2025-2026学年江西省新余市高三下学期联考数学试题（含答案解析）

这是一份2025-2026学年江西省新余市高三下学期联考数学试题（含答案解析），共4页。试卷主要包含了，则与位置关系是，设i是虚数单位，若复数，设复数满足，则等内容，欢迎下载使用。
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．执行如图所示的程序框图，若输出的，则①处应填写（ ）
A．B．C．D．
2．tan570°=（ ）
A．B．-C．D．
3．关于圆周率，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验.受其启发，某同学通过下面的随机模拟方法来估计的值：先用计算机产生个数对，其中，都是区间上的均匀随机数，再统计，能与构成锐角三角形三边长的数对的个数﹔最后根据统计数来估计的值.若，则的估计值为（ ）
A．B．C．D．
4．，则与位置关系是 ( )
A．平行B．异面
C．相交D．平行或异面或相交
5．将函数的图象先向右平移个单位长度，在把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在上没有零点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
6．一艘海轮从A处出发，以每小时24海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是（ ）
A．6 海里B．6海里C．8海里D．8海里
7．设i是虚数单位，若复数（）是纯虚数，则m的值为（ ）
A．B．C．1D．3
8．如图所示，网络纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某四棱锥的三视图，则该几何体的体积为（ ）
A．2B．C．6D．8
9．若复数z满足,则复数z在复平面内对应的点在( )
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
10．设复数满足，则（ ）
A．B．C．D．
11．集合，，则( )
A．B．C．D．
12．一袋中装有个红球和个黑球（除颜色外无区别），任取球，记其中黑球数为，则为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知向量，，且，则实数m的值是________．
14．若函数，则的值为______.
15．曲线在点处的切线方程为________.
16．等边的边长为2，则在方向上的投影为________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）某商场举行优惠促销活动，顾客仅可以从以下两种优惠方案中选择一种.
方案一：每满100元减20元；
方案二：满100元可抽奖一次.具体规则是从装有2个红球、2个白球的箱子随机取出3个球（逐个有放回地抽取），所得结果和享受的优惠如下表：（注：所有小球仅颜色有区别）
（1）该商场某顾客购物金额超过100元，若该顾客选择方案二，求该顾客获得7折或8折优惠的概率；
（2）若某顾客购物金额为180元，选择哪种方案更划算？
18．（12分）
(Ⅰ)证明： ；
(Ⅱ)证明：()；
(Ⅲ)证明：.
19．（12分）已知圆的极坐标方程是，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线的参数方程是是参数），若直线与圆相切，求实数的值.
20．（12分）已知函数.
（1）讨论函数的极值；
（2）记关于的方程的两根分别为，求证：.
21．（12分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，），点.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求曲线的直角坐标方程，并指出其形状；
（2）曲线与曲线交于，两点，若，求的值.
22．（10分） 已知函数，．
（Ⅰ）当时，求曲线在处的切线方程；
（Ⅱ）求函数在上的最小值；
（Ⅲ）若函数，当时，的最大值为，求证：.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．B
【解析】
模拟程序框图运行分析即得解.
【详解】
；
；.
所以①处应填写“”
故选：B
本题主要考查程序框图，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
2．A
【解析】
直接利用诱导公式化简求解即可．
【详解】
tan570°=tan（360°+210°）=tan210°=tan（180°+30°）=tan30°=．
故选：A．
本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，主要考查诱导公式的应用，属于基础题.
3．B
【解析】
先利用几何概型的概率计算公式算出，能与构成锐角三角形三边长的概率，然后再利用随机模拟方法得到，能与构成锐角三角形三边长的概率，二者概率相等即可估计出.
【详解】
因为，都是区间上的均匀随机数，所以有，，若，能与构成锐角三角形三边长，
则，由几何概型的概率计算公式知，
所以.
故选：B.
本题考查几何概型的概率计算公式及运用随机数模拟法估计概率，考查学生的基本计算能力，是一个中档题.
4．D
【解析】
结合图(1)，(2)，(3)所示的情况，可得a与b的关系分别是平行、异面或相交．
选D．
5．A
【解析】
根据y=Acs（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，根据定义域求出的范围，再利用余弦函数的图象和性质，求得ω的取值范围．
【详解】
函数的图象先向右平移个单位长度，
可得的图象，
再将图象上每个点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)，
得到函数的图象，
∴周期，
若函数在上没有零点，
∴ ，
∴ ，
，解得，
又，解得，
当k=0时，解，
当k=-1时，，可得，
.
