2026届福建省连城一中高三第四次模拟考试数学试卷含解析

这是一份2026届福建省连城一中高三第四次模拟考试数学试卷含解析，共8页。试卷主要包含了考生要认真填写考场号和座位序号，执行如下的程序框图，则输出的是，已知六棱锥各顶点都在同一个球，设，则“ ”是“”的，已知椭圆，设实数满足条件则的最大值为等内容，欢迎下载使用。
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．某几何体的三视图如图所示，则该几何体中的最长棱长为（ ）
A．B．C．D．
2．设全集，集合，，则集合（ ）
A．B．C．D．
3．已知复数，其中，，是虚数单位，则（ ）
A．B．C．D．
4．执行如下的程序框图，则输出的是（ ）
A．B．
C．D．
5．在关于的不等式中，“”是“恒成立”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
6．已知六棱锥各顶点都在同一个球（记为球）的球面上，且底面为正六边形，顶点在底面上的射影是正六边形的中心，若，，则球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
7．设向量，满足，，，则的取值范围是
A．B．
C．D．
8．设，则“ ”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
9．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过的直线与轴交于点，线段与交于点.若，则的方程为（ ）
A．B．C．D．
10．设实数满足条件则的最大值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
11．下列说法正确的是（ ）
A．“若，则”的否命题是“若，则”
B．“若，则”的逆命题为真命题
C．，使成立
D．“若，则”是真命题
12．若为纯虚数，则z＝（ ）
A．B．6iC．D．20
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．在中， ，，则_________.
14．已知双曲线：（，），直线：与双曲线的两条渐近线分别交于，两点.若（点为坐标原点）的面积为32，且双曲线的焦距为，则双曲线的离心率为________.
15．能说明“若对于任意的都成立，则在上是减函数”为假命题的一个函数是________.
16．将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落.小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入袋或袋中.己知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是，则小球落入袋中的概率为__________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）在全面抗击新冠肺炎疫情这一特殊时期，我市教育局提出“停课不停学”的口号，鼓励学生线上学习.某校数学教师为了调查高三学生数学成绩与线上学习时间之间的相关关系，对高三年级随机选取45名学生进行跟踪问卷，其中每周线上学习数学时间不少于5小时的有19人，余下的人中，在检测考试中数学平均成绩不足120分的占，统计成绩后得到如下列联表：
（1）请完成上面列联表；并判断是否有99%的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关”；
（2）①按照分层抽样的方法，在上述样本中从分数不少于120分和分数不足120分的两组学生中抽取9名学生，设抽到不足120分且每周线上学习时间不足5小时的人数是，求的分布列（概率用组合数算式表示）；
②若将频率视为概率，从全校高三该次检测数学成绩不少于120分的学生中随机抽取20人，求这些人中每周线上学习时间不少于5小时的人数的期望和方差.
（下面的临界值表供参考）
（参考公式其中）
18．（12分）已知函数，．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若函数的图象与轴恰好围成一个直角三角形，求的值．
19．（12分）在中，角，，的对边分别为，，，已知．
（1）若，，成等差数列，求的值；
（2）是否存在满足为直角？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
20．（12分）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，.
（1）证明：平面平面ABCD；
（2）设H在AC上，，若，求PH与平面PBC所成角的正弦值.
21．（12分）如图，内接于圆O，AB是圆O的直径，四边形DCBE为平行四边形，平面ABC，，．
（1）求证：平面ACD；
（2）设，表示三棱锥B-ACE的体积，求函数的解析式及最大值．
22．（10分）如图，点是以为直径的圆上异于、的一点，直角梯形所在平面与圆所在平面垂直，且，.
（1）证明：平面；
（2）求点到平面的距离.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】
根据三视图，可得该几何体是一个三棱锥，并且平面SAC平面ABC，，过S作，连接BD ，，再求得其它的棱长比较下结论.
【详解】
如图所示：
由三视图得：该几何体是一个三棱锥，且平面SAC 平面ABC，，
过S作，连接BD，则 ，
所以 ， ，，，
该几何体中的最长棱长为.
故选：C
【点睛】
本题主要考查三视图还原几何体，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于中档题.
2、C
【解析】
∵集合，，
∴
点睛：本题是道易错题，看清所问问题求并集而不是交集.
3、D
【解析】
试题分析：由,得,则，故选D.
考点：1、复数的运算；2、复数的模.
