2026年中考数学二轮复习 专题09 相似三角形的综合应用(高频考点专练)

这是一份2026年中考数学二轮复习 专题09 相似三角形的综合应用(高频考点专练)，共8页。试卷主要包含了比例线段与相似图形基础，平行线分线段成比例题型三，相似三角形判定与性质综合题型五，相似与几何图形函数综合，相似三角形与动点问题，相似在二次函数压轴中的应用，位似图形与坐标变换，相似三角形实际应用等内容，欢迎下载使用。

相似三角形是中考数学几何板块核心必考模块，分值约 8～16 分，覆盖选择题、填空题、解答题全题型，中档题为主、压轴题为拉分点，侧重考查模型识别、逻辑推理与数形结合能力，是几何综合题的核心解题工具。
基础知识必备：掌握比例的基本性质、合比 / 等比性质及比例线段概念；熟记相似三角形的四
大判定定理，能快速识别 A 字型、8 字型、母子型、一线三等角等经典相似模型；熟练运用相似三角形的对应边、角性质，以及周长、面积、对应线段的比例关系；理解位似图形的定义、性质及坐标系中的位似变换规律；能将实际问题转化为相似几何模型，掌握相似与四边形、圆、函数的综合解题思路。
2026 中考预测：
题型稳定：比例计算、位似坐标变换、简单相似模型识别为选择填空必考内容，相似三角形的
判定与性质证明计算为解答题必考；
难度分层：基础题侧重单一知识点与简单模型，中档题考查相似与几何图形的综合，压轴题聚焦动点背景下的相似存在性与函数结合问题；
命题趋势：强化经典模型的灵活运用，注重复杂图形中相似三角形的分离与构造，动态几何、分类讨论类相似问题考查频率提升，部分题目结合生活实际背景考查建模能力。
题型一 比例线段与相似图形基础
?3?−?
【典例 01】（2026·福建泉州·模拟预测）已知实数?，?满足? = 2，则 ? 的值为（ ）
11
A．3B．2C．2D．3
【变式 01】若2? = 3?(? ≠ 0)，则下列比例式一定成立的是（ ）
A．? = ?
B．? = ?
C．? = 2
D．? = 3
2332
?3
2?
【变式 02
??
?(? ≠ 0)
?+2?−?
】已知2 = 3 = 4，则2?−?+?的值为（ ）
425
A．5B．3C．6D．2
??+?
【变式 03】（2025·四川成都·中考真题）若? = 3，则 ? 的值为．
【变式 04（2026·山西吕梁·一模）二胡是中国古老的民族拉弦乐器之一．音乐家发现，二胡的千斤线绑在琴弦的黄金分割点处时，演奏出来的音调最和谐、最悦耳．如图，一把二胡的琴弦??长为60cm，千斤线绑
在点?处，若?? = 5−1，则琴弦??的长为cm．
??2
【变式 05】（2024·山西·中考真题）黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字清远的“远”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点 A，B 分别在习字格的边??，??上，且
5−1
2
??
?? ∥ ??，“远”字的笔画“、”的位置在??的黄金分割点 C 处，且?? =
cm（结果保留根号）．
题型二 平行线分线段成比例
．若?? = 2cm，则??的长为
??
【典例 01】（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，?? ∥ ?? ∥ ??，若?? = 5，?? = 8，则?? = （ ）
3585
A．2B．3C．2D．8
【变式 01】（2025·四川乐山·中考真题）如图，?1 ∥ ?2 ∥ ?3，?? = 2，?? = 3，?? = 4，则??的长为（ ）
A．4B．6C．8D．10
【变式 02】（2024·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，在四边形????中，?? ∥ ??，点?在??上，??∥??交??
于点?，若??:?? = 1∶2，?? = 3，则??的长为（ ）
A．6B．3C．5D．9
【变式 03】（25-26 九年级下·辽宁鞍山·月考）如图，??与??相交于点?，点?在线段??上，且
??
?? ∥ ?? ∥ ??，若?? = 5，?? = 3，?? = ??，则??的值为（ ）
4243
A．3B．3C．5D．5
【变式 04】（2025·甘肃武威·二模）如图，已知 △ ???中，?? ∥ ??，?? = 2，?? = 4，?? = 8．求线段??