故答案为：A.
本题考查函数y=Acs（ωx+φ）的图象变换及零点问题，此类问题通常采用数形结合思想，构建不等关系式，求解可得，属于较难题.
6．A
【解析】
先根据给的条件求出三角形ABC的三个内角，再结合AB可求，应用正弦定理即可求解.
【详解】
由题意可知：∠BAC＝70°﹣40°＝30°.∠ACD＝110°，∴∠ACB＝110°﹣65°＝45°，
∴∠ABC＝180°﹣30°﹣45°＝105°.又AB＝24×0.5＝12.
在△ABC中，由正弦定理得，
即，∴.
故选：A.
本题考查正弦定理的实际应用，关键是将给的角度、线段长度转化为三角形的边角关系，利用正余弦定理求解.属于中档题.
7．A
【解析】
根据复数除法运算化简，结合纯虚数定义即可求得m的值.
【详解】
由复数的除法运算化简可得
，
因为是纯虚数，所以，
∴，
故选：A.
本题考查了复数的概念和除法运算，属于基础题.
8．A
【解析】
先由三视图确定该四棱锥的底面形状，以及四棱锥的高，再由体积公式即可求出结果.
【详解】
由三视图可知，该四棱锥为斜着放置的四棱锥，四棱锥的底面为直角梯形，上底为1，下底为2，高为2，四棱锥的高为2，
所以该四棱锥的体积为.
故选A
本题主要考查几何的三视图，由几何体的三视图先还原几何体，再由体积公式即可求解，属于常考题型.
9．A
【解析】
化简复数，求得，得到复数在复平面对应点的坐标，即可求解.
【详解】
由题意，复数z满足，可得，
所以复数在复平面内对应点的坐标为位于第一象限
故选：A.
本题主要考查了复数的运算，以及复数的几何表示方法，其中解答中熟记复数的运算法则，结合复数的表示方法求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.
10．D
【解析】
根据复数运算，即可容易求得结果.
【详解】
.
故选：D.
本题考查复数的四则运算，属基础题.
11．A
【解析】
解一元二次不等式化简集合A，再根据对数的真数大于零化简集合B，求交集运算即可.
【详解】
由可得，所以，由可得,所以,所以，故选A．
本题主要考查了集合的交集运算，涉及一元二次不等式解法及对数的概念，属于中档题.
12．A
【解析】
由题意可知，随机变量的可能取值有、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，进而可求得随机变量的数学期望值.
【详解】
由题意可知，随机变量的可能取值有、、、，
则，，，.
因此，随机变量的数学期望为.
故选：A.
本题考查随机变量数学期望的计算，考查计算能力，属于基础题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．1
【解析】
根据即可得出，从而求出m的值．
【详解】
解：∵；
∴；
∴m＝1．
故答案为：1．
本题考查向量垂直的充要条件，向量数量积的坐标运算．
14．
【解析】
根据题意，由函数的解析式求出的值，进而计算可得答案．
【详解】
根据题意，函数，
则，
则；
故答案为：.
本题考查分段函数的性质、对数运算法则的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算求解能力．
15．
【解析】
求导，得到和，利用点斜式即可求得结果.
【详解】
由于，，所以，
由点斜式可得切线方程为.
故答案为：.
本题考查利用导数的几何意义求切线方程，属基础题.
16．
【解析】
建立直角坐标系，结合向量的坐标运算求解在方向上的投影即可.
【详解】
建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可知：，，，
则：，，
且，，
据此可知在方向上的投影为.
本题主要考查平面向量数量积的坐标运算，向量投影的定义与计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）（2）选择方案二更为划算
【解析】
（1）计算顾客获得7折优惠的概率，获得8折优惠的概率，相加得到答案.
（2）选择方案二，记付款金额为元，则可取的值为126，144，162，180.，计算概率得到数学期望，比较大小得到答案.
【详解】
（1）该顾客获得7折优惠的概率，
该顾客获得8折优惠的概率，
故该顾客获得7折或8折优惠的概率.
（2）若选择方案一，则付款金额为.
若选择方案二，记付款金额为元，则可取的值为126，144，162，180.
，
，
则.
因为，所以选择方案二更为划算.
本题考查了概率的计算，数学期望，意在考查学生的计算能力和应用能力.
