4ea﹣x，即x=a+ln1时，等号成立）；
故f（x）﹣g（x）≥3（当且仅当等号同时成立时，等号成立）；
故x=a+ln1=﹣1，即a=﹣1﹣ln1．故选：A．
11、D
【解析】
根据指数函数的图象和特征以及图象的平移可得正确的选项.
【详解】
从题设中提供的图像可以看出，
故得，
故选：D．
【点睛】
本题考查图象的平移以及指数函数的图象和特征，本题属于基础题.
12、D
【解析】
可过点S作SF∥OE，交AB于点F，并连接CF，从而可得出∠CSF（或补角）为异面直线SC与OE所成的角，根据条件即可求出，这样即可得出tan∠CSF的值.
【详解】
如图，过点S作SF∥OE，交AB于点F，连接CF，
则∠CSF（或补角）即为异面直线SC与OE所成的角，
∵，∴，
又OB＝3，∴，
SO⊥OC，SO＝OC＝3，∴；
SO⊥OF，SO＝3，OF＝1，∴；
OC⊥OF，OC＝3，OF＝1，∴，
∴等腰△SCF中，.
故选：D.
【点睛】
本题考查了异面直线所成角的定义及求法，直角三角形的边角的关系，平行线分线段成比例的定理，考查了计算能力，属于基础题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
因为，由二倍角公式得到 ，故得到
．
故答案为．
14、
【解析】
根据题意，判断出，根据等比数列的性质可得，再令数列中的，，，根据等差数列的性质，列出等式，求出和的值即可.
【详解】
解：由，其中，，
可得，则，令，，
可得.①
又令数列中的，，，
根据等差数列的性质，可得，
所以.②
根据①②得出，.
所以.
故答案为.
【点睛】
本题主要考查等差数列、等比数列的性质，属于基础题.
15、15
【解析】
由题得，，令，解得，代入可得展开式中含x6项的系数.
【详解】
由题得，，令，解得，
所以二项式的展开式中项的系数为.
故答案为：15
【点睛】
本题主要考查了二项式定理的应用，考查了利用通项公式去求展开式中某项的系数问题.
16、-1
【解析】
由题意，令即可得解.
【详解】
∵z1＝1﹣2i，z2＝a+2i，
∴，
又z1•z2是纯虚数，∴，解得：a＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点睛】
本题考查了复数的概念和运算，属于基础题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）（2）或
【解析】
（1）由已知条件得到方程组，解得即可；
（2）由题意得直线的斜率存在，设直线方程为，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，由得到的范围，设弦中点坐标为则，所以在轴上方，只需位于内（含边界）就可以，即满足，得到不等式组，解得即可；
【详解】
解：（1）由已知椭圆右焦点坐标为，离心率为，，，
所以椭圆的标准方程为；
（2）由题意得直线的斜率存在，设直线方程为
联立，消元整理得，，
由，解得
设弦中点坐标为，
所以在轴上方，只需位于内（含边界）就可以，
即满足，即，
解得或
【点睛】
本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质，直线与椭圆的综合应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
18、（1）；（2）①分布列见解析，；②小张应选择甲公司应聘.
【解析】
（1）记抽取的3天送餐单数都不小于40为事件，可得（A）的值．
（2）①设乙公司送餐员送餐单数为，可得当时，，以此类推可得：当时，当时，的值．当时，的值，同理可得：当时，．的所有可能取值．可得的分布列及其数学期望．
②依题意，甲公司送餐员日平均送餐单数．可得甲公司送餐员日平均工资，与乙数学期望比较即可得出．
【详解】
解：（1）由表知，50天送餐单数中有30天的送餐单数不小于40单，
记抽取的3天送餐单数都不小于40为事件，
则．
（2）①设乙公司送餐员的送餐单数为，日工资为元，则
当时，；当时，；当时，；
当时，；当时，．
所以的分布列为
．
②依题意，甲公司送餐员的日平均送餐单数为
，
所以甲公司送餐员的日平均工资为元，
因为，所以小张应选择甲公司应聘．
【点睛】
本题考查了随机变量的分布列与数学期望、古典概率计算公式、组合计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
19、（1）见解析，12.5（2）①②20
【解析】
(1) 运用分层抽样，结合总场次为100，可求得的值，再运用古典概型的概率计算公式可求解果;
(2) ①由公式可计算的值，进而可求与的回归直线方程；
②求出，再对函数求导，结合单调性，可估计这四个篮球馆月惠值最大时的值.
【详解】
解：（1）抽样比为，所以分别是，6，7，8，5
所以两数之和所有可能取值是：10，12，13，15
，，，
所以分布列为
期望为
（2）因为
所以，，
；
②，
设，
所以当递增，当递减
所以约惠值最大值时的值为20
【点睛】
本题考查直方图的实际应用，涉及求概率，平均数、拟合直线和导数等问题，关键是要读懂题意，属于中档题.
20、（1）；（2）证明见详解，
【解析】
（1）根据，可得，然后作差，可得结果.
（2）根据（1）的结论，用取代，得到新的式子，然后作差，可得结果，最后根据等比数列的前项和公式，可得结果.
【详解】
（1）由①，则②
②-①可得：
所以
（2）由（1）可知：③
则④
④-③可得：
则，且
令，则，
所以数列是首项为，公比为的等比数列
所以
【点睛】
本题主要考查递推公式以及之间的关系的应用，考验观察能力以及分析能力，属中档题.
21、（1）证明见详解；（2）证明见详解
【解析】
（1）由是等比数列，由等比数列的性质可得：即可证明.
（2）既是“数列”又是“数列”，可得，，则对于任意都成立，则成等比数列，设公比为，验证得答案.
【详解】
（1）证明：由是等比数列，由等比数列的性质可得：
等比数列是“数列”.
（2）证明：既是“数列”又是“数列”，
可得，（） （）
，（）
可得：对于任意都成立，
即 成等比数列，
即成等比数列，
成等比数列，
成等比数列，
设，（）
数列是“数列”
时，由（）可得：