4、A
【解析】
列出每一步算法循环，可得出输出结果的值.
【详解】
满足，执行第一次循环，，；
成立，执行第二次循环，，；
成立，执行第三次循环，，；
成立，执行第四次循环，，；
成立，执行第五次循环，，；
成立，执行第六次循环，，；
成立，执行第七次循环，，；
成立，执行第八次循环，，；
不成立，跳出循环体，输出的值为，故选：A.
【点睛】
本题考查算法与程序框图的计算，解题时要根据算法框图计算出算法的每一步，考查分析问题和计算能力，属于中等题.
5、C
【解析】
讨论当时，是否恒成立；讨论当恒成立时，是否成立，即可选出正确答案.
【详解】
解：当时，，由开口向上，则恒成立；
当恒成立时，若，则 不恒成立，不符合题意，
若 时，要使得恒成立，则 ，即 .
所以“”是“恒成立”的充要条件.
故选:C.
【点睛】
本题考查了命题的关系，考查了不等式恒成立问题.对于探究两个命题的关系时，一般分成两步，若，则推出 是 的充分条件；若，则推出 是 的必要条件.
6、D
【解析】
由题意，得出六棱锥为正六棱锥，求得，再结合球的性质，求得球的半径，利用表面积公式，即可求解.
【详解】
由题意，六棱锥底面为正六边形，顶点在底面上的射影是正六边形的中心，可得此六棱锥为正六棱锥，
又由，所以，
在直角中，因为，所以，
设外接球的半径为，
在中，可得，即，解得，
所以外接球的表面积为.
故选:D.
【点睛】
本题主要考查了正棱锥的几何结构特征，以及外接球的表面积的计算，其中解答中熟记几何体的结构特征，熟练应用球的性质求得球的半径是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与计算能力，属于中档试题.
7、B
【解析】
由模长公式求解即可.
【详解】
，
当时取等号，所以本题答案为B.
【点睛】
本题考查向量的数量积，考查模长公式，准确计算是关键，是基础题.
8、C
【解析】
根据充分条件和必要条件的定义结合对数的运算进行判断即可．
【详解】
∵a，b∈（1，+∞），
∴a＞b⇒lgab＜1，
lgab＜1⇒a＞b，
∴a＞b是lgab＜1的充分必要条件，
故选C．
【点睛】
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的解法是解决本题的关键．
9、D
【解析】
由题可得，所以，又，所以，得，故可得椭圆的方程.
【详解】
由题可得，所以，
又，所以，得，，
所以椭圆的方程为.
故选：D
【点睛】
本题主要考查了椭圆的定义，椭圆标准方程的求解.
10、C
【解析】
画出可行域和目标函数，根据目标函数的几何意义平移得到答案.
【详解】
如图所示：画出可行域和目标函数，
，即，表示直线在轴的截距加上1，
根据图像知，当时，且时，有最大值为.
故选：.
【点睛】
本题考查了线性规划问题，画出图像是解题的关键.
11、D
【解析】
选项A，否命题为“若，则”，故A不正确．
选项B，逆命题为“若，则”，为假命题，故B不正确．
选项C，由题意知对，都有，故C不正确．
选项D，命题的逆否命题“若，则”为真命题，故“若，则”是真命题，所以D正确．
选D．
12、C
【解析】
根据复数的乘法运算以及纯虚数的概念，可得结果.
【详解】

∵为纯虚数，
∴且
得，此时
故选：C.
【点睛】
本题考查复数的概念与运算，属基础题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
先由题意得：，再利用向量数量积的几何意义得，可得结果.
【详解】
由知：，则在方向的投影为，
由向量数量积的几何意义得：
，∴
故答案为
【点睛】
本题考查了投影的应用，考查了数量积的几何意义及向量的模的运算，属于基础题.
14、或
【解析】
用表示出的面积，求得等量关系，联立焦距的大小，以及，即可容易求得，则离心率得解.
【详解】
联立解得.
所以的面积，所以.
而由双曲线的焦距为知，，所以.
联立解得或
故双曲线的离心率为或.
故答案为：或.
【点睛】
本题考查双曲线的方程与性质，考查运算求解能力以及函数与方程思想，属中档题.
15、答案不唯一，如
【解析】
根据对基本函数的理解可得到满足条件的函数.
【详解】
由题意，不妨设，
则在都成立，
但是在是单调递增的，在是单调递减的，
说明原命题是假命题.