的长；
【变式 05】如图，在△ABC 中，点 D 是边 AB 的四等分点，DE∥AC，DF∥BC，AC＝8，BC＝12，求四边形 DECF 的周长．
题型三 位似图形与坐标变换
【典例 01】（2026·辽宁沈阳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点 A、C 在坐标轴上，矩形????与矩形??′?′?′是以点 O 为位似中心的位似图形，点 B 的坐标为(8,4)．若??′ = 2，则??′的长是（）
A．3B．6C．2D．4
【变式 01】（2025·山西阳泉·模拟预测）在平面直角坐标系中， △ ???的顶点?的坐标是(−2,4)．以原点?
1
为位似中心，将△ ???缩小，相似比为2，则点?的对应点的坐标是（）
A．(−1,2)B．(−1,2)或(1,−2)C．(−4,8)D．(−4,8)或(4,−8)
??
【变式 02】如图，在平面直角坐标系中，已知?(2,1), △ ???与 △ ???位似，原点 O 是位似中心，且?? =
1
3，则点 E 的坐标是（ ）
A．(9,4)B．(9,3)C．(6,2)D．(6,3)
【变式 03】已知 △ ???在直角坐标系中的位置如图所示，以 O 为位似中心，把 △ ???放大 2 倍得到△ ?′?′
?′，那么?′的坐标为（ ）
A．(−8,−4)B．(−8,4)C．(8,−4)D．(−8,4)或(8,−4)
【变式 04】如图，四边形????和四边形?′?′?′?′
2
????的周长为 36，
是位似图形，位似比为3，且四边形
则四边形?′?′?′?′的周长为（ ）
A．16B．24C．54D．81
【变式 05】如图，在平面直角坐标系的第一象限内， △ ?′?′?′与△ ???关于原点 O 位似，点?的坐标为
′
(1,2)，点? 的坐标为(2,4)，则?△???∶?△?′?′?′ = ．
题型四 相似三角形判定与性质综合
【典例 01】（2024·甘肃陇南·一模）如图，在 △ ???中，点?、?分别在边??、??上，?? = 12，?? = 15，且∠??? = ∠?．
(1)求线段??的长；
(2)当∠??? = ∠?,∠? = 60⁰时，求△ ???的面积．
【变式 01】（2026·安徽·一模）如图，点?，?是▱????的边??上的两点，连接??，??交于点?， △ ???
??1
的面积为18，?? = 3，则▱????的面积为（ ）
A．45B．48C．50D．52
【变式02】（2026·山西吕梁·一模）如图，△ ???, △ ???是直角三角形，∠??? = ∠??? = 90⁰，∠??? = ∠???，连接??，??，若?? = 10,?? = ?? = 6,?? = 3，过点?作?? ⊥ ??于点?，则??的长为．
【变式 03】（25-26 九年级上·上海普陀·期末）已知：如图，四边形????中，点 E 在边??上，??交??于点 F，∠??? = ∠?，??2 = ?? ⋅ ??．
(1)求证： △ ??? ∽△ ???；
????
(2)如果?? = ??，求证：?? ⋅ ?? = ?? ⋅ ??．
【变式 04】 （2026·上海普陀·一模）如图，点?是Rt △ ???斜边??上的中点，点?位于??边上，且
∠??? = ∠?−∠?．
求证： △ ??? ∽△ ???
(2)若?? = 2 6，?? = 2，求??的长．
【变式 05】（2026·河南周口·一模）如图，在 △ ???中，∠??? = 90⁰，将△ ???绕点?旋转得到 △ ???，点?的对应点?在边??上，连接??．
求证： △ ???∽ △ ???；
(2)若?? = 8, ?? = 6，求??的长；
??
