2026年六年级下册奥数培优讲义专题21完全平方数性质(知识点梳理+例题讲解+提升练习)(原卷版+解析)

这是一份2026年六年级下册奥数培优讲义专题21完全平方数性质(知识点梳理+例题讲解+提升练习)(原卷版+解析)，文件包含生物试题docx、生物试题答案docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共9页， 欢迎下载使用。
一、基本概念
完全平方数是指可以表示为某个整数平方的数，即若存在整数( n )，使得(a=n2)，则(a)为完全平方数（如(1=12)，(4=22)，(9=32)，(16=42)等）。
关键特征：完全平方数的质因数分解中，所有质因数的指数均为偶数。
示例：
(36=62=(2×3)2=22×32)（质因数2的指数为2，3的指数为2，均为偶数）；
(100=102=(2×5)2=22×52)（质因数2、5的指数均为2，偶数）。
非完全平方数反例：(12=22×31)（质因数3的指数为1，奇数，故12不是完全平方数）。
二、核心性质（必学）
1.质因数指数偶性
完全平方数分解质因数后，每个质因数的指数都是偶数。反之，若一个数的质因数分解中所有指数为偶数，则该数是完全平方数。
例：(144=122=24×32)（指数4、2均为偶数）；(225=152=32×52)（指数2、2均为偶数）。
2.因数个数为奇数
非完全平方数的因数成对出现（如6的因数1&6、2&3，共4个，偶数），而完全平方数有一个因数是重复的（即平方根），故因数个数为奇数。
例：( 16 )的因数为1、2、4、8、16，共5个（奇数）；( 25 )的因数为1、5、25，共3个（奇数）。
3.个位数字特征
完全平方数的个位数字只能是0、1、4、5、6、9，不可能是2、3、7、8。
例：(12=1)（个位1），(22=4)（个位4），(32=9)（个位9），(42=16)（个位6），(52=25)（个位5），(62=36)（个位6），(72=49)（个位9），(82=64)（个位4），(92=81)（个位1），(102=100)（个位0）。
4.除以4的余数特征
完全平方数除以4的余数只能是0或1。
若( n )为偶数（(n=2k)），则(n2=4k2)，除以4余0；
若( n )为奇数（(n=2k+1)），则(n2=4k2+4k+1=4(k2+k)+1)，除以4余1。
例：(16÷4=4)（余0），(25÷4=6……1)（余1），(36÷4=9)（余0）。
5.除以3的余数特征
完全平方数除以3的余数只能是0或1。
若( n )是3的倍数（( n=3k )），则( n^2=9k^2 )，除以3余0；
若( n )不是3的倍数（( n=3k±1 )），则( n^2=9k^2±6k+1=3(3k^2±2k)+1 )，除以3余1。
例：( 9÷3=3 )（余0），( 16÷3=5……1 )（余1），( 25÷3=8……1 )（余1）。
6.平方差公式应用
两个完全平方数的差可表示为(a2−b2=(a−b)(a+b))，其中(a>b)，且( a - b )与( a + b )同奇同偶（因为( a )、( b )同奇或同偶时，( a - b )和( a + b )均为偶数；一奇一偶时，均为奇数）。
三、核心方法（必学）
1.判断完全平方数的方法
质因数分解法：分解质因数，若所有指数为偶数，则是完全平方数；
个位排除法：个位为2、3、7、8的数直接排除；
余数验证法：除以4余2或3、除以3余2的数排除。
2.构造完全平方数的方法
若已知数(N=am×bn×cp)（(a,b,c)为质数，(m,n,p)为正整数），则使其成为完全平方数的最小乘数为各质因数指数“补成偶数”所需的质数幂，即：若( m )为奇数则乘( a )，( n )为奇数则乘( b )，以此类推。
例：(N=12=22×31)，质因数3的指数为1（奇数），故最小乘数为3，得到(12×3=36=62)（完全平方数）。
四、核心应用
1.判断是否为完全平方数（结合质因数分解、个位特征、余数特征）；
2.求最小完全平方数（补全质因数指数为偶数）；
