广东深圳市聚龙科学中学等校2025-2026学年第二学期高一第一阶段质量监测数学试卷（含答案）

这是一份广东深圳市聚龙科学中学等校2025-2026学年第二学期高一第一阶段质量监测数学试卷（含答案），共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知向量a=(2,1)，b=(1,−3)，则a+2b=( )
A. (4,−5)B. (4,7)C. (0,−5)D. (0,7)
2.下列向量关系式中，正确的是( )
A. AB−AC=BCB. AB+AC=BC
C. MN+NM=0D. PQ+MN+NP=MQ
3.已知|a|= 2，|b|=1，且a⊥b，则(a−b)⋅(a+2b)=( )
A. 2B. 1C. 0D. −1
4.关于平面向量a，b，c，有下列四个命题：
①若a=b，则a与b可能共线； ②若a⋅b=0，则a=0或b=0；
③若a=b，则a=b； ④若a⋅b=a⋅c，则a⊥b−c．
其中正确的命题是( )
A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④
5.如图，在△ABC中，BD=4DC，则AD=( )
A. 15AB+45ACB. 45AB+15ACC. 16AB+56ACD. 56AB+16AC
6.已知平面向量a=2,2，b=1,m，且2a−b=a+b，则不正确的是( )
A. a⋅b=4B. a//bC. m=−1D. b= 2
7.记▵ABC的面积为S，▵ABC的外接圆半径为1，且S=sin2A+sin2B−sin2C，则C=( )
A. π4B. π3C. 2π3D. 3π4
8.在▵ABC中，sin2A−sin2B−sin2C=sinBsinC，若a=3，求▵ABC周长的最大值为( )
A. 3+ 3B. 2 3C. 3+2 3D. 6
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列选项中，正确的是( )
A. 已知复数z满足1+i7z=5+i，z的共轭复数为2−3i
B. 有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台
C. 圆台有无数条母线，延长后相交于一点，但它们的长度不一定相等
D. 一个棱柱至少有六个顶点
10.已知平面向量a=1,−2，b=−4,y，下列说法正确的是( )
A. 若a//b，则y=8
B. 若a⊥b，则a在a+b方向上的投影向量是−35,−45
C. a与a+b的夹角为钝角，则y的取值范围12,+∞
D. 若a，b的夹角为120°，则y=3
11.已知a，b，c分别是▵ABC三个内角A，B，C的对边，下列四个命题中正确的是( )
A. 若▵ABC是锐角三角形，则sinB>csA
B. 若acsA=bcsB，则▵ABC是等腰三角形
C. 若A=60 ∘，a=6，b=8，则符合条件的▵ABC有两个
D. 在▵ABC中，A=60 ∘，a2=bc，则▵ABC一定是等边三角形
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量a→=(2,−1)，b→=(−1,m)，c→=(−1,2)，若(a→+b→)//c→，则m= ．
13.如图所示，一个水平放置的三角形ABO的斜二测直观图是等腰直角三角形A′B′O′，若O′A′= 2，那么原三角形ABO的周长是 .
14.在▵ABC中，点D在线段BC上，且满足|BD|=13|DC|，点E为线段AD上任意一点(除端点外)，若实数x，y满足BE=xBA+yBC，则1x+1y的最小值为
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
计算：
(1)(1+3i)+(−2+i)+(2−3i)；
(2)(4−i)(6+2i)−(7−i)(4+3i)；
(3)7+i3+4i．
16.(本小题15分)
已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=2，cs B=35．
(1)若b=4，求sin A的值；
(2)若△ABC的面积S△ABC=4，求b，c的值．
17.(本小题15分)
如图，在△ABC中，已知AB=2，AC=4，∠BAC=60 ∘，M，N分别为AC，BC上的两点AN=12AC，BM=13BC，AM，BN相交于点P．
(1)求|AM|的值；
(2)求证：AM⊥PN．
18.(本小题17分)
▵ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知sin∠BAC+ 3cs∠BAC=0，a=2 7，b=2．
(1)求∠BAC；
(2)求c；
(3)设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求▵ABD的面积．
19.(本小题17分)
如图，正方形ABCD的边长为6，E是AB的中点，F是BC边上靠近点B的三等分点，AF与DE交于点M．
(1)求∠DMF的余弦值．
(2)以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴，建立平面直角坐标系，求点M坐标；
(3)若点P自A点逆时针沿正方形的边运动到C点，在这个过程中，是否存在这样的点P，使得EF⊥MP？若存在，求出MP的长度，若不存在，请说明理由．
参考答案
1.A
2.D
3.C
4.B
5.A
6.C
7.A
8.C
9.AD
10.AB
11.AD
12.−1
13.4+2 2
14.9
15.1+i；
−5−15i；
1−i．
16.解：(1)∵csB=35>0，且0