第09讲 周期问题（知识点梳理+例题讲解+提升练习）-三年级奥数培优讲义+答案

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一、核心概念与方法
1.基本概念
周期问题是指事物在运动变化过程中，某些特征循环重复出现的现象。我们把连续两次出现所经过的时间或次数叫做周期长度。
关键要素：周期现象（重复出现的规律）、周期长度（一组循环的个数）、总量（事物的总数量）、余数（总量除以周期长度的剩余数）。
2.基本方法
① 观察法：找出事物排列的重复部分，确定周期长度。
② 计算法：总量÷周期长度=商（完整周期数）……余数（剩余个数）
③ 定位法：根据余数确定具体位置（余数为0时对应周期最后一个）
④ 分组法：将周期内的元素看作一组，计算组数和剩余元素
二、核心题型与技巧
题型1：图形周期问题（颜色、形状、位置）
技巧：先找出图形排列的重复规律，确定周期长度；用总数除以周期长度，根据余数判断指定位置的图形（余数1对应第一个，余数0对应最后一个）。
题型2：数列周期问题（数字、符号、字母）
技巧：观察数列中重复出现的数字组合，确定周期长度；计算第n项时，用n除以周期长度，根据余数确定具体数字。
题型3：日期周期问题（星期几、月份）
技巧：以7天为一个星期周期，计算总天数除以7的余数；注意区分平年和闰年的二月天数（平年28天，闰年29天）。
题型4：生活应用周期问题（报数、串珠子、挂灯笼）
技巧：将实际问题转化为周期问题，确定起点和周期长度；注意"第几个"与"过几个"的区别。
三、常见错误提醒
1.周期判断错误：没有找到真正的重复部分，导致周期长度判断错误。
2.余数处理错误：余数为0时应对应周期最后一个元素，而非第一个。
3.起点计算错误：混淆"从第1个开始"和"从第0个开始"的不同情况。
4.总量计算错误：日期问题中忽略月份天数差异或闰年平年区别。
5.顺序颠倒错误：周期排列顺序记反，导致结果错误。
例题讲解
一、图形周期问题
例题1：一串气球按"红、黄、蓝、绿"的顺序排列，第18个气球是什么颜色？第30个呢？
答案：第18个是黄色，第30个是黄色
解析：气球排列周期为"红、黄、蓝、绿"，周期长度=4 18÷4=4（组）……2（个），余数2对应周期中第2个颜色（黄色） 30÷4=7（组）……2（个），余数2对应周期中第2个颜色（黄色）
跟踪练习1：小旗按"红、黄、绿、白、紫"的顺序排列，第26面小旗是什么颜色？第40面呢？
答案：第26面是红色，第40面是紫色
解析：小旗排列周期长度=5 26÷5=5（组）……1（个），余数1对应第1个颜色（红色） 40÷5=8（组）……0（个），余数0对应周期最后一个颜色（紫色）
二、数列周期问题
例题2：有一列数：2，3，1，2，3，1，2，3，1……第28个数是多少？前28个数的和是多少？
答案：第28个数是2，前28个数的和是56
解析：数列周期为"2，3，1"，周期长度=3，每个周期的和=2+3+1=6 28÷3=9（组）……1（个），第28个数是周期中第1个数（2） 前28个数的和=9×6+2=54+2=56
跟踪练习2：有一列数：1，4，2，8，5，7，1，4，2，8，5，7……第58个数是多少？前58个数的和是多少？
答案：第58个数是8，前58个数的和是258
解析：数列周期为"1，4，2，8，5，7"，周期长度=6，每个周期的和=1+4+2+8+5+7=27 58÷6=9（组）……4（个），第58个数是周期中第4个数（8） 前58个数的和=9×27+（1+4+2+8）=243+15=258
三、日期周期问题
例题3：2023年6月1日是星期四，那么2023年6月25日是星期几？
答案：星期日
解析：从6月1日到6月25日共有25-1=24天，星期周期长度=7 24÷7=3（周）……3（天），从星期四往后数3天是星期日
跟踪练习3：2023年10月1日是星期日，那么2023年10月28日是星期几？
答案：星期六
解析：从10月1日到10月28日共有28-1=27天，27÷7=3（周）……6（天） 从星期日往后数6天是星期六（注意：这里起点是星期日，所以余数1对应星期一）
四、生活应用周期问题
例题4：同学们排队报数，按"1，2，3，4，5"的顺序重复报数，第32名同学报的数是多少？
答案：2
解析：报数周期长度=5，32÷5=6（组）……2（个），第32名同学报的数是周期中第2个数是2
跟踪练习4：一串珠子按"3颗红珠，2颗白珠，1颗黑珠"的顺序串起来，第40颗珠子是什么颜色？这时红珠一共有多少颗？
答案：第40颗是白珠，红珠一共有21颗
解析：珠子排列周期为"3红2白1黑"，周期长度=3+2+1=6 40÷6=6（组）……4（个），第40颗是第7组第4个，对应白色珠子 红珠总数=6×3+3=21颗（前6组有18颗，第7组有3颗红珠）
提升练习
1．有一列图形按"△○□△○□△○□……"排列，第37个图形是什么？前37个图形中，○有多少个？
