第19讲 等量代换（知识点梳理+例题讲解+提升练习）-三年级奥数培优讲义+答案

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一、核心概念与方法
1. 基本概念
等量代换是指用一种量（或一种量的一部分）来代替和它相等的另一种量（或另一种量的一部分）。它是数学中一种基本的思想方法，也是代数思想方法的基础。
关键要素：相等关系（找到等量）、替换思想（用一个量代替另一个等量）、传递性（如果a=b且b=c，那么a=c）
2. 基本方法
① 直接替换法：当两个量直接相等时，用一个量直接替换另一个量
② 中间量替换法：通过找到中间量作为桥梁，实现两个量之间的替换
③ 图文转换法：将题目中的文字信息转化为图形或等式，使关系更直观
④ 等式加减法：通过等式的加减运算，消去一个未知量，求出另一个未知量
⑤ 倍数关系法：根据量与量之间的倍数关系进行替换
二、核心题型与技巧
题型1：简单图形代换
技巧：用图形符号（如△、□、○等）表示未知量，根据题意列出等式，直接替换相同图形。
题型2：实物代换
技巧：将实际物品（如水果、蔬菜、小动物等）之间的等量关系转化为数学等式，找出中间量进行替换。
题型3：算式代换
技巧：将算式作为整体进行代换，先求出一个算式的值，再代入另一个算式。
题型4：倍数关系代换
技巧：当两个量之间存在倍数关系时，先明确倍数，用多个小量替换一个大量或用一个大量替换多个小量。
题型5：复杂等量代换
技巧：涉及三个或多个量的等量关系时，先找出共同的中间量，逐步替换，简化问题。
三、常见错误提醒
1.找不到等量关系：无法从题目中找出相等的量
2.替换方向错误：搞不清哪个量可以替换哪个量
3.中间量选择不当：选择了不合适的中间量，导致问题复杂化
4.计算错误：替换关系正确但计算过程中出现错误
5.忽略隐含条件：题目中没有直接说明但隐含的等量关系
6.图形与数量对应错误：多个图形时，混淆不同图形代表的数量
例题讲解
一、简单图形代换
例题1：已知△+□=10，△=4，求□=？
答案：□=6
解析：因为△=4，所以将△+□=10中的△替换为4，得到4+□=10，因此□=10-4=6
跟踪练习1：已知○+○+△=15，△=3，求○=？
答案：○=6
解析：将△=3代入○+○+△=15，得到○+○+3=15，所以○+○=15-3=12，因此○=12÷2=6
二、实物代换
例题2：1个苹果的重量=2个桃子的重量，1个桃子的重量=3个樱桃的重量，那么1个苹果的重量等于多少个樱桃的重量？
答案：6个
解析：因为1个苹果=2个桃子，1个桃子=3个樱桃，所以2个桃子=2×3=6个樱桃，因此1个苹果=6个樱桃
答：1个苹果的重量等于6个樱桃的重量。
跟踪练习2：1只兔子的重量=2只鸡的重量，1只鸡的重量=3只鸽子的重量，那么2只兔子的重量等于多少只鸽子的重量？
答案：12只
解析：1只兔子=2只鸡，1只鸡=3只鸽子，所以1只兔子=2×3=6只鸽子，因此2只兔子=2×6=12只鸽子
答：2只兔子的重量等于12只鸽子的重量。
三、算式代换
例题3：已知a+b=12，c+a=15，b=5，求c=？
答案：c=8
解析：因为a+b=12且b=5，所以a=12-b=12-5=7；又因为c+a=15，所以c=15-a=15-7=8
答：c=8。
跟踪练习3：已知x+y=18，y+z=22，x+z=20，求x+y+z=？
答案：x+y+z=30
解析：将三个等式相加：x+y+y+z+x+z=18+22+20，即2x+2y+2z=60，所以x+y+z=60÷2=30
答：x+y+z=30。
四、倍数关系代换
