福建福州市台江区九校2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷（含答案）

这是一份福建福州市台江区九校2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷（含答案），共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知平面向量a=2,x−1，b=6,2−x，若向量a与b共线，则x=( )
A. −2B. 2C. 5D. 54
2.复数z满足(z+1)⋅i=1−2i(i为虚数单位)，则z的共轭复数的虚部是( )
A. −3B. −3iC. 1D. i
3.圆台的一个底面圆周长是另一个底面圆周长的3倍，母线长为15，圆台的侧面积为420π，则圆台较小底面圆的半径为( )
A. 7B. 6C. 5D. 3
4.在▵ABC中，D为BC的中点，E为AB上一点，则AB+AC−2AE=( )
A. 0B. EDC. DED. 2ED
5.如图，▵O′A′B′是一个平面图形的直观图，其中▵O′A′B′是直角三角形，∠O′A′B′=90∘,O′A′=2，则原图形的面积是( )
A. 4B. 4 2C. 8D. 8 2
6.已知向量a=(x,1)，b=(4,x)，则“x>0”是“向量a与b的夹角为锐角”的( )
A. 充要条件B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
7.已知▵ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且面积为S.若a=1，C=π4且4S=acsB+bcsA，则B=( )
A. 5π６B. 7π12C. π6D. π3
8.平行四边形ABCD中，AB=4，AD=2，AB⋅AD=4 2，点P在边CD上，则PA⋅PB的取值范围是( )
A. −1,8B. −1,4+ 2C. −2,4+4 2D. −2,0
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量a=(1,3)，b=(2,y),(a+b)⊥a，则( )
A. b=(2,−3)B. 向量a，b的夹角为3π4
C. |a+12b|=1D. a在b方向上的投影向量是(−1,2)
10.下列说法正确的是( )
A. z⋅z=|z|2,z∈C
B. i2025=i
C. 若|z|=1,z∈C，则|z−2|的最小值为2
D. 若−4+3i是关于x的方程x2+px+q=0(p,q∈R)的根，则p=8
11.对于▵ABC有如下命题，其中正确的是( )
A. 若sin2A+sin2B+cs2CB，则不等式sinA>sinB恒成立
D. 在▵ABC中，若B=60 ∘,b2=ac，则▵ABC必是等边三角形
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.一个底面半径为2cm的圆柱形容器内盛有足量的水，能放入一个半径为1cm的实心铁球，沉入水底后，水未溢出容器，则水面升高了 cm．
13.海上一观测站A测得南偏西60 ∘的方向上有一艘停止待维修的商船D，在商船D的正东方有一艘海盗船B正向它靠近，速度为每小时90海里，此时海盗船B距观测站10 7海里，20分钟后测得海盗船B位于距观测站20海里的C处，再经 分钟海盗船B到达商船D处．
14.如图，在▵ABC中，AC=3AN,P是BN上的一点，若AP=m+13AB+19AC，则实数m的值为
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知复数z=1+im2−2+im−2i(m∈R)．
(1)若z是纯虚数，求m的值；
(2)若z在复平面内所对应的点在第四象限，求m的取值范围．
16.(本小题15分)
如图，在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，设AB=a,AD=b．
(1)用a,b表示AC,CE,DE；
(2)若AB=2,AD=6，且∠BAD=120 ∘，求AC⋅DE．
17.(本小题15分)
如图，在▵ABC中，AB=2，csB=13，点D在线段BC上.

(1)若∠ADC=34π，求AD的长；
(2)若BD=2DC，△ADC的面积为4 23，求AC的长．
18.(本小题17分)
如图，在高为2的正三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=2，D是棱AB的中点．
(1)求该正三棱柱的体积；
(2)求三棱锥D−A1B1C的体积；
(3)设E为棱B1C1的中点，F为棱BB1上一点，求AF+EF的最小值．
19.(本小题17分)
“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题，该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当▵ABC的三个内角均小于120°时，使得∠AOB=∠BOC=∠AOC=120 ∘的点O即为费马点；当▵ABC有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知▵ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且设点P为▵ABC的费马点．
(1)若2sinBsinC+π3= 3sinA，且▵ABC面积为3 34．
(i)求角B；
(ii)求PA⋅PB+PB⋅PC+PC⋅PA；
(2)若cs2A2=b+c2c，▵PCA，▵PCB，▵PAB的面积为S1，S2，S3，求S1+S2S3的最小值．
参考答案
1.D
2.C
3.A
4.D
5.B
6.C
7.C
8.C
9.BD
10.ABD
11.ACD
12.13
13.403
14.13
15.解：(1)由复数z=(1+i)m2−(2+i)m−2i=(m2−2m)+(m2−m−2)i，
因为复数z是纯虚数，
则满足m2−2m=0m2−m−2≠0，解得m=0，
所以实数m的值为0；
(2)由复数z=(m2−2m)+(m2−m−2)i，
若z在复平面内所对应的点在第四象限，
则满足{m2−2m>0m2−m−2