(3)过点?作??的平行线交??的延长线于点?，直接写出??的值．
题型五 相似三角形实际应用
【典例 01】（2024·广东·模拟预测）如图，在水平桌面上的两个?均垂直于桌面，?1，?2，?在一条直线上．若?1 = 2.8cm，?2 = 2.1cm．①号?的测试距离?1 = 6m，则②号?的测试距离?2为（ ）
18
A．4.5cmB．4.5mC． 7 mD．3m
【变式 01】（2025·江西·二模）如图是凸透镜成像光路图，跟主光轴??平行的光线??经凸透镜折射后过焦点 F，通过光心 O 的光线??，经凸透镜折射后传播方向不变，即?′在??的延长线上，一根长10cm的蜡烛
??，放在三倍焦距处，已知焦距? = 10cm，则经过凸透镜成像得到的?′?′的长为（ ）
10
A．6cmB．5cmC．4cmD． 3 cm
【变式 02】（2026·上海松江·一模）如图，某同学想利用一根标杆测量旗杆的高度，已知标杆高度?? = 2.7米，标杆与旗杆的水平距离?? = 16米，人的眼睛与地面的距离?? = 1.7米，当?、?、?三点共线时，人与标杆??的水平距离?? = 2米，那么旗杆??的高度是米．
【变式 03】（2025·陕西西安·一模）如图，初三学生小李想测量他家楼下的一棵松树??的高度，由于松树周边有花坛无法直接到达松树下面测量，他先通过查询资料得到这栋住宅楼??的高度为30m，在楼顶端 C处测得松树顶端 A 的俯角为22⁰，在某一时刻太阳光照射下，松树顶端 A 的影子落在地面上的点 E 处，楼顶
端 C 的影子落在地面上的点 F 处，测得?? = 8m，?? = 30m，已知松树、住宅楼均垂直于地面，且点 B， E，D，F 在同一条直线上，求松树的高度??．（结果精确到0.1m，参考数据：sin22⁰ ≈ 0.37，cs
22⁰ ≈ 0.93，tan22⁰ ≈ 0.40）
【变式 04】（2025·江苏无锡·中考真题）某校数学研究性学习小组为测量物体的高度，开展了如下综合与实践活动．
【活动主题】测量物体的高度
【测量工具】卷尺、标杆
【活动过程】
活动 1：测量校内旗杆的高度
该小组在校内进行了旗杆高度的测量活动（示意图 1）．在点?处竖立标杆??，直立在点?处的小军从点?处
看到标杆顶?、旗杆顶?在同一条直线上．已知旗杆底端?与?、?在同一条直线上，?? = 2.8m，?? = 1.4m，
?? = 2m，?? = 16m．
求旗杆??的高度．
活动 2：测量南禅寺妙光塔的高度
南禅寺妙光塔，简称“妙光塔”，始建于北宋雍熙年间，是无锡著名的文物保护单位之一、该小组为全面了解本土历史文物，决定走出校园去测量妙光塔的高度．他们到达妙光塔后，发现塔顶?和塔底中心?均无法到达．经研究，设计并实施了如下测量活动（示意图 2）．在地面一条水平步道上的点?处竖立标杆??，直立
在点?处的小军从点?处看到标杆顶?、塔顶?在同一条直线上．小军沿??的方向走到点?′处，此时标杆?′?′
竖立于?′处，从点?′处看到标杆顶?′、塔顶?在同一条直线上．已知??、??、??、?′?′和?′?′在同一平面内，点?、?、?、?′、?′在同一条直线上，?? = ?′?′ = 2.8m，?? = ?′?′ = 1.4m，?? = 1.2m，?′?′ = 2.2 m，??′ = 30m．
求妙光塔??的高度．
活动主题
测量纪念碑的高度
实物图和测量示意图
测量说明
如图，纪念碑??位于有台阶的平台??上，太阳光下，其顶端?的影子落在点?处，同一时刻，竖直放置的标杆??顶端?的影子落在点?处，位于点?处的观测者眼 睛所在位置为点?，点?,?,?在一条直线上，纪念碑底部点?在观测者的水平视线上．
测量数据
?? = 2.1m,?? = 2.1m,?? = 1m,?? = 1.2m
备注
点?,?,?,?在同一水平线上．
【变式 05】（2025·河南·中考真题）焦裕禄纪念园是全国重点革命烈士纪念建筑物保护单位，革命烈士纪念碑位于纪念园南部的中心．某综合与实践小组开展测量纪念碑高度的活动，记录如下．
根据以上信息，解决下列问题．
(1)由标杆的影子??的长和标杆??的长相等，可得?? = ??，请说明理由．
求纪念碑??的高度．
小红通过间接测量得到??的长，进而求出纪念碑??的高度约为18.5m．查阅资料得知，纪念碑的实际高度为19.64m．请判断小红的结果和（2）中的结果哪个误差较大？并分析误差较大的可能原因（写出一条即可）．
题型六 相似与几何图形（四边形、圆）综合
【典例 01】（2026·河南郑州·一模）如图，▱????中，E 是??上一点，且?? = 2??，连接??、??交于点
??
