2026届广东第二师范学院番禺附中高三第三次模拟考试数学试卷含解析

这是一份2026届广东第二师范学院番禺附中高三第三次模拟考试数学试卷含解析，共4页。试卷主要包含了考生必须保证答题卡的整洁等内容，欢迎下载使用。
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．幻方最早起源于我国，由正整数1，2，3，……，这个数填入方格中，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形数阵就叫阶幻方．定义为阶幻方对角线上所有数的和，如，则（ ）
A．55B．500C．505D．5050
2．若非零实数、满足，则下列式子一定正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．已知平面向量，，，则实数x的值等于（ ）
A．6B．1C．D．
4．若两个非零向量、满足，且，则与夹角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
5．过双曲线的右焦点F作双曲线C的一条弦AB，且，若以AB为直径的圆经过双曲线C的左顶点，则双曲线C的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
6．如图是一个几何体的三视图,则该几何体的体积为( )
A．B．C．D．
7．过抛物线的焦点作直线与抛物线在第一象限交于点A，与准线在第三象限交于点B，过点作准线的垂线，垂足为.若，则（ ）
A．B．C．D．
8．的展开式中的系数是-10，则实数( )
A．2B．1C．-1D．-2
9．据国家统计局发布的数据，2019年11月全国CPI（居民消费价格指数），同比上涨4.5%，CPI上涨的主要因素是猪肉价格的上涨，猪肉加上其他畜肉影响CPI上涨3.27个百分点．下图是2019年11月CPI一篮子商品权重，根据该图，下列结论错误的是（ ）
A．CPI一篮子商品中所占权重最大的是居住
B．CPI一篮子商品中吃穿住所占权重超过50%
C．猪肉在CPI一篮子商品中所占权重约为2.5%
D．猪肉与其他畜肉在CPI一篮子商品中所占权重约为0.18%
10．己知抛物线的焦点为，准线为，点分别在抛物线上，且，直线交于点，，垂足为，若的面积为，则到的距离为（ ）
A．B．C．8D．6
11．已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于点、，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，三角形AOB的面积为，则p=（ ）．
A．1B．C．2D．3
12．若，则函数在区间内单调递增的概率是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若存在实数使得不等式在某区间上恒成立，则称与为该区间上的一对“分离函数”，下列各组函数中是对应区间上的“分离函数”的有___________.（填上所有正确答案的序号）
①，，；
②，，；
③，，；
④，，.
14．已知椭圆的下顶点为，若直线与椭圆交于不同的两点、，则当_____时，外心的横坐标最大．
15．设复数满足，其中是虚数单位，若是的共轭复数，则____________．
16．（5分）函数的定义域是____________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）为贯彻十九大报告中“要提供更多优质生态产品以满足人民日益增长的优美生态环境需要”的要求，某生物小组通过抽样检测植物高度的方法来监测培育的某种植物的生长情况．现分别从、、三块试验田中各随机抽取株植物测量高度，数据如下表（单位：厘米）：
假设所有植株的生长情况相互独立．从、、三组各随机选株，组选出的植株记为甲，组选出的植株记为乙，组选出的植株记为丙．
（1）求丙的高度小于厘米的概率；
（2）求甲的高度大于乙的高度的概率；
（3）表格中所有数据的平均数记为．从、、三块试验田中分别再随机抽取株该种植物，它们的高度依次是、、（单位：厘米）．这个新数据与表格中的所有数据构成的新样本的平均数记为，试比较和的大小．（结论不要求证明）
18．（12分）已知等差数列中，，数列的前项和.
（1）求；
（2）若，求的前项和.