3.解决乘积为完全平方数问题（使乘积中各质因数指数均为偶数）；
4.平方差公式的应用（分解因数、求连续自然数等）。
例题讲解
一、基础题（判断与识别）
例1：判断下列数是否为完全平方数：（1）121；（2）143；（3）225。
解题步骤：
（1）121：个位为1（符合特征），分解质因数(121=112)（指数2为偶数），故是完全平方数112。
（2）143：个位为3（不符合完全平方数个位特征），直接排除，不是完全平方数。
（3）225：个位为5（符合特征），分解质因数(225=152=32×52)（指数均为偶数），故是完全平方数（(152)）。
答案：（1）是；（2）否；（3）是。
跟踪练习1：判断324是否为完全平方数（用质因数分解法）。
答案：是，(324=182=22×34)（指数2、4均为偶数）。
二、进阶题（构造与计算）
例2：已知(N=23×32×51)，求最小的正整数(k)，使得(N×k)为完全平方数。
解题步骤：
分解( N )的质因数：(23×32×51)，各质因数指数为3（2）、2（3）、1（5）；
完全平方数要求指数为偶数，故需补全：2的指数3→4（需乘(21)），5的指数1→2（需乘(51)），3的指数2已为偶数；
最小(k=2×5=10)，此时(N×k=24×32×52=(22×3×5)2=602)（完全平方数）。
答案：( k=10 )。
跟踪练习2：若( 1008×a )是完全平方数，求最小正整数( a )。（提示：先分解1008的质因数）
答案：( a=7 )。解析：(1008=24×32×71)，质因数7的指数为1（奇数），故(a=7)？不对，1008=24×32×71，指数4（2）、2（3）为偶数，7的指数1需补1，所以(a=7)
三、挑战题（综合应用）
例3：四个连续自然数的乘积为3024，求这四个数中是否有完全平方数。
解题步骤：
分解3024的质因数：(3024=24×33×71)；
连续自然数相差1，尝试组合质因数：( 6×7×8×9=3024 )（验证：6=2×3，7=7，8=23，9=32，乘积=2×3×7×23×32=24×33×7，与分解结果一致）；
四个数为6、7、8、9，其中9=3^2是完全平方数。
答案：有，9是完全平方数。
例4：证明：任意两个完全平方数的差不可能是2。
解题步骤：
设两个完全平方数为(a2)、(b2)（(a>b)），则(a2−b2=(a−b)(a+b)=2)；
2的因数对为(1,2)，故(a−b=1 a+b=2)，解得(a=1.5)，(b=0.5)，非整数，矛盾；
因此，不存在整数( a,b )使( a^2 - b^2=2 )，得证。
跟踪练习3：已知( a )、( b )为正整数，且(a2−b2=45)，求(a)、( b )的值。
答案：( a=7 )，( b=2 )（或( a=9 )，( b=6 )）。解析：( (a - b)(a + b)=45 )，45的因数对：(1,45)、(3,15)、(5,9)，解得( a=23,b=22 )或( a=9,b=6 )或( a=7,b=2 )。
提升练习
1．已知，且A是一个三位数，B是一个两位数，那么A的取值共有（ ）种。
A．6B．7C．8D．9
【答案】C
【分析】A是一个三位数，B是一个两位数，且A＋2022＝B2，则B2一定大于2022，据此求出B的最小值，再求出B的最大值，即可求出A的取值共有多少种。
【详解】解：因为45×45＝2025，2025-2022＝3，所以A＝3，B＝45，不符合题意；
因为46×46＝2116，2116-2022＝94，所以A＝94，B＝46，不符合题意；
因为47×47 ＝2209，2209-2022＝187，所以A＝187，B＝47 ；
因为48×48＝2304，2304-2022＝282，所以A＝282，B＝48；
因为49×49＝2401，24012022 ＝379，所以A＝379，B＝49；
因为50×50＝2500，2500—2022＝478，所以A＝478，B＝50；
因为51×51＝2601，2601-2022＝579，所以A＝579，B＝51；