F，则??的值为（ ）
2335
A．3B．4C．5D．7
【变式 01】（2026·广东深圳·一模）如图，在边长为6的正方形????中，点?是边??的中点，连接??，以点?旋转中心将线段??顺时针旋转90⁰，得到线段??，连接??，??交边??于点?，?，则??的长为（ ）．
53
A．3B．2C．2D．2
【变式 02】（2026·四川成都·一模）如图，在菱形????中，对角线??与??相交于点?，过?作?? ⊥ ??于点?，交??于点?．
求证： △ ??? ∽△ ???；
7
(2)若?? = 3，?? = 4，求??及??的长．
【变式 03】（2021·江苏无锡·中考真题）如图，四边形????内接于 ⊙ ?，??是⊙ ?的直径，??与??交于点 E，??切 ⊙ ?于点 B．
（1）求证：∠??? = ∠???；
（2）若∠??? = 20⁰，∠??? = 40⁰，求证： △ ??? ∽△ ???．
【变式 04】（2026·浙江杭州·一模）如图， △ ???内接于 ⊙ ?，?? = ??，连结??并延长交??于点 E，交
⊙ ?于点 D．连结??，??，??．
(1)求证：∠??? = ∠???．
(2)若∠??? = 55⁰，求∠???的度数．
(3)若?? =
?△??? 9
6
=，求??的长．
?
，
△???16
【变式 05】（2026·安徽·二模）如图1，正方形????中，?、?分别为边??、??上的点，且?? = ??，连接
??、??相交于点?，?为??延长线上一点，连接??交??、??于点?、?，且?? ⊥ ??．
(1)求证：∠??? = 90⁰；
??
(2)若?? = ??，求??的值；
(3)如图 2，若?? = ?? = 2，求??的长．
题型七 相似与一次（反比例）函数综合
【典例 01】（2025·四川宜宾·中考真题）如图，?是坐标原点，反比例函数? = −4(? > 0)与直线? = −2?交
?
于点?，点?在
4(? > 0)的图象上，直线??与?轴交于点?．连结??．若?? = 3??，则??的长为（）
? = −?
10
A．
B．5 2
C．
D． 130
34
2
2
【变式 01】（2025·江苏宿迁·中考真题）如图，点?、?在双曲线?1 = ?1(? > 0)上，直线??分别与?轴、?
?
、
轴交于点?、?，与双曲线?2 = ?2(? < 0)交于点?，连接????，若?△??? = 20,?? = 3??，?? = ??，则
?
?2的值为（ ）
A．−10B．−11C．−12D．−13
【变式 03】（2025·四川宜宾·中考真题）如图，过原点?的直线与反比例函数? = ?(? ≠ 0)的图象交于?、?
?
两点，一次函数? = ?? + ?(? ≠ 0)的图象过点 A 与反比例函数交于另一点?，与?轴交于点?，其中?
(−2,1)，?(−1,?)．
(1)求一次函数? = ?? + ?的表达式，并求△ ???的面积．
连接??，在直线??上是否存在点?，使以?、?、?为顶点的三角形与 △ ???相似，若存在，求出点?坐标；若不存在，请说明理由．
【变式 04】（2026·江苏苏州·模拟预测）如图，一次函数? = ?? + ?(? ≠ 0)的图象与?轴、?轴分别交于点
?(−2,0)，点?(0,4)，与反比例函数? = ?(? ≠ 0)的图象交于点?(?,6)．
?