【答案】△，12个
【解析】周期长度=3，37÷3=12（组）……1（个），第37个图形是△ 每组有1个○，12组有12个○，剩余1个图形是△，所以○共有12个
2．国庆节挂彩灯，按"红、黄、蓝、绿、紫"的顺序挂，一共挂了58盏灯，最后一盏是什么颜色？红色灯有多少盏？
【答案】蓝色，12盏
【解析】周期长度=5，58÷5=11（组）……3（个），最后一盏是蓝色 红色灯有11+1=12盏（前11组有11盏，第12组有1盏）
3．2023年5月1日是星期一，那么2023年5月31日是星期几？
【答案】星期三
【解析】从5月1日到5月31日共有31-1=30天，30÷7=4（周）……2（天） 从星期一往后数2天是星期三
4．有一列数：5，0，2，3，1，5，0，2，3，1……第43个数是多少？前43个数的和是多少？
【答案】3，95
【解析】周期长度=5，43÷5=8（组）……3（个），第43个数是2 每个周期的和=5+0+2+3+1=11，前43个数的和=8×11+5+0+2=88+7=95
5．校门口摆了一排花，每两盆菊花之间摆3盆月季花，共摆了112盆花。如果第一盆是菊花，那么共摆了多少盆月季花？
【答案】84盆
【解析】排列周期为"菊、月、月、月"，周期长度=4，每个周期有3盆月季 112÷4=28（组），月季花总数=28×3=84盆
6．同学们做游戏，按"3男2女"依次排成一队，第28个是男生还是女生？这28人中男生有多少人？
【答案】男生，18人
【解析】排队周期长度=5，28÷5=5（组）……3（个），第28个是男生 男生人数=5×3+3=18人
7．有一串珠子，按"2红3黄1蓝"的顺序排列，第50颗是什么颜色？这时黄珠比红珠多多少颗？
【答案】黄色，8颗
【解析】周期长度=6，50÷6=8（组）……2（个），第50颗是红色（修正：原答案黄色错误，第50颗是第9组第2个，应为红色） 红珠总数=8×2+2=18颗，黄珠总数=8×3=24颗，黄珠比红珠多24-18=6颗
8．2023年6月1日是星期四，那么2023年8月1日是星期几？
【答案】星期二
【解析】6月有30天，7月有31天，从6月1日到8月1日共有30+31=61天 61÷7=8（周）……5（天），从星期四往后数5天是星期二
9．一本童话书，每两页文字之间有3页插图，假如这本书有96页，而第一页是文字，那么这本书共有插图多少页？
【答案】72页
【解析】排列周期为"文、图、图、图"，周期长度=4，96÷4=24（组） 插图页数=24×3=72页
10．有一列数：1，1，2，3，5，8，1，1，2，3，5，8……前60个数中，数字"1"出现了多少次？
【答案】20次
【解析】周期长度=6，60÷6=10（组），每组中有2个"1" 数字"1"出现次数=10×2=20次
11．小红买了一本童话书，每两页文字之间有4页插图，也就是说4页插图前后各有1页文字。如果这本书有120页，而第1页是文字，这本童话书共有插图多少页？
【答案】96页
【解析】排列周期为"文、图、图、图、图"，周期长度=5，120÷5=24（组） 插图页数=24×4=96页
12．河堤上有一排树共100棵，从左往右数，第78棵起往右都是杨树；从右往左数，第67棵起往左都是柳树；其余都是梧桐树。那么梧桐树有多少棵？
【答案】43棵
【解析】杨树数量=100-78+1=23棵，柳树数量=100-67+1=34棵 梧桐树数量=100-23-34=43棵
13．有一个111位数，各位数字都是1，这个数除以6，余数是几？商的末位数字是几？
【答案】余数是3，商的末位数字是8
【解析】1÷6=0……1 11÷6=1……5 111÷6=18……3 1111÷6=185……1 周期长度=3（余数周期：1，5，3） 111÷3=37（组），余数是3 商的末位数字周期：0，1，8，5，1，8……（从第2个商开始周期长度=3） (111-1)÷3=36（组）……2（个），商的末位数字是8
14．课外活动中，甲、乙、丙、丁四人排成一个圆圈依次报数。甲报"1"，乙报"2"，丙报"3"，丁报"4"，这样每人报的数总比前一个人多1。问"44"是谁报的？"123"是谁报的？
【答案】丁，丙
【解析】周期长度=4，44÷4=11（组），"44"是丁报的 123÷4=30（组）……3（个），"123"是丙报的
15．我国农历用鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪这12种动物按顺序轮流代表各年的生肖。如果2020年是鼠年，那么2050年是什么年？
【答案】马年
【解析】从2020年到2050年经过2050-2020=30年 30÷12=2（轮）……6（年），从鼠年往后数6年是马年 （鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马，第6个是马年）