因为52×52＝2704，2704-2022 ＝682，所以A＝682，B＝52；
因为53×53＝2809，2809—2022＝787，所以A＝787，B＝53；
因为54×54＝2916，2916-2022 ＝894，所以A＝894，B＝54；
因为55×55＝3025，3025-2022＝1003，所以A＝1003，B＝55，不符合题意；
所以A的取值共有8种。
故答案选：C
【点睛】本题考查了完全平方数性质的应用，解题的关键是求出B的最小值和最大值。
2．自然数1～600中，有奇数个约数的数共有______个。（ ）
A．19B．20C．24D．25
【答案】C
【分析】有奇数个约数，说明这些数都是完全平方数，先估算大致的范围，再确定满足条件的数有多少个即可。
【详解】1×1＝1
2×2＝4
3×3＝9
……
24×24＝574
25×25＝625
574＜600＜625
所以自然数1～600中，有奇数个约数的数共有24个。
故答案为：C
3．数学家华罗庚小时候学因数与倍数时，曾经遇到过这样的问题：已知有两个数，它们的乘积是2800，其中一个数的因数个数比另一个数的因数个数多1，那么这两个数的和是（ ）。
A．190B．185C．191D．192
【答案】X
【分析】先把2800分解质因数，考虑到除了完全平方数，其他数字因数的个数都是成对出现的，不会出现多1个的情况，因此找出属于完全平方数的因数的个数，再进一步分析，找出符合题意的答案。
【详解】任何一个正整数，其因数应该是成对出现的，这意味着，一般情况下，一个正整数应该有偶数个因数；完全平方数的因数个数是奇数个；
根据题意：“两个数的乘积等于2800，其中一个数的因数个数比另一个数的因数多1”，这表明：这两个数中有一个是完全平方数；
由于：2800＝2×2×2×2×5×5×7，其属于完全平方数的因数有五个：22＝4、42＝16、52＝25、102＝100、202＝400，
分别进行分析：2800＝4×700，各有3个和16个因数，不符合题意；
2800＝7×400，各有2个和15个因数，不符合题意；
2800＝16×175，各有5个和6个因数，符合题意；
2800＝25×112，各有3个和10个因数，不符合题意；
2800＝28×100，各有6个和9个因数，不符合题意；
综上所述，这两个数是16和175，这两个数的和是：16＋175＝191。
故答案选：C
4．三个连续自然数，其中一个数是质数，一个是完全平方数，在质数和完全平方数之间的自然数称为“完美数”。例如，10在9和11之间，是一个“完美数”。包括10在内的两位数中有（ ）个“完美数”。
A．3B．4C．5D．6
【答案】C
【分析】由题可知，因为“完美数”在三个连续自然数的质数和完全平方数的中间所以需要看完全平方数左右两侧隔一个数的数是否是质数，要想找出两位数中的“完美数”，涉及到的完全平方数有9、16、25、36、49、64、81、100，据此逐步分析即可求解。
【详解】因为“完美数”在三个连续自然数的质数和完全平方数的中间所以需要看完全平方数左右两侧隔一个数的数是否是质数，要想找出两位数中的“完美数”，涉及到的完全平方数有9、16、25、36、49、64、81、100；
9右侧隔一个数的数为11，11是质数，10是“完美数”；
16左右两侧隔一个数的数为14、18，都不是质数，故16两侧没有“完美数”；
25左右两侧隔一个数的数为23、27，23是质数，24是“完美数”；
36左右两侧隔一个数的数为34、38，都不是质数，故36两侧没有“完美数”；
49左右两侧隔一个数的数为47、51，47是质数，故48是“完美数”；
64左右两侧隔一个数的数为62、66，都不是质数，故64两侧没有“完美数”；
81左右两侧隔一个数的数为79、83，都是质数，故80和82都是“完美数”；
100左侧隔一个数的数为98，不是质数，故100左侧没有“完美数”；
包括10在内的两位数中的“完美数”有10、24、48、80、82，共有5个。
故答案选：C
5．计算：－＋－＋－＋－＋－＋－( )（备注：A2＝A×A）。
【答案】78