求一次函数和反比例函数的解析式；
点?是反比例函数图象在第一象限分支上的一点（不与点?重合），过点?作?? ∥ ?轴，交射线??于?，若
??1
?? = 2，求点?的坐标．
【变式 05】（2025·四川成都·一模）如图，在平面直角坐标系???中，直线?1:? = ? + 2分别交 x 轴、y 轴于点 A，B，直线?2:? = −2? + ?过点 A 交 y 轴于点 C．
求直线?2的表达式；
点 P 是 y 轴上一动点，且△ ???与 △ ???相似，求点 P 的坐标；
直线? :? = ?(? + 1)与 x 轴交于点 M，分别与直线? ，? 交于点 D，E，当?? = 1时，求 k 的值．
312
??3
题型八 相似三角形与动点问题
【典例 01】（2025·甘肃武威·模拟预测）如图所示，∠? = 90⁰，?? = 8cm，??:?? = 3∶5，点 P 从点 B 出发，沿??向点 C 以2cm/s的速度移动，点 Q 从点 C 出发沿??向点 A 以1cms的速度移动，如果 P、Q 分别从 B、C 同时出发，过多少秒时，以 C、P、Q 为顶点的三角形恰与△ ???相似？
【变式 01】（2025·山东青岛·模拟预测）如图①，在矩形????中，?? = 10，?? = 5，点 E 为??的中点，连接??．点 P 从点 A 出发，沿??方向匀速运动，速度为 2；同时，点 Q 从点 B 出发，沿??方向匀速运动，速度为 1；当一个点停止运动，另一个点也停止运动． 连接??，??，??，设运动时间为?(s)(0 < ? < 5)，解答下列问题：
当?为何值时， △ ???与△ ???相似；
设 △ ???的面积为?，求?与?的函数关系式；
如图②，点?从点 B 出发，沿??方向匀速运动，速度为 5，连接??．在运动过程中，是否存在某一时
刻 ，使得△ ???为等腰三角形？若存在，求出?的值；若不存在，请说明理由．
【变式 02】（2022·辽宁大连·中考真题）如图，在 △ ???中，∠??? = 90⁰，?? = 4，点 D 在??上，
?? = 3，连接??，?? = ??，点 P 是边??上一动点（点 P 不与点 A，D，C 重合），过点 P 作??的垂线，与??相交于点 Q，连接??，设?? = ?， △ ???与 △ ???重叠部分的面积为 S．
求??的长；
求 S 关于 x 的函数解析式，并直接写出自变量 x 的取值范围．
【变式 03】（2025·安徽淮南·模拟预测）如图，在矩形????中，?? = 10m，?? = 24m，动点 P 以2m/s的速度从 A 点出发，沿??向 C 点移动，同时动点?以1m/s的速度从 C 点出发，沿??向 B 点移动，设 P、Q两点移动的时间为 t 秒．(0 < ? < 13)
t 为多少时，以 P、Q、C 为顶点的三角形与△ ???相似?
探究：在 P、Q 两点移动过程中，四边形????与 △ ???的面积能否相等?若能，求出此时 t 的值；若不能，请说明理由．
【变式 04】（2025·福建泉州·二模）如图，在矩形????中，?? = 12，动点 P 在??边上，以每秒１个单位的速度从点 B 向点 A 运动；同时动点 Q 在??边上从点 B 向 C 运动．把△ ???沿着直线??翻折，点 B 的对应点为点 G，直线??与??边相交于点 E．
如图 1，若点 P 为??的中点，连接??，求证： △ ???≌ △ ???．
如图 2，若点 Q 的运动速度是点 P 运动速度的 3 倍，运动时间为 t 秒，当 t 为何值时，点 G 恰好在直线??上？
如图 3，连结??，??交??于点 F，若?? ∥ ??且?? = 9，求点 Q 的运动速度．
【变式 05】（2022·山东青岛·中考真题）如图，在Rt △ ???中，∠??? = 90°,?? = 5cm,?? = 3cm，将 △ ???绕点 A 按逆时针方向旋转90⁰得到△ ???，连接??．点 P 从点 B 出发，沿??方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点 Q 从点 A 出发，沿??方向匀速运动，速度为1cm/s．??交??于点 F，连接??,??．设运动时间为
?(s)(0 < ? < 5)．解答下列问题：
