2026年六年级下册奥数培优讲义专题22余数问题(知识点梳理+例题讲解+提升练习)(原卷版+解析)

这是一份2026年六年级下册奥数培优讲义专题22余数问题(知识点梳理+例题讲解+提升练习)(原卷版+解析)，文件包含生物试题docx、生物试题答案docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共9页， 欢迎下载使用。
一、基本概念
余数是指整数除法中被除数未被除尽部分，且余数的取值范围为0到除数之间（不包括除数）。
关键关系：被除数÷除数=商……余数，可表示为被除数=除数×商+余数（其中0≤余数＜除数）。
示例：10÷3=3……1，这里10是被除数，3是除数，3是商，1是余数，且1＜3；15÷5=3……0，余数为0表示整除。
二、核心性质（必学）
1.余数的可加性：(a + b) ÷ c的余数，等于a÷c的余数与b÷c的余数之和，若和大于或等于c，则再除以c取余数。
例：(7 + 8) ÷ 5，7÷5=1……2，8÷5=1……3，余数之和为2+3=5，5÷5=1……0，所以(7+8)÷5的余数为0。
2.余数的可减性：(a - b) ÷ c的余数，等于a÷c的余数减去b÷c的余数，若不够减，则先加上c再减。
例：(13 - 5) ÷ 7，13÷7=1……6，5÷7=0……5，6 - 5=1，所以(13 - 5)÷7的余数为1；(5 - 13) ÷ 7，5÷7=0……5，13÷7=1……6，5 - 6不够减，5 + 7 - 6=6，所以(5 - 13)÷7的余数为6。
3.余数的可乘性：(a × b) ÷ c的余数，等于a÷c的余数与b÷c的余数之积，若积大于或等于c，则再除以c取余数。
例：(4 × 5) ÷ 3，4÷3=1……1，5÷3=1……2，余数之积为1×2=2，2＜3，所以(4×5)÷3的余数为2；(6 × 7) ÷ 4，6÷4=1……2，7÷4=1……3，2×3=6，6÷4=1……2，所以(6×7)÷4的余数为2。
4.同余定理：若两个整数a、b除以同一个整数m所得的余数相同，则称a、b对于模m同余，记作a≡b (md m)。此时a - b能被m整除。
例：17÷5=3……2，27÷5=5……2，17和27对于模5同余，17 - 27=-10，-10能被5整除。
5.带余除法中的周期性：对于固定的除数m，当被除数a连续变化时，余数会呈现周期性变化，周期为m。
例：被除数依次为1、2、3、4、5、6、7……，除数为3时，余数依次为1、2、0、1、2、0……，周期为3。
三、核心方法（必学）
1.带余除法公式法：直接利用被除数=除数×商+余数（0≤余数＜除数）进行计算和求解。已知其中三个量可求第四个量。
2.同余构造法：当题目中出现多个同余条件时，可设被除数为某个表达式，根据同余关系列出方程求解。
3.逐级满足法：对于多个除数的余数问题，从除数最大的那个条件开始，逐步满足其他条件，找到符合所有条件的最小被除数。
4.周期寻找法：对于具有周期性变化的余数问题，先找出余数的周期，再根据周期求解。
四、核心应用
1.已知被除数、除数，求商和余数；
2.已知除数、商、余数，求被除数；
3.已知被除数、商、余数，求除数；
4.利用同余性质解决整除问题；
5.解决周期性规律问题，如日期推算、数列循环等；
6.解同余方程组（中国剩余定理初步）。
例题讲解
一、基础题（理解与计算）
例1：计算下列各式的商和余数。
（1）58÷7 （2）100÷13 （3）2023÷5
解题步骤：
（1）7×8=56，58-56=2，所以58÷7=8……2。
（2）13×7=91，100-91=9，所以100÷13=7……9。
（3）5×404=2020，2023-2020=3，所以2023÷5=404……3。
答案：（1）商8余2；（2）商7余9；（3）商404余3。
跟踪练习1：计算375÷16的商和余数。答案：商23余7（16×23=368，375-368=7）。
例2：已知一个数除以9，商是12，余数是5，求这个数。
解题步骤：根据被除数=除数×商+余数，可得这个数为9×12+5=108+5=113。
答案：113。
跟踪练习2：一个数除以11，商是15，余数最大，求这个数。答案：11×15+10=165+10=175（余数最大为10，因为余数小于除数11）。
二、进阶题（性质与应用）
例3：已知28÷a=b……4，a、b均为正整数，求a的可能值。
解题步骤：由被除数=除数×商+余数，可得a×b=28-4=24。因为余数是4，所以除数a＞4。24的因数有1、2、3、4、6、8、12、24，其中大于4的因数有6、8、12、24，所以a可能为6、8、12、24。
答案：a可能为6、8、12、24。
跟踪练习3：已知50÷m=n……5，m、n均为正整数，求m的最小值。答案：m×n=50-5=45，m＞5，45的因数中大于5的最小因数是9，所以m的最小值为9。
例4：今天是星期一，再过100天是星期几？
解题步骤：一周有7天，周期为7。100÷7=14……2，即过了14周还多2天。星期一再过2天是星期三。