【分析】观察算式发现题目求的是多个平方差（如 ）的和， 因此可以利用平方差公式）将原式转换为：，继续化简即为：，最后再根据等差数列求和公式即可完成计算。
【详解】
6．计算：1234－234＝( )。
【答案】
1468000
【分析】此题利用平方差公式 进行简便计算。
【详解】
7．自然数N是一个不超过100的完全平方数，它减去13或加上15后，得到的数都是完全平方数，则N＝________。
【答案】
49
【分析】自然数N是不超过100的完全平方数，且N减去13或加上15后得到的数都是完全平方数。
设N减去13等于A的平方，N加上15等于B的平方，则B² － A² ＝ 28。
通过根据公式a2－b2＝（a＋b）（a－b）得出（B－A）（B＋A）＝28，并考虑B和A为自然数且B＞A，找到符合条件的A和B，进而求出N。
【详解】设N－13＝A²
N＋15＝B²，其中A和B是自然数。
（N＋15）－（N－13）
＝N＋15－N＋13
＝28
则B²－A²＝28
（B－A）（B＋A）＝28
由于B和A是自然数且B ＞ A，因此B－A和B＋A都是正整数，且B＋A＞B－A
28的因子有1、2、4、7、14、28。
其中B－A和B＋A必须同奇偶（因为B和A都是整数，B－A和B＋A同奇偶），且乘积为28。
可能因子对中：
若B－A ＝ 2，B＋A ＝ 14
则B＝8，A＝6。
代入A＝6，得N＝A²＋13＝36＋13＝ 49。
则N ＝ 49。
8．一个三位数加1或者乘10的结果都是完全平方数，这个三位数是( )。（注：一个自然数与自身相乘的积叫做完全平方数。）
【答案】360
【分析】根据乘10的结果也是完全平方数可以列举出所以情况，再根据加1后也是完全平方数，可以确定最终的结果。
【详解】402＝1600 ，161不是完全平方数，
502＝2500 ，251不是完全平方数，
……
602＝3600 ，361是完全平方数，
……
902＝8100 ，811不是完全平方数。
综上，只有360满足题意。
【点睛】这类数论问题，关键是要找到突破口，这道题可以从乘10的结果是完全平方数出发，这样更快解答。也可以从三位数加1也是完全平方数出发，先列举再找出正确答案。
9．有一类自然数，它们都是平方数，且最后三位数字相同。例如：452＝2025，552＝3025，952＝9025，…它们的后三位数字相同，都是“025”。这类自然数中最小的是_________。
【答案】100
【分析】题目要求找到最小的平方数，且最后三位数字相同。我们需要结合平方数的特性，从最小的可能情况逐一验证。
【详解】“最后三位数字相同”意味着三位数字完全一致，如“100”、“111”等。平方数中，102＝100，后三位是“100”的这类自然数还有902＝8100，1102＝12100，…后三位“100”完全相同，且是最小的满足条件的平方数。
【点睛】本题的关键是准确理解“最后三位数字相同”是指三位数字完全一致，而非题目示例中 “025”（后三位数字相同但并非三位全相同的特殊表述干扰）。
10．从0、2、4、6、8中挑出4个各不相同的数字能组成一个四位完全平方数，那么这个完全平方数是____。
【答案】6084
【分析】这道题的关键在于利用完全平方数的特性和给定的数字范围，通过排除法缩小范围。一个数能否被3整除将会快速的排除很多不符合要求的数。
【详解】首先个位只能为4（因为是“完全平方数”，如果个位是0的话得要两个0，如果是6的话十位必为奇数，而这里都是偶数），这时还有0、2、6、8四个数，那么我们看看哪个数字不被挑选：如果是0不用则4个数字之和为2＋4＋6＋8＝20，或者6不用，或者4个数字之和为0＋2＋4＋8＝14，均能被3整除余2；如果是8不用，则4个数字之和为0＋2＋4＋6＝12，能被3整除但不能被9整除；如果是2不用，则4个数字之和为0＋4＋6＋8＝18，既是3的倍数也是9的倍数，所以2不被使用。这样就只有4个数字6804、6084、8064、8604四种可能，而78×78＝6084，因此，6084就是题目所求的“完全平方数”
【点睛】利用完全平方数的个位数特性快速锁定个位数为4，结合分析数字之和余3的整除关系，有效的排除了不符合条件的数字，再进行验证，从而高效地找到答案。