当?? ⊥ ??时，求 t 的值；
设四边形????的面积为?(cm2)，求 S 与 t 之间的函数关系式；
是否存在某一时刻 t，使?? ∥ ??？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由．
题型九 相似在二次函数压轴中的应用
【典例 01】（2025·甘肃定西·一模）如图，已知抛物线? = 1?2 +?? + ?与 y 轴相交于 C，与 x 轴相交于 A、
2
B，点 A 的坐标为(2,0)，点?的坐标为(0,−1)，点 F 为抛物线的顶点．
求抛物线的解析式；
求 A、B、F 三点构成的三角形的面积；
点?是线段??上一动点，过点?作?? ⊥ ?轴于点?，连接??，当△ ???的面积最大时，求点?的坐标．
【变式 01】（2026·海南省直辖县级单位·一模）如图，抛物线? = ??2−2? + ?与?轴相交于?、?两点，与 x
轴相交于点?(−1,0)，与?轴相交于点?(0,−3)．
求抛物线的函数表达式；
如图 1，若点?是第四象限内抛物线上的一个动点，当点 D 运动到何处时， △ ???的面积最大？求出此时点 D 的坐标；
如图 2，点?是抛物线的顶点，直线??交?轴于点?，若点?是线段??上的一个动点，是否存在以点?，?，
?为顶点的三角形与△ ???相似．若存在，请直接写出点?的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式 02】（2026·福建·一模）如图，抛物线? = ?2 +?? + ?与?轴交于点?(0,2)，对称轴为直线? = −2，平行于?轴的直线与抛物线交于?、?两点，点?在对称轴左侧，?? = 6．
求此抛物线的解析式；
已知在?轴上存在一点?，使得 △ ???的周长最小，则点?的坐标为；
若点?在直线??上，直线??将 △ ???的面积分成2∶3两部分，求点?坐标．
【变式 03】（25-26 九年级上·湖南郴州·期末）如图 1，在平面直角坐标系中，二次函数? = ??2 +?? + ?(? ≠ 0)
的图象经过点?(4,0)，点?(1,3)及原点，直线??与?轴交于点?．
求二次函数的表达式；
点?是二次函数图象在直线??上方的一个动点，过点?作?? ⊥ ?轴于点?，与直线??交于点?，设点?的横坐标为?．
① ?为何值时△ ???的面积最大，并求出其最大值；
②是否存在点?，使得△ ???与 △ ???相似．若存在，请求出点?坐标；若不存在，请说明理由．
、
【变式 04】（2026·上海徐汇·一模）如图，抛物线? = 1?2 +?? + ?与?轴交于??两点，与?轴交于点?．已
2
知?(−2,0)、?(4,−6)．
求抛物线的表达式及顶点?的坐标；
将抛物线向上平移，设点?的对应点为点?，射线??交线段??于点?．
①如果??恰好平分∠???，求平移之后的抛物线的表达式；
②如果△ ???与△ ???相似，求平移的距离．
【变式 05】（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数? = ??2 +?? + ?(? ≠ 0)
的图像经过原点和点?(4,0)．经过点?的直线与该二次函数图象交于点?(1,3)，与?轴交于点?．
求二次函数的解析式及点?的坐标；
点?是二次函数图象上的一个动点，当点?在直线??上方时，过点?作?? ⊥ ?轴于点?，与直线??交于点
?，设点?的横坐标为?．
①?为何值时线段??的长度最大，并求出最大值；
②是否存在点?，使得△ ???与 △ ???相似．若存在，请求出点?坐标；若不存在，请说明理由．
（限时训练：30 分钟）
1．下列结论中，错误的是（ ）
??
A．若 =
?−4
?−5
??3
45，则 4 = 5B．若?−? = 2，则? = 2
C．若? = 2，则? = 2，? = 5D．若? = ? = 2(?−? ≠ 0)，?−? = 2
?5
??3
?−?3
2．（2026·四川成都·一模）如图，点?在 △ ???的边??上，若只添加一个条件，就可以判定
△ ??? ∽△ ???，则下列添加的条件中，正确的是（ ）
A．?? = ??B．?? = ??
??
??
C
??
??
??
??
??
??
．?? = ??D．?? = ??