答案：星期三。
跟踪练习4：2023年10月1日是星期日，2023年12月31日是星期几？答案：10月有31天，11月有30天，从10月1日到12月31日共有31-1+30+31=91天，91÷7=13……0，所以是星期日。
三、挑战题（综合与拓展）
例5：一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求满足条件的最小三位数。
解题步骤：
方法一（逐级满足法）：
先满足除以7余2的数：2、9、16、23、30、37、44、51、58、65、72、79、86、93、100、107……
在这些数中找到除以5余3的数：23（23÷5=4……3）、23+35=58（58÷5=11……3）、58+35=93（93÷5=18……3）、93+35=128（128÷5=25……3）……
再在这些数中找到除以3余2的数：23（23÷3=7……2），但23是两位数，下一个数为23+105=128（3、5、7的最小公倍数是105），128是三位数。
所以满足条件的最小三位数是128。
答案：128。
例6：证明：任意一个正整数除以3，余数只可能是0、1、2。
解题步骤：设正整数为n，根据带余除法，n=3k+r，其中k为整数，0≤r＜3，所以r只能是0、1、2，即任意一个正整数除以3，余数只可能是0、1、2。
跟踪练习5：一个数除以4余1，除以6余3，求满足条件的最小正整数。答案：9（9÷4=2……1，9÷6=1……3）。
提升练习
1．有一个两位数，如果用它去除以个位数字，商为9余数为6，如果用这个两位数除以个位数字与十位数字之和，则商为5余数为3，求这个两位数？
2．连续写出从1开始的自然数，写到2008时停止，得到一个多位数：1234567891011…20072008，请说明：这个多位数除以3，得到的余数是几？为什么？
3．有一列数：1，1，2，3，5，8，13，……，即第一、 第二个数都是 1，从第三个数起，每个数都是前面两个数的和，求第 2003个数除以 3 的余数．
4．有一串数排成一行，其中第一个数是15，第二个数是40，从第三个数起，每个数恰好是前面两个数的和，问这串数中，第1998个数被3除的余数是多少？
5．有三个吉利数字，888，518，666，用他们同时除以一个相同的自然数，所得的余数为a，a+7，a+10.试问这个自然数是多少？
6．从自然数1，2，3，…，1000中，最多可取出多少个数使得所取出的数中任意三个数之和能被18整除?
7．五个互不相同的非零自然数，它们当中任意两个数之和是2的倍数，任意三个数之和是3的倍数，任意四个数之和是4的倍数，最后，这五个数之和还是5的倍数。求满足条件的五个数之和的最小值。
8．传说中的一条龙有100个头，一名武士一剑可以砍掉它的15，17，20或5个头。就在这种情况下，勇士再次挥剑之前，在龙的肩上又分别会长出24，2，14或17个新的头。如果把龙的头都砍光了，龙就死了。问：龙会死吗？请说明理由。
9．阿龙喜欢把电话号码作为数学题练习。一个电话号码是八位数，它被3除余1，被4除余2，被11恰好整除。阿龙只记着前六个数字是257633◻◻。但是算了一下，他便知道后两个数字。问这个电话号码最后的两个数是什么？
10．一个三位数除以17和19都有余数，并且除以17后所得的商与余数的和等于它除以19后所得到的商与余数的和。那么这样的三位数中最大数是多少，最小数是多少？
11．在小于1000的自然数中，分别除以18及33所得余数相同的数有多少个？（余数可以为0）
12．有两个自然数相除，商是，余数是，已知被除数、除数、商与余数之和为，则被除数是多少？
13．在200至300之间，有三个连续的自然数，其中，最小的能被3整除，中间的能被7整除，最大的能被13整除，那么这样的三个连续自然数分别是多少？
14．有连续的三个自然数、、，它们恰好分别是9、8、7的倍数，求这三个自然数中最小的数至少是多少？
15．一个大于10的数，除以3余1，除以5余2，除以11余7，问满足条件的最小自然数是多少？
16．不足100名同学跳集体舞时有两种组合：一种是中间一组5人，其他人按8人一组围在外圈；另一种是中间一组8人，其他人按5人一组围在外圈。问最多有多少名同学？
17．数119很奇特：当被2除时，余数为1；当被3除时，余数为2；当被4除时，余数为3；当被5除时，余数为4；当被6除时，余数为5。问：具有这种性质的三位数还有几个？
18．一猴子数一堆桃子.两个两个地数剩下1个，三个三个地数剩下1个，五个五个地数剩下3个，七个七个地数剩下3个.问这堆桃子最少是多少个？
19．有苹果,桔子各一筐,苹果有240个,桔子有313个,把这两筐水果分给一些小朋友,已知苹果等分到最后余2个不够分,桔子分到最后还余7个桔子不够再分,求最多有多少个小朋友参加分水果
20．韩信点兵：有兵一队，若列成五行纵队，则末行一人，成六行纵队，则末行五人，成七行纵队，则末行四人，成十一行纵队，则末行十人.求兵数.