11．Alice写了一个三位数，Bb发现它乘10之后会变成一个完全平方数，Cindy发现它加上9之后也是完全平方数，那么Alice写的三位数是( )。
【答案】160
【分析】Alice写了一个三位数，Bb发现它乘10之后会变成一个完全平方数，说明这个三位数个位数字是0，则这个三位数的前两位也是个完全平方数，据此列举，再结合它加上9之后也是完全平方数推断即可。
【详解】这个三位数乘10等于完全平方数，说明这个三位数末尾是0，前两位是个完全平方数，它加上9之后也是完全平方数，即这个数可能是：169，259，369，499，649，819；发现只有169是完全平方数，所以这个三位数是160
答：Alice写的三位数是160。
故答案为：160
12．一个正整数a与2020的积是一个完全平方数，则a的最小值是( )。
【答案】505
【分析】先将2020分解质因数，再根据完全平方数的质因数的个数一定是偶数个，由此即可确定最小值。由此即可确定a的最小值是多少。
【详解】2020＝22×5×101
所以a最小是：5×101＝505。
因此a的最小值是505。
13．有一本书，每天读80页，5天读完；每天读90页，4天读完。为了更好地读懂这本书，小明打算每天少读一点，决定N天看完，此时每天读N页正好读完。这部小说共__________页。
【答案】324
【分析】通过观察可知，每天读80页，5天读完，最后一天没有读满80页，所以总页数一定大于[80×（5－1）]页，也就是320页，小于（80×5）页，也就是400页；每天读90页，4天读完，最后一天没有读满90页，所以总页数大于[90×（4－1）]页，也就是270页，小于（90×4）页，也就是360页，所以总页数大于320页，且小于360页，因为总页数＝N×N，所以总页数为平方数，只要找到320~360之间的平方数即可，只有18的平方符合，总页数为18的平方。
【详解】80×（5－1）
＝80×4
＝320（页）
90×4＝360（页）
320＜总页数＜360
总页数＝N×N
182＝324
172＜320＜182＜360＜192
总页数为182，也就是324页。
【点睛】找到总页数的取值范围是解答本题的关键。
14．设，且为完全平方式，则符合条件的整数的个数为____。
【答案】13
【分析】首先观察发现3、5、7、9……这些数的平方都可以写成的形式，事实上，任何一个奇数的平方都可以写成，但由于 ，所以这个奇数的平方也要小于等于801。
【详解】令
所以的取值有3、5、7、9、11、13、15、17、19、21、23、25、27，共13个。
【点睛】本题考查的是完全平方数，对于完全平方数的相关性质要非常熟悉。
15．有一个奇怪的四位数（首位不为0），它是完全平方数，它的数字和也是完全平方数，用这个四位数除以它的数字和得到的结果还是完全平方数，并且它的因数个数还恰好等于它的数字和，那当然也是完全平方数，如果这个四位数的各位数字互不相同，那么这个四位数是( )。
【答案】2601
【解析】四位数的数字和最小是1，最大是36，9999不是完全平方数，排除；数字和是完全平方数，那么数字和可能取9，16，25；因数个数还恰好等于它的数字和，那么因数个数也是完全平方数，而完全平方数有奇数个因数，排除16；对于9和25两种情况进行分类讨论。
【详解】如果数字和是9：
由于这个四位数除以它的数字和9，得到的结果还是完全平方数；
结合因数个数，符合要求的这个四位数可以写成的形式，因为为质数，经测试可取17；
得到符合要求四位数；
如果数字和是25：
由于这个四位数除以它的数字和25，得到的结果还是完全平方数；
结合因数个数，符合要求的这个四位数可以写成的形式，没有符合要求的数；
故这个四位数是2601。
【点睛】本题考查的是完全平方数的知识点，完全平方数的因数个数是奇数个。
16．设非零自然数a，b，c满足方程。试求：
(1)的最小值。
(2)当取得最小值时a，b，c的值。
【答案】(1)2034
(2)27，36，3或36，27，3
