浙江省浙东北联盟(ZDB)2025-2026学年高一下学期期中考试数学含答案（word版）

这是一份浙江省浙东北联盟(ZDB)2025-2026学年高一下学期期中考试数学含答案（word版），共6页。试卷主要包含了 结束后, 只需上交答题卡等内容，欢迎下载使用。
1. 本卷共 4 页，满分 150 分，考试时间 120 分钟。
2. 答题前，在答题卡指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号。
3. 所有答案必须写在答题卡上，写在试题上无效。
4. 结束后, 只需上交答题卡。
选择题部分
一、选择题(本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是 符合题目要求的)
1. 已知 OA=a,OB=b,OC=c,OD=d ,且四边形 ABCD 为平行四边形,则( )
A. a+b+c+d=0 B. a+b−c−d=0
C. a−b+c−d=0 D. a−b−c+d=0
2. 用斜二测画法得到一个水平放置的平面图形 OABC 的直观图为如图所示的直角梯形 O′A′B′C′ ,其中梯形的上底长是下底长的 12 ,若原平面图形 OABC 的面积为 32 ，则 BC 的长为( )
A. 1 B. 2C. 24 D. 22
3. 已知平面向量 a,b,c 满足 a=1,0,b=3,a⊥a+b ，则 a−b= ( )
A. 12 B. 8 C. 23 D. 22
4. 已知圆锥的底面周长为 16π ,侧面积为 80π ,则过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为( )
A. 48 B. 50 C. 96 D. 100
5. 在 △ABC 中，若 a−acsBsinB=b−ccsCsinA ，则这个三角形是( )
A. 等腰三角形 B. 直角三角形
C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形
6. 已知 m,n 为异面直线， m⊥ 平面 α,n⊥ 平面 β . 若直线 l 满足 l⊥m,l⊥n,l⊄α,l⊄β ，则()
A. α//β,l//α B. α 与 β 相交,且交线平行于 l
C. α⊥β,l⊥α D. α 与 β 相交,且交线垂直于 l
7. 如图，在正方形 ABCD 中， E 为 BC 的中点，将 △ACD 沿直线 AC 折起至 △ACP 处，使得点 P 在平面 ABC 上的射影在 AE 上. 若三棱锥 P−ABC 的外接球表面积为 8π ，则 P 到平面 ABC 的距离为( )
A. 43 B. 169C. 89 D. 1
8. 已知 a1,a2,b1,b2,…,bkk∈N∗ 是平面内两两互不相等的向量,满足 a1−a2=2 ,且 ai−bj∈{1,2} (其中 i=1,2,j=1,2,…,k ),则 k 的最大值为 ( )
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
二、多项选择题 (本题共有 3 个小题, 每小题 6 分, 共 18 分.在每小题给出的四个选项中, 有多项 符合题目的要求.全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分)
9. 三个平面将空间分成 n 个部分,则 n 可能是( )
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
10. 两名同学共提一个旅行包,作用在旅行包上的拉力分别为 F1,F2 ,已知 F1=3F2 ,旅行包所受的重力为 G,G=1021 N . 设 F1,F2 的夹角为 θ ,则下列说法正确的是( )
A. 当 θ 越小时, F1 越大
B. F2 的最小值大于 5212 N
C. 当 θ=30∘ 时, F1=30 N
D. 当 θ=30∘ 时, F2 与 G 夹角的余弦值为 −2114
11. 在棱长为 2 的正方体 ABCD−A1B1C1D1 中, E 为棱 AB 的中点,点 P 满足 BP=λBC+μBB1 , λ∈[0,1),μ∈[0,1) ,则下列说法中正确的是 ( )
A. 当 λ=12,μ=0 时,直线 EP 与 BC1 所成的角为 60∘
B. 当 λ=0,μ=33 时,过点 A1 有 3 条直线与 BB1,AP 所成的角都是 60∘
C. 若 λ+μ=1 ,则 AP 与平面 BB1C1C 所成角的最小值为 45∘
D. 当 λ=12,μ=12 时,过点 P 作正方体外接球的截面,截面面积的最小值为 2π
非选择题部分
三、填空题(本题共 3 个小题，每小题 5 分，共 15 分)
12. 已知向量 a=1,2 ，与 a 平行的单位向量的坐标是_____.
13. 古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作, 也为地图学提供了数学基础. 现根据刘徽的《重差》测量一个球体建筑物的高度,已知点 A 是球体建筑物与水平地面的接触点 (切点)，地面上 B ， C 两点与点 A 在同一条直线上，且在点 A 的同侧. 若在 B ， C 处分别测得球体建筑物的最大仰角为 60∘ 和 30∘ ，且 BC=40 ，则根据测得的数据可计算出球体建筑物的体积为_____.
14. 平面向量 a,b,c 满足 a 与 b 的夹角为 60∘,a+b−a−b=3−1a⋅b,c=1 . 当 a⋅b 最大时, 2a⋅c+b⋅c 的最大值是_____.
四、解答题(本题共 5 个小题, 共 77 分, 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15. 已知向量 e1,e2 是互相垂直的单位向量，向量 a=xe1−3e2x∈R,b=3e1+e2 .
(1)若 a+b 与 a−b 垂直，求 x 的值；
(2)若 x=2 ，求向量 a 在向量 b 上的投影向量(用 e1,e2 表示).
16. 如图，在平面四边形 ABCD 中， ∠DAB=90∘ ， ∠ADC=135∘ ， AB=6 ， AD=2 ， CD=22 ，求四边形 ABCD 绕 AD 所在直线旋转一周所形成几何体的表面积和体积.
17. 已知 a,b,c 分别为 △ABC 三个内角 A,B,C 的对边,且 acsC+3asinC−b−c=0 .
(1)求 A ；
(2)若边 BC 上的中线 AD=15,b+c=8 ，求 △ABC 的面积.
18. 现有两个含 30∘ 角的全等直角三角板,较短直角边长均为 10 cm ，如图， △PAB 与 △PCD 为这两个三角板,其中 PA=PC=10 cm ， ∠PBA=∠PDC=30∘ . 初始时，两三角板的直角顶点重合于点 P ， 斜边 AB,CD 共线. 现将两三角板绕点 P 平行展开,得到四棱锥 P−ABCD .
(1)求证:平面 PAC⊥ 平面 ABCD ；
(2)设平面 PAB∩ 平面 PCD=l .
( i )求证: l// 平面 ABCD ;
(ii) 当二面角 A−l−C 的大小为多少时,四棱锥 P−ABCD 的体积取得最大值? 求出该最大值.
19. 在 △ABC 中, AB=2,AC=4,A=120∘ ,平面 ABC 上的动点 D 满足 ∠BDC=60∘ ,且点 D,A 在直线 BC 的两侧.
(1)求 △ABC 外接圆的直径；
(2)记 ∠BAD=θ ，试将 AD 表示为关于 θ 的函数；
(3)设点 E 满足 CE=2EB ，求 AE⋅AD 的取值范围.