18． (Ⅰ)见解析（Ⅱ）见解析（Ⅲ）见解析
【解析】
运用数学归纳法证明即可得到结果
化简，运用累加法得出结果
运用放缩法和累加法进行求证
【详解】
（Ⅰ）数学归纳法证明时，
①当时，成立；
②当时，假设成立，则时
所以时，成立
综上①②可知，时，
（Ⅱ）由
得
所以； ；

故，又
所以

(Ⅲ)
由累加法得：
所以故
本题考查了数列的综合，运用数学归纳法证明不等式的成立，结合已知条件进行化简求出化简后的结果，利用放缩法求出不等式，然后两边同时取对数再进行证明，本题较为困难。
19．
【解析】
将圆的极坐标方程化为直角坐标方程，直线的参数方程化为普通方程，再根据直线与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，即可求实数的值.
【详解】
由，得，
， 即圆的方程为，
又由消，得，
直线与圆相切，，．
本题重点考查方程的互化，考查直线与圆的位置关系，解题的关键是利用圆心到直线的距离等于半径,研究直线与圆相切.
20．（1）见解析； （2）见解析
【解析】
（1）对函数求导，对参数讨论，得函数单调区间，进而求出极值；
（2）是方程的两根，代入方程，化简换元，构造新函数利用函数单调性求最值可解.
【详解】
（1）依题意，；
若，则，则函数在上单调递增，
此时函数既无极大值，也无极小值；
若，则，令，解得，
故当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
此时函数有极大值，无极小值；
若，则，令，解得，
故当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
此时函数有极大值，无极小值；
（2）依题意，，则，，
故，；
要证：，即证，
即证：，即证，
设，只需证：，
设，则，
故在上单调递增，故，
即，故.
本题考查函数极值及利用导数证明二元不等式.
证明二元不等式常用方法是转化为证明一元不等式，再转化为函数最值问题.利用导数证明不等式的基本方法：
(1)若与的最值易求出，可直接转化为证明；
(2)若与的最值不易求出，可构造函数，然后根据函数 的单调性或最值，证明.
21．（1），以为圆心，为半径的圆；（2）
【解析】
（1）根据极坐标与直角坐标的互化公式，直接得到的直角坐标方程并判断形状；
（2）联立直线参数方程与的直角坐标方程，根据直线参数方程中的几何意义结合求解出的值.
【详解】
解：（1）由，得，所以，
即，.
所以曲线是以为圆心，为半径的圆.
（2）将代入，
整理得.
设点，所对应的参数分别为，，
则，.
，
解得，则.
本题考查极坐标与直角坐标的互化以及根据直线参数方程中的几何意义求值，难度一般.（1）极坐标与直角坐标的互化公式：；（2）若要使用直线参数方程中的几何意义，要注意将直线的标准参数方程代入到对应曲线的直角坐标方程中，构成关于的一元二次方程并结合韦达定理形式进行分析求解.
22．（Ⅰ）（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）见解析.
【解析】
试题分析：（Ⅰ）由题，
所以故，，代入点斜式可得曲线在处的切线方程；
（Ⅱ）由题
（1）当时，在上单调递增. 则函数在上的最小值是
（2）当时，令，即，令，即
（i）当，即时，在上单调递增，
所以在上的最小值是
（ii）当，即时，由的单调性可得在上的最小值是
（iii）当，即时，在上单调递减，在上的最小值是
（Ⅲ）当时，
令，则是单调递减函数.
因为，，
所以在上存在，使得，即
讨论可得在上单调递增，在上单调递减.
所以当时，取得最大值是
因为，所以由此可证
试题解析：（Ⅰ）因为函数，且，
所以，
所以
所以，
所以曲线在处的切线方程是，即
（Ⅱ）因为函数，所以
（1）当时，，所以在上单调递增.
所以函数在上的最小值是
（2）当时，令，即，所以
令，即，所以
（i）当，即时，在上单调递增，
所以在上的最小值是
（ii）当，即时，在上单调递减，在上单调递增，
所以在上的最小值是
（iii）当，即时，在上单调递减，
所以在上的最小值是
综上所述，当时，在上的最小值是
当时，在上的最小值是
当时，在上的最小值是
（Ⅲ）因为函数，所以
所以当时，
令，所以是单调递减函数.
因为，，
所以在上存在，使得，即
所以当时，；当时，
即当时，；当时，
所以在上单调递增，在上单调递减.
所以当时，取得最大值是
因为，所以
因为，所以
所以
红球个数
3
2
1
0
实际付款
7折
8折
9折
原价