19．（12分）语音交互是人工智能的方向之一，现在市场上流行多种可实现语音交互的智能音箱.主要代表有小米公司的“小爱同学”智能音箱和阿里巴巴的“天猫精灵”智能音箱，它们可以通过语音交互满足人们的部分需求.某经销商为了了解不同智能音箱与其购买者性别之间的关联程度，从某地区随机抽取了100名购买“小爱同学”和100名购买“天猫精灵”的人，具体数据如下：
（1）若该地区共有13000人购买了“小爱同学”，有12000人购买了“天猫精灵”，试估计该地区购买“小爱同学”的女性比购买“天猫精灵”的女性多多少人？
（2）根据列联表，能否有95%的把握认为购买“小爱同学”、“天猫精灵”与性别有关？
附：
20．（12分）设函数．
（1）求不等式的解集；
（2）若的最小值为，且，求的最小值．
21．（12分）中，内角的对边分别为，.
（1）求的大小；
（2）若，且为的重心，且，求的面积.
22．（10分）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），曲线的极坐标方程为．
（Ⅰ）求直线的普通方程及曲线的直角坐标方程；
（Ⅱ）设点，直线与曲线相交于，，求的值．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】
因为幻方的每行、每列、每条对角线上的数的和相等，可得，即得解.
【详解】
因为幻方的每行、每列、每条对角线上的数的和相等，
所以阶幻方对角线上数的和就等于每行（或每列）的数的和，
又阶幻方有行（或列），
因此，，
于是．
故选：C
【点睛】
本题考查了数阵问题，考查了学生逻辑推理，数学运算的能力，属于中档题.
2、C
【解析】
令，则，，将指数式化成对数式得、后，然后取绝对值作差比较可得．
【详解】
令，则，，，，
，因此，.
故选：C.
【点睛】
本题考查了利用作差法比较大小，同时也考查了指数式与对数式的转化，考查推理能力，属于中等题．
3、A
【解析】
根据向量平行的坐标表示即可求解.
【详解】
，，，
，
即，
故选：A
【点睛】
本题主要考查了向量平行的坐标运算，属于容易题.
4、A
【解析】
设平面向量与的夹角为，由已知条件得出，在等式两边平方，利用平面向量数量积的运算律可求得的值，即为所求.
【详解】
设平面向量与的夹角为，，可得，
在等式两边平方得，化简得.
故选：A.
【点睛】
本题考查利用平面向量的模求夹角的余弦值，考查平面向量数量积的运算性质的应用，考查计算能力，属于中等题.
5、C
【解析】
由得F是弦AB的中点.进而得AB垂直于x轴，得，再结合关系求解即可
【详解】
因为，所以F是弦AB的中点.且AB垂直于x轴.因为以AB为直径的圆经过双曲线C的左顶点，所以，即，则，故.
故选：C
【点睛】
本题是对双曲线的渐近线以及离心率的综合考查，是考查基本知识，属于基础题．
6、A
【解析】
根据三视图可得几何体为直三棱柱，根据三视图中的数据直接利用公式可求体积.
【详解】
由三视图可知几何体为直三棱柱，直观图如图所示：
其中，底面为直角三角形，，，高为.
∴该几何体的体积为
故选：A.
【点睛】
本题考查三视图及棱柱的体积，属于基础题.
7、C
【解析】
需结合抛物线第一定义和图形，得为等腰三角形，设准线与轴的交点为，过点作，再由三角函数定义和几何关系分别表示转化出，
，结合比值与正切二倍角公式化简即可
【详解】
如图，设准线与轴的交点为，过点作.由抛物线定义知，
所以，，，，
所以.
故选：C
【点睛】
本题考查抛物线的几何性质，三角函数的性质，数形结合思想，转化与化归思想，属于中档题
8、C
【解析】
利用通项公式找到的系数，令其等于-10即可.
【详解】
二项式展开式的通项为，令，得，
则，所以，解得.
故选：C
【点睛】
本题考查求二项展开式中特定项的系数，考查学生的运算求解能力，是一道容易题.
9、D
【解析】
A.从第一个图观察居住占23%，与其他比较即可. B. CPI一篮子商品中吃穿住所占23%+8%+19.9%=50.9%，再判断.C.食品占19.9%，再看第二个图，分清2.5%是在CPI一篮子商品中，还是在食品中即可.D. 易知猪肉与其他畜肉在CPI一篮子商品中所占权重约为2.1%+2.5%=4.6%.