例题4：1个篮球的价格=3个足球的价格，1个足球的价格=2个排球的价格，已知1个排球50元，求1个篮球多少元？
答案：300元
解析：1个足球=2个排球=2×50=100元，1个篮球=3个足球=3×100=300元
答：1个篮球300元。
跟踪练习4：1只羊的重量=4只狗的重量，1只狗的重量=2只猫的重量，已知1只猫重5千克，求1只羊重多少千克？
答案：40千克
解析：1只狗=2只猫=2×5=10千克，1只羊=4只狗=4×10=40千克
答：1只羊重40千克。
五、复杂等量代换
例题5：已知△+□=15，□+○=12，○+△=11，求△=？□=？○=？
答案：△=7，□=8，○=4
解析：将三个等式相加：△+□+□+○+○+△=15+12+11=38，即2△+2□+2○=38，所以△+□+○=19
用△+□+○=19减去△+□=15，得到○=4
用△+□+○=19减去□+○=12，得到△=7
用△+□+○=19减去○+△=11，得到□=8
答：△=7，□=8，○=4。
跟踪练习5：已知鸡+鸭=10千克，鸭+鹅=12千克，鸡+鹅=14千克，求鸡、鸭、鹅各重多少千克？
答案：鸡=6千克，鸭=4千克，鹅=8千克
解析：将三个等式相加：鸡+鸭+鸭+鹅+鸡+鹅=10+12+14=36千克，即2鸡+2鸭+2鹅=36千克，所以鸡+鸭+鹅=18千克
用鸡+鸭+鹅=18减去鸡+鸭=10，得到鹅=8千克
用鸡+鸭+鹅=18减去鸭+鹅=12，得到鸡=6千克
用鸡+鸭+鹅=18减去鸡+鹅=14，得到鸭=4千克
答：鸡重6千克，鸭重4千克，鹅重8千克。
提升练习
1．买一个娃娃的钱可以买2个小电子琴，买一个小电子琴的钱可以买2只玩具猫，买一个娃娃的钱可以买几只玩具猫？
【答案】4只
【详解】略
2．如果10只兔子可以换2只羊，6只羊可以换3头猪，2头猪可以换1头牛，那么，1头牛可以换多少只兔子？
【答案】20只
【详解】略
3．有篮球、足球、排球三种球．篮球3个、足球2个、排球1个，共值196元；篮球1个、足球3个、排球2个共值200元；篮球2个、足球1个、排球3个共值168元．每种球的单价各是多少？
【答案】篮球：30元 足球：42元 排球：22元
【分析】这道题里有三个未知量，可用下面式子把题意表示出来：
3个篮球+2个足球+1个排球=196元（l）
l个篮球+3个足球+2个排球=200元（2）
2个篮球+l个足球+3个排球=168元（3）
三个未知量中可以先设法消去一个未知量，得到两个未知量之间的关系，从而得到解答．
（2）式×3-（1）式得：7个足球+5个排球=404元（4）
（2）式×2－（3）式得：5个足球+1个排球=232元（5）
消去篮球后，原题可由（4）式和（5）式组成，即有“7个足球、5个排球值404元，5个足球、1个排球值232元”两组条件．再分别求出足球和排球的单价．
【详解】解：7个足球和5个排球的价钱：200×3-196=404（元）
5个足球和1个排球的价钱：200×2-168=232（元）
足球单价：（232×5-404）÷（5×5-7）=42（元）
排球单价：232-42×5=22（元）
篮球单价：（196-42×2-22）÷3=30（元）
答：一个篮球30元，一个足球42元，一个排球22元．
4．3头牛、4匹马、1只羊每天共吃草90千克；4头牛、1匹马、3只羊每天共吃草66千克；1头牛、3匹马、4只羊每天共吃草68千克．若5头牛、5匹马、5只羊一齐吃5天，可以吃多少草？
【答案】700千克
【详解】把它们全加起来，发现8头牛、8匹马、8只羊每天共吃草90+66+68=224（千克）；
所以1头牛、1匹马、1只羊每天吃草：224÷8=28（千克）；