时，由（）可得：
，
可得，同理可证
成等比数列，
数列是等比数列
【点睛】
本题是一道数列的新定义题目，考查了等比数列的性质、通项公式等基本知识，考查代数推理、转化与化归以及综合运用数学知识探究与解决问题的能力，属于难题.
22、（1）单调增区间,单调减区间为,;（2）有2个零点，证明见解析;（3）
【解析】
对函数求导,利用导数的正负判断函数的单调区间即可;
函数有2个零点.根据函数的零点存在性定理即可证明;
记函数,求导后利用单调性求得,由零点存在性定理及单调性知存在唯一的,使，求得为分段函数,求导后分情况讨论：①当时，利用函数的单调性将问题转化为的问题;②当时，当时,在上恒成立，从而求得的取值范围.
【详解】
（1）由题意知,，列表如下：
所以函数的单调增区间为，单调减区间为,.
（2）函数有2个零点.证明如下：
因为时，所以，
因为,所以在恒成立,在上单调递增，
由，，且在上单调递增且连续知,
函数在上仅有一个零点，
由（1）可得时,，
即，故时，，
所以，
由得，平方得，所以，
因为，所以在上恒成立,
所以函数在上单调递减,因为,所以,
由，，且在上单调递减且连续得
在上仅有一个零点，
综上可知：函数有2个零点.
（3）记函数，下面考察的符号．
求导得．
当时恒成立．
当时，因为，
所以．
∴在上恒成立，故在上单调递减．
∵，∴，又因为在上连续，
所以由函数的零点存在性定理得存在唯一的，使，
∴,
因为,所以
∴
因为函数在上单调递增,,
所以在，上恒成立．
①当时，在上恒成立，即在上恒成立．
记，则，
当变化时，，变化情况如下表：
∴，
故，即．
②当时，，当时，在上恒成立．
综合（1）（2）知， 实数的取值范围是．
【点睛】
本题考查利用导数求函数的单调区间、极值、最值和利用零点存在性定理判断函数零点个数、利用分离参数法求参数的取值范围;考查转化与化归能力、逻辑推理能力、运算求解能力;通过构造函数,利用零点存在性定理判断其零点,从而求出函数的表达式是求解本题的关键;属于综合型强、难度大型试题.
送餐单数
38
39
40
41
42
甲公司天数
10
10
15
10
5
乙公司天数
10
15
10
10
5
x
10
15
20
25
30
35
40
y
10000
11761
13010
13980
14771
15440
16020
2.99
3.49
4.05
4.50
4.99
5.49
5.99
228
234
240
247
254
0
2

0

极小值

极大值


极小值