【详解】
A. CPI一篮子商品中居住占23%，所占权重最大的，故正确.
B. CPI一篮子商品中吃穿住所占23%+8%+19.9%=50.9%，权重超过50%，故正确.
C.食品占中19.9%，分解后后可知猪肉是占在CPI一篮子商品中所占权重约为2.5%，故正确.
D. 猪肉与其他畜肉在CPI一篮子商品中所占权重约为2.1%+2.5%=4.6%，故错误.
故选：D
【点睛】
本题主要考查统计图的识别与应用，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.
10、D
【解析】
作，垂足为，过点N作，垂足为G，设，则，结合图形可得，，从而可求出，进而可求得，，由的面积即可求出，再结合为线段的中点，即可求出到的距离．
【详解】
如图所示，
作，垂足为，设，由，得，则，.
过点N作，垂足为G，则，，
所以在中，，，所以，
所以，在中，，所以，
所以，，
所以 ．解得，
因为，所以为线段的中点，
所以F到l的距离为．
故选：D
【点睛】
本题主要考查抛物线的几何性质及平面几何的有关知识，属于中档题．
11、C
【解析】
试题分析：抛物线的准线为，双曲线的离心率为2，则，
，渐近线方程为，求出交点，，
，则；选C
考点：1.双曲线的渐近线和离心率；2.抛物线的准线方程；
12、B
【解析】函数在区间内单调递增， ，在恒成立， 在恒成立， ， 函数在区间内单调递增的概率是，故选B.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、①②④
【解析】
由题意可知，若要存在使得成立，我们可考虑两函数是否存在公切点，若两函数在公切点对应的位置一个单增，另一个单减，则很容易判断，对①，③，④都可以采用此法判断，对②分析式子特点可知，，进而判断
【详解】
①时，令，则，单调递增， ，即.令，则，单调递减，，即，因此，满足题意.
②时，易知，满足题意.
③注意到，因此如果存在直线，只有可能是（或）在处的切线，，因此切线为，易知，，因此不存在直线满足题意.
④时，注意到，因此如果存在直线，只有可能是（或）在处的切线，，因此切线为.
令，则，易知在上单调递增，在上单调递减，所以，即.
令，则，易知在上单调递减，在上单调递增，所以，即.
因此，满足题意.
故答案为：①②④
【点睛】
本题考查新定义题型、利用导数研究函数图像，转化与化归思想，属于中档题
14、
【解析】
由已知可得、的坐标，求得的垂直平分线方程，联立已知直线方程与椭圆方程，求得的垂直平分线方程，两垂直平分线方程联立求得外心的横坐标，再由导数求最值．
【详解】
如图，
由已知条件可知，不妨设，则外心在的垂直平分线上，
即在直线，也就是在直线上，
联立，得或，
的中点坐标为，
则的垂直平分线方程为，
把代入上式，得，
令，则，
由，得（舍）或．
当时，，当时，.
当时，函数取极大值，亦为最大值．
故答案为：.
【点睛】
本题考查直线与椭圆位置关系的应用，训练了利用导数求最值，是中等题．
15、
【解析】
由于，则．
16、
【解析】
要使函数有意义，则，即，解得，故函数的定义域是．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）；（3）．
【解析】
设事件为“甲是组的第株植物”，事件为“乙是组的第株植物”，事件为“丙是组的第株植物”，、、、，可得出.
（1）设事件为“丙的高度小于厘米”，可得，且、互斥，利用互斥事件的概率公式可求得结果；
（2）设事件为“甲的高度大于乙的高度”，列举出符合题意的基本事件，利用互斥事件的概率加法公式可求得所求事件的概率；
（3）根据题意直接判断和的大小即可.