所以5头牛、5匹马、5只羊每天吃草：28×5=140（千克）；
所以5头牛、5匹马、5只羊5天共吃草：140×5=700（千克）．
5．一条鱼，鱼尾重4千克，鱼头重量等于鱼尾加上鱼身重量的一半，而鱼身重量等于鱼头加鱼尾的重量．问这条鱼重多少千克？
【答案】鱼重32千克
【详解】可知：两个鱼头=两个鱼尾+鱼身，又知道：鱼身=鱼头+鱼尾；
所以，两个鱼头=两个鱼尾+鱼头+鱼尾；所以，两个鱼头=3个鱼尾+鱼头；
所以，鱼头=3个鱼尾；
所以， 鱼头重：3×4=12（千克）；
鱼身重：12+4=16（千克）；
所以鱼共重12+16+4=32（千克）．
6．有大、小两种玻璃球，6个大的和14个小的共290克，而15个大的与2个小的共296克，求每个大球和每个小球的重量．
【答案】每个小的重13克；每个大的重18克．
【详解】①6个大的+14个小的=290克；
②15个大的+2个小的=296克；
用①×5－②×2，得到：每个小的重：（290×5－296×2）÷（14×5－2×2）=13（克）；
根据②，每个大的重：（296－13×2）÷15=18（克）；
7．学校上学期买回3个足球和2个篮球，用去370元；本学期价格不变，又买回6个足球和8个篮球，用去1120元．一个足球和一个篮球的售价各是多少元？
【答案】每个篮球95元；每个足球60元．
【详解】①3个足球+2个篮球=370元，
②6个足球+8个篮球=1120元，
②－①×2得：每个篮球：（1120－370×2）÷（8－2×4）=95（元）；
那么每个足球：（370－95×2）÷3=60（元）．
8．美术小组第一天买了3盒彩笔和1支毛笔，共付款4元4角4分；第二天又买了同样的5盒彩笔和3支毛笔，共付款7元9角6分．问每盒彩笔和每支毛笔的价钱各是多少元？
【答案】每盒彩笔1.34元；每支毛笔的价钱0.42元．
【详解】①3盒彩笔+1支毛笔=4.44元；
②5盒彩和+3支毛笔=7.96元；
①×3－②得：（3×3－5）盒彩笔=（4.44×3－7.96）元；
所以每盒彩笔：（4.44×3－7.96）÷（3×3－5）=1.34（元）；
所以每支毛笔：（4.44－1.34×3）÷1=0.42（元）．
9．小明买了3本练习册，2本作文册，1本大字本用了3元4角；小辉买了1本练习册，3本作文册，2本大字本共用去4元8角；小华买了2本练习册，1本作文册，3本大字本共用了3元8角．练习册、作文册、大字本单价各多少？
【答案】练习册2角；作文册10角；大字本8角．
【详解】（1）3本练习、 2本作文、1本大字， 共34角；
（2）1本练习、3本作文、2本大字， 共48角；
（3）2本练习、1本作文、3本大字， 共38角．
用以下方式表达：（2）×3 －（1），即：
先将（2）扩大3倍： （4）3本练习、9本作文、6本大字， 共144角；
比较（1）（2），可知： （5）7本作文、5本大字， 共110角．
然后，（2）×2 －（3），得：（6）5本作文、1本大字， 共58角．
再：（6）×5－（5），得：（5×5－7）=18本作文，共（58×5－110）=180角
因此，每个作文册单价为：180÷18=10（角），
根据（6），每个大字本单价为：（58－5×10）÷1=8（角），
根据（1），每个练习册单价为：（34－2×10－8×1）÷3=2（角）．
10．学校买足球和篮球若干，六年级买了4个足球和2个篮球，共付人民币420元．五年级买回了1个足球和2个篮球共付240元．一个篮球和一个足球价格各是多少元？
【答案】每个足球价格为60元；每个篮球价格为90元．
【详解】先整理条件：
4个足球、 2个篮球， 共420元；