【分析】由得到，因此求的最小值即可转化为求c的最小值。因为c为非零自然数，所以从1开始枚举，因为a、b为非零自然数，所以通过对两个完全平方数的和来确定c的最小值，从而得到的最小值。
【详解】（1）因为，
所以，
因此求的最小值即可转化为求c的最小值。
当c＝1时，，经尝试，没有两个完全平方数的和为2023，故舍去；
当c＝2时，，经尝试，没有两个完全平方数的和为2024，故舍去；
当c＝3时，，经尝试，，
所以c的最小值为3，的最小值为：。
答：的最小值为2034。
（2）当c＝3时，取得最小值，此时a，b的值分别为36，27或27，36。
答：当最小值时a，b，c的值为27，36，3或36，27，3。
17．已知A和D为两个非零自然数位。且利用这两个数位组成的两位数有以下性质：
（1）可以被写成2和－2的积；
（2）是个平方数；
求两位数。
【答案】49
【分析】根据可以被写成2和－2的积，则可以得到：，将这个算式化简即为：，然后是个平方数，根据完全平方数的末位数的特点进一步推断即可。
【详解】由题意可知：
化简即为：
是个平方数，完全平方数的末位数只能是0，1，4，5，6，9，
所以D＝1，4，5，6，9；
经过检验D＝9，A＝4符合题意；
所以两位数两位数＝49。
18．能够找到这样的四个正整数，使得它们中任意两个数的积与的和都是完全平方数吗？若能够，请举出一例；若不能够，请说明理由．
【答案】见解析
【详解】因为偶数的平方能被4整除，奇数的平方被4除余1，因此任一正整数的平方被4除余0或1．
假设存在四个正整数，使得．又被4除余2，故被4除余2或3．
若中有两个偶数，如是偶数，那么是4的倍数，被4除余2，，所以不可能是完全平方数；
因此中至多只有一个偶数，至少有三个奇数．设为奇数，为偶数，那么被4除余1或3，所以中至少有两个数余数相同．如被4除余数相同，同为1或3，那么
被4除余1，所以被4除余3，不是完全平方数；
综上，不可能全是完全平方数．
19．一个自然数与自身相乘的结果称为完全平方数．已知一个完全平方数是四位数，且各位数字均小于7．如果把组成它的数字都加上3，便得到另外一个完全平方数，求原来的四位数．
【答案】1156
【详解】设这个四位数为①，
由于其各位数字都小于7，所以每位数字都加3，没有发生进位，故
②
由②①得：③
将分解质因数，有，其有个约数，但是有，所以只有4种可能，即．
由于，故，所以；
又，所以，故；
一一检验，只有满足且，所以，，得，原来的四位数为．
20．一个四位数的每一位数字都是非零的偶数，它又恰好是某个偶数数字组成的数的平方，请问：这个四位数是多少？
【答案】4624．
【详解】试题分析：根据题意，可得一个偶数的平方是一个四位偶数，所以这个偶数只能是两位数；（1）42、44、46、48这些数中，由于40×40=1600，1又是奇数，所以不符合题意；（2）62、64、66、68这些数中，62、64由于不能进位至4开头的4位数，所以也不符合题意，只有66、68可能满足条件；（3）82、84、86、88这些数中84、86、88都是以7开头的4位数，不符合题意，只有82可能满足条件；最后分别求出66、68、82的平方，判断出哪一个符合条件即可．
解：根据题意，可得一个偶数的平方是一个四位偶数，
所以这个偶数只能是两位数；
（1）42、44、46、48这些数中，由于40×40=1600，1又是奇数，
所以它们都不符合题意；
（2）62、64、66、68这些数中，
62、64由于不能进位至4开头的4位数，
所以也不符合题意，只有66、68可能满足条件；
（3）82、84、86、88这些数中84、86、88都是以7开头的4位数，
所以它们不符合题意，只有82可能满足条件；
因为662=4356，3、5都是奇数，不符合题意；
因为682=4624，符合题意；
因为822=6724，7是奇数，不符合题意．
综上，可得这个四位数是4624．
答：这个四位数是4624．
点评：此题主要考查了完全平方数性质的应用，解答此题的关键是：首先根据一个偶数的平方是一个四位偶数，判断出这个偶数只能是一个两位数，然后找出以4、6、8开头的两位偶数中哪个满足条件即可．