所以本题答案为，答案不唯一，符合条件即可.
【点睛】
本题考查对基本初等函数的图像和性质的理解，关键是假设出一个在上不是单调递减的函数，再检验是否满足命题中的条件，属基础题.
16、
【解析】
记小球落入袋中的概率，则，又小球每次遇到黑色障碍物时一直向左或者一直向右下落，小球将落入袋，所以有，则．故本题应填．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）填表见解析；有99%的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关”（2）①详见解析②期望；方差
【解析】
（1）完成列联表，代入数据即可判断；
（2）利用分层抽样可得的取值，进而得到概率，列出分布列；根据分析知，计算出期望与方差.
【详解】
（1）
有99%的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关”.
（2）①由分层抽样知，需要从不足120分的学生中抽取人，
的可能取值为0，1，2，3，4，
，，
，，
所以，的分布列：
②从全校不少于120分的学生中随机抽取1人，此人每周上线时间不少于5小时的概率为，设从全校不少于120分的学生中随机抽取20人，这些人中每周线上学习时间不少于5小时的人数为，则，
故，.
【点睛】
本题考查了独立性检验与离散型随机变量的分布列、数学期望与方差的计算问题，属于基础题.
18、（1） （2）
【解析】
（1）当时，，
由可得，（
所以，解得，
所以不等式的解集为．
（2）由题可得，
因为函数的图象与轴恰好围成一个直角三角形，
所以，解得，
当时，，函数的图象与轴没有交点，不符合题意；
当时，，函数的图象与轴恰好围成一个直角三角形，符合题意．
综上，可得．
19、见解析
【解析】
（1）因为，，成等差数列，所以，
由余弦定理可得，
因为，所以，即，
所以．
（2）若B为直角，则，，
由及正弦定理可得，
所以，即，
上式两边同时平方，可得，所以（*）．
又，所以，，
所以，与（*）矛盾，
所以不存在满足为直角．
20、（1）见解析；（2）
【解析】
（1）记，连结，推导出，平面，由此能证明平面平面；（2）推导出，平面，连结，由题意得为的重心，，从而平面平面，进而是与平面所成角，由此能求出与平面所成角的正弦值．
【详解】
（1）证明：记，
连结，中，，，，
，，平面，
平面，平面平面．
（2）中，，，，，
，，
，，
，平面，∴，
连结，由题意得为的重心，
，，，平面
平面平面，∴在平面的射影落在上，
是与平面所成角，
中，，，，
．
与平面所成角的正弦值为．
【点睛】
本题考查面面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查线线、线面、面面的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
21、（1）见解析（2），最大值．
【解析】
（1）先证明，，故平面ADC．由，即得证；
（2）可证明平面ABC，结合条件表示出，利用均值不等式，即得解.
【详解】
（1）证明：∵四边形DCBE为平行四边形，
∴，．
∵平面ABC，平面ABC，∴．
∵AB是圆O的直径，∴，
且，平面ADC，
∴平面ADC．
∵，∴平面ADC．
（2）解∵平面ABC，，
∴平面ABC．
在中，，．
在中，∵，∴，
∴，
∴．
∵，
当且仅当，即时取等号，
∴当时，体积有最大值．
【点睛】
本题考查了线面垂直的证明和三棱锥的体积，考查了学生逻辑推理，空间想象，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.
22、（1）见解析；（2）
【解析】
（1）取的中点，证明,则平面平面，则可证平面.
（2）利用，是平面的高，容易求.，再求，则点到平面的距离可求.
【详解】
解：（1）如图：
取的中点，连接、.
在中，是的中点，是的中点，
平面平面,故平面
在直角梯形中， ，且，
∴四边形是平行四边形，，同理平面
又,故平面平面，
又平面平面.
（2）是圆的直径，点是圆上异于、的一点，
又∵平面平面，平面平面
平面，
可得是三棱锥的高线.
在直角梯形中，.
设到平面的距离为，则，即
由已知得，
由余弦定理易知：，则
解得，即点到平面的距离为
故答案为：.
【点睛】
考查线面平行的判定和利用等体积法求距离的方法，是中档题.
分数不少于120分
分数不足120分
合计
线上学习时间不少于5小时
4
19
线上学习时间不足5小时
合计
45
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
分数不少于120分
分数不足120分
合计
线上学习时间不少于5小时
15
4
19
线上学习时间不足5小时
10
16
26
合计
25
20
45