1个足球、 2个篮球， 共240元．
比较可知：少了4－1=3个足球，少了420－240=180（元）；
因此每个足球价格为：180÷3=60（元）；
因此每个篮球价格为：（240－6）÷2=90（元）．
11．买甲种布8米，乙种布18米，共用去378元．已知1米甲种布和3米乙种布的价钱相等．求甲乙两种布的单价各是多少元？
【答案】甲单价27元，乙单价9元
【分析】根据题意可以得到下列关系式：
8米甲种布＋18米乙种布＝378元
1米甲种布＝3米乙种布
由“1米甲种布和3米乙种布的价钱相等”，可知乙种布的价格甲种布的价格的关系，因此就可以得出甲种布的单价．
【详解】将甲种布置换成乙种布，一共是：8×3+18＝42（米）
所以乙种布单价是：378÷42＝9（元）
甲种布单价是：9×3＝27（元）
12．希望小学打算购买若干台电脑（每台电脑由一台主机和一个显示器组成）。这笔钱如果只买显示器，能购买120个，如果只购买主机，能买40台。问这笔钱能买几台电脑？
【答案】30台
【分析】120÷40＝3，因此可以先求出一台主机的价格是一个显示器价格的3倍，即买1台主机的钱可以买3个显示器。每台电脑由一台主机和一个显示器组成，即一台电脑的价格相当于4个显示器的价格，从而就可以求出这笔钱能买多少台电脑。
【详解】120÷40＝3
120÷（3＋1）
＝120÷4
＝30（台）
答：这笔钱能买30台电脑。
13．红星运动鞋厂把300双运动鞋分别装在3只大箱和8只小箱里，正好装满，如果1只大箱与4只小箱装的运动鞋一样多，那么每只大箱和每只小箱各装多少双运动鞋？
【答案】60双；15双
【分析】因为1只大箱与4只小箱装的运动鞋一样多，所以把全部大箱变为小箱，需要用3×4＝12（只），然后用300÷（12＋8），求出一个小箱可以装的鞋数，从而求出一个大箱的装鞋数。
【详解】（只）
（双）
（双）
答：每只大箱装60双，每只小箱装15双运动鞋。
【点睛】此题主要考查学生运用等量代换的方法进行解题。
14．已知所有大鸭子的重量均相同，所有小鸭子的重量均相同。3只大鸭子和2只小鸭子共重32千克，4只大鸭子和3只小鸭子共重44千克，请问2只大鸭子和1只小鸭子共重多少千克？
【答案】20千克
【分析】由题意可得：4只大鸭子和3只小鸭子共重44千克，减去3只大鸭子和2只小鸭子共重32千克，得1只大鸭子和1只小鸭子共重44－32＝12（千克），再用3只大鸭子和2只小鸭子共重32千克，减去1只大鸭子和1只小鸭子共重12千克，即得到2只大鸭子和1只小鸭子总共的重量。
【详解】32－（44－32）
＝32－12
＝20（千克）
答：2只大鸭子和1只小鸭子共重20千克。
【点睛】此题属于简单的等量代换问题，要注意观察题的特点，根据已知条件和问题之间的关系灵活解答。
15．李刚准备为单位购买8份报纸和5本杂志，算好了价钱是23元。到了报刊亭，他改变了主意，买了5份报纸和8份杂志，结果花了29元，报纸和杂志的单价各是多少元？
【答案】1元；3元
【分析】购买8份报纸和5本杂志是23元，购买5份报纸和8份杂志是29元，相加即为购买13份报纸和13本杂志是52元，因此购买1份报纸和1本杂志是4元，在扩大5倍即为：购买5份报纸和5本杂志是20元。再结合购买8份报纸和5本杂志是23元对比即可知道：多买了3份报纸多花了9元，用除法就可以求出1份报纸的价格。再把报纸的价格代入到题目条件中，即可求出1本杂志的价格。
【详解】购买13份报纸和13本杂志：（元）
购买1份报纸和1本杂志：（元）
购买5份报纸和5本杂志：（元）
报纸：
（元）
杂志：
（元）
答：报纸的单价是1元，杂志的单价是3元。