【详解】
设事件为“甲是组的第株植物”，事件为“乙是组的第株植物”，事件为“丙是组的第株植物”，、、、．
由题意可知，、、、．
（1）设事件为“丙的高度小于厘米”，由题意知，
又与互斥，所以事件的概率；
（2）设事件为“甲的高度大于乙的高度”．
由题意知．
所以事件的概率
；
（3）.
【点睛】
本题考查概率的求法，考查互斥事件加法公式、相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是中等题．
18、（1），；（2）.
【解析】
（1）由条件得出方程组 ，可求得的通项，当时，，可得，当时，，得出是以1为首项，2为公比的等比数列，可求得的通项；
（2）由（1）可知，，分n为偶数和n为奇数分别求得.
【详解】
（1）由条件知， ，，
当时，，即，
当时，，
是以1为首项，2为公比的等比数列， ；
（2）由（1）可知，，
当n为偶数时，
当n为奇数时，
综上，
【点睛】
本题考查等差数列和等比数列的通项的求得，以及其前n项和，注意分n为偶数和n为奇数两种情况分别求得其数列的和，属于中档题.
19、（1）多2350人；（2）有95%的把握认为购买“小爱同学”、“天猫精灵”与性别有关.
【解析】
（1）根据题意，知100人中购买“小爱同学”的女性有55人，购买“天猫精灵”的女性有40人，即可估计该地区购买“小爱同学”的女性人数和购买“天猫精灵”的女性的人数，即可求得答案；
（2）根据列联表和给出的公式，求出，与临界值比较，即可得出结论.
【详解】
解：（1）由题可知，100人中购买“小爱同学”的女性有55人，购买“天猫精灵”的女性有40人，
由于地区共有13000人购买了“小爱同学”，有12000人购买了“天猫精灵”，
估计购买“小爱同学”的女性有人.
估计购买“天猫精灵”的女性有人.
则，
∴估计该地区购买“小爱同学”的女性比购买“天猫精灵”的女性多2350人.
（2）由题可知， ，
∴有95%的把握认为购买“小爱同学”、“天猫精灵”与性别有关.
【点睛】
本题考查随机抽样估计总体以及独立性检验的应用，考查计算能力.
20、（1）或（2）最小值为．
【解析】
（1）讨论，，三种情况，分别计算得到答案.
（2）计算得到，再利用均值不等式计算得到答案.
【详解】
（1）
当时，由，解得；
当时，由，解得；
当时，由，解得．
所以所求不等式的解集为或．
（2）根据函数图像知：当时，，所以．
因为
，
由，可知，
所以，
当且仅当，，时，等号成立．
所以的最小值为．
【点睛】
本题考查了解绝对值不等式，函数最值，均值不等式，意在考查学生对于不等式，函数知识的综合应用.
21、（1）；（2）
【解析】
（1）利用正弦定理，转化为，分析运算即得解；
（2）由为的重心，得到，平方可得解c,由面积公式即得解.
【详解】
（1）由，由正弦定理得
C，即
∴
∵∴，
又∵
∴
（2）由于为的重心
故，
∴
解得或舍
∴的面积为.
【点睛】
本题考查了正弦定理和余弦定理的综合应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.
22、（Ⅰ），；（Ⅱ）.
【解析】
（Ⅰ）由（为参数）直接消去参数，可得直线的普通方程，把两边同时乘以，结合，可得曲线的直角坐标方程；
（Ⅱ）把代入，化为关于的一元二次方程，利用根与系数的关系及参数的几何意义求解．
【详解】
解：（Ⅰ ）由（为参数），消去参数，可得．
∵，∴，即．
∴曲线的直角坐标方程为；
（Ⅱ ）把代入，得．
设，两点对应的参数分别为，
则，．
不妨设，，
∴．
【点睛】
本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，明确直线参数方程中参数的几何意义是解题的关键，是中档题．
组
组
组
“小爱同学”智能音箱
“天猫精灵”智能音箱
合计
男
45
60
105
女
55
40
95
合计
100
100
200
0.10
0.05
0.025
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828