3．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图象投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）??经小孔 O 在屏幕（竖直放置）上成像?′?′，设?? = 36 cm，?′?′ = 24cm，小孔 O 到??的距离为30cm，则小孔 O 到?′?′的距离为（ ）cm．
A．10B．20C．30D．40
4．（2026·陕西西安·二模）如图，正方形????边长为 3，点 E 是??上一点，连接??交??于点 F．若
3
?△??? = 2，则??的长为（ ）
63
A．7B．2C．2D．3
5．（2026·安徽·二模）如图，▱????中，E 为??延长线上一点，连接??交边??于 F 点，交对角线??于 G
点，若?? = ?? = 1，则??长为（ ）
2
D． 5−1
A．1.5B．2C．
??2??
6．（2025·西藏·中考真题）如图，点 D，E 分别是△ ???边??，??上的点，且?? ∥ ??，若?? = 3，则??的
值是．
7．（2026·江苏南通·模拟预测）如图所示，东边墙壁上点 ?处有一盏灯，从其发出的光线照射到一张长为4
尺，高为2尺的桌上(?? = 4尺，?? = ?? = 2尺)，形成的影长?? = 5尺，?? = 3尺，则灯的高度??为
尺．
?
8．（2025·四川眉山·中考真题）如图，一次函数? = ?? + ?与反比例函数? =
?(1,4)、?(4,?)
?的图象相交于
两点，与 x 轴交于点 C，点 D 与点 A 关于点 O 对称，连接??．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式：
(2)点 P 在 x 轴的负半轴上，且△ ???与 △ ???相似，求点 P 的坐标．
课题
测量焦裕禄纪念碑的高度
示意图
测量过程
步骤一：如图，小明在点 D 处竖立了一根高为1m的标杆??，发现地面上的点
G、标杆顶端 C 和焦裕禄纪念碑顶端 A 在一条直线上；
步骤二：小亮站在点 F 处，调整自己眼睛的位置，当眼睛在 E 处时，恰好看到标杆顶端 C 和焦裕禄纪念碑底端 B 在一条直线上．
测量数据
小亮的眼睛到地面的距离．?? = 1.2m，?? = 1m，?? = 3.6m．已知
9．（2026·河南商丘·一模）焦裕禄纪念碑是焦裕禄纪念园的核心组成部分，位于河南省兰考县城北关的黄河故堤沙丘上，与焦裕禄烈士墓、纪念馆等建筑共同构成中轴对称的纪念性园林，旨在缅怀焦裕禄同志并弘扬其精神．数学小组的同学开展了测量焦裕禄纪念碑高度的实践活动．
请你根据以上实践报告，帮助该小组求出焦裕禄纪念碑的高度 AB．
10．（2026·江苏苏州·模拟预测）如图，点?在以??为直径的 ⊙ ?上，过点?作??的垂线交??于点?，交 ⊙ ?
于点?，交过点?的切线于点?．
(1)求证：?? = ??；
(2)若 ⊙ ?半径为 5，?? = 3 10，求??的长和tan?的值．
?? ⊥ ??，?? ⊥ ??，?? ⊥ ??，点 B，D，G，F 在一条水平线上，图中所有点在同一平面内．
11．（2024·陕西西安·三模）如图，抛物线? = −1?2 +?? + ?与?轴交于?,?(1,0)两点，与?轴交于点?(0,2)，
2
连接 AC．
(1)求该抛物线的函数表达式及点 A 的坐标；
(2)点 D 是?轴上方拋物线上的动点，过点?作?? ⊥ ?轴于点?，是否存在点?，使得以 B、D、?为顶点的三角形与△ ???相似（含全等）?若存在，求出点?的坐标；若不存在，请说明理由．
12．（2025·广东深圳·三模）数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，已知三角形纸片???和???中，?? = ?? = 3，?? = ?? = 4，
∠??? = ∠??? = 90⁰．
【初步感知】
??
（1）如图1，连接??，??，在纸片???绕点?旋转过程中，??的值为；
【深入探究】
（2）纸片???绕点?旋转至图2的位置，连接??交??于点?，当∠??? = ∠???时，求sin∠???的值；
【拓展延伸】
在纸片???绕点?旋转过程中，试探究?，?，?三点，能否构成以??为直角边的直角三角形.若能，求出线段??的长度；若不能，请说明理由．