2026年六年级下册奥数培优讲义专题26环形路线问题(知识点梳理+例题讲解+提升练习)(原卷版+解析)

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一、基本概念
环形路线问题是小升初奥数中行程问题的重要分支，研究物体在封闭环形跑道（如圆形、椭圆形等）上的运动规律，核心是相遇与追及两种基本情况。
关键要素：
1.环形跑道周长（L）：封闭跑道一圈的长度，单位通常为米（m）。
2.运动方向：
相向运动：两人沿跑道相反方向运动（如顺时针和逆时针），会发生相遇。
同向运动：两人沿跑道同一方向运动（如均顺时针），速度快的会追及速度慢的。
3.速度（v）：物体运动的快慢，单位为米/秒（m/s）或米/分（m/min）。
4.时间（t）：运动持续的时长，单位为秒（s）或分（min）。
5.相遇次数（n）：相向运动时，两人共行路程和为n个周长时的相遇总次数。
6.追及次数（m）：同向运动时，快者比慢者多行路程差为m个周长时的追及总次数。
示例：甲、乙在周长400米的环形跑道上跑步，甲速度5m/s，乙速度3m/s。若相向而行，属于相遇问题；若同向而行，属于追及问题。
二、核心公式（必背）
1. 相向运动（相遇问题）
单次相遇：两人从同地同时出发，第一次相遇时，路程和 = 跑道周长（L）。
公式：相遇时间(t=Lv甲+v乙)
文字理解：相遇时间 = 跑道周长 ÷ 速度和
多次相遇：两人从同地同时出发，第n次相遇时，路程和 = n×跑道周长（nL）。
公式：总时间(t=nLv甲+v乙)
不同地相向出发：若初始相距d（d < L），第一次相遇路程和 = d；若d > L，第一次相遇路程和 = L - d（取较短距离）。
公式：相遇时间(t=min(d,L−d)v甲+v乙)
2. 同向运动（追及问题）
单次追及：两人从同地同时出发，快者第一次追上慢者时，路程差 = 跑道周长（L）。
公式：追及时间 (t=L|v快−v慢|)
文字理解：追及时间 = 跑道周长 ÷ 速度差（绝对值）
多次追及：两人从同地同时出发，快者第m次追上慢者时，路程差 = m×跑道周长（mL）。
公式：总时间(t=mL|v快−v慢|)
不同地同向出发：若快者在慢者后方d（d < L），第一次追及路程差 = d；若快者在慢者前方d（d < L），第一次追及路程差 = L - d。
公式：追及时间(t=初始路程差|v快−v慢|)
三、核心解题方法
1.直接套用法（基础）
已知跑道周长、速度（或速度和/差），直接代入相遇/追及公式求时间或次数。
2.关键量转化法（进阶）
题目未直接给出速度和/差或周长时，先通过已知条件（如路程、时间）求出关键量（如速度和 = 路程和 ÷ 时间），再代入公式。
3.分类讨论法（综合）
针对不同出发方向（同向/相向）、不同出发点（同地/不同地），分情况分析路程和/差，避免漏解。
4.方程法（复杂问题）
设未知量（如速度、时间），根据“路程和 = nL”或“路程差 = mL”列方程求解，适用于含多个未知量的题目。
四、常见题型
1.基础型：同地同时出发的单次相遇/追及。
2.进阶型：不同地出发的单次相遇/追及，或同地出发的多次相遇/追及。
3.复杂型：含变速（如中途改变速度）、休息（如跑一段时间停一段时间）的环形运动。
4.综合型：与时钟问题结合（时钟盘面为环形，时针、分针的相遇/追及）。
例题讲解
一、基础题（直接套用法）
例1：在周长300米的环形跑道上，甲、乙两人同时同地出发，相向而行。甲速度4m/s，乙速度6m/s，经过多久两人第一次相遇？
解题步骤：
确定类型：同地相向，单次相遇。
关键量：L=300m，v甲=4m/s，v乙=6m/s，速度和=4+6=10m/s。
代入公式：相遇时间(t=Lv甲+v乙=30010=30) 秒。
答案：30秒。
跟踪练习1：周长400米的环形跑道，甲、乙同向而行，甲速度5m/s，乙速度3m/s，第一次追及需要多久？
答案：200秒。
解析：速度差=5-3=2m/s，追及时间(t=4002=200)秒。
二、进阶题（关键量转化法）
例2：甲、乙在环形跑道上相向而行，第一次相遇时甲跑了120米，乙跑了180米，相遇时间为30秒。求跑道周长和两人速度。
解题步骤：
求周长：相遇时路程和=跑道周长，L=120+180=300米。
求速度：甲速度(v甲=12030=4)m/s，乙速度(v乙=18030=6)m/s。
答案：周长300米，甲4m/s，乙6m/s。
例3：环形跑道周长500米，甲、乙同地同向出发，甲速度8m/s，乙速度5m/s。出发后多久甲第3次追上乙？
解题步骤：
确定类型：同地同向，多次追及（m=3）。
速度差=8-5=3m/s，总路程差=3×500=1500米。
总时间 (t=15003=500)秒。
答案：500秒。
跟踪练习2：环形跑道周长600米，甲、乙从相距200米的两地相向出发（甲在前，乙在后，沿同一方向），甲速度4m/s，乙速度6m/s。乙第一次追上甲需要多久？
答案：100秒。
解析：初始路程差=200米，速度差=6-4=2m/s，追及时间(t=2002=100)秒。
三、挑战题（分类讨论+方程法）
例4：环形跑道周长400米，甲、乙同时同地出发，甲速度6m/s，乙速度4m/s。若两人先相向跑1分钟，再同向跑，从出发到乙第一次被甲追上共需多久？
解题步骤：
第一步：相向跑1分钟（60秒）的路程和：(6+4)×60=600米。
此时两人位置：600÷400=1圈……200米，即相遇1次后，相距200米（沿跑道方向）。
第二步：同向跑，甲追乙，初始路程差=200米（甲在乙前方200米，因甲速度快），速度差=6-4=2m/s。
追及时间(t追=2002=100)秒。
总时间=60+100=160秒。
答案：160秒。
例5（生活应用）：时钟的分针长10cm，时针长6cm。从3:00到3:30，分针和时针共相遇几次？分针比时针多跑了多少厘米？（π取3.14）
解题步骤：
时钟盘面周长：分针轨迹周长(L分=2π×10=62.8)cm，时针轨迹周长(L时=2π×6=37.68)cm。
速度：分针60分钟跑1圈，速度(v分=62.860≈1.047)cm/min；时针12小时跑1圈，速度(v时=37.68720≈0.0523)cm/min。
3:00时，分针在时针后方(14L时=9.42)cm（时针指向3，分针向12，夹角90°，路程差为时针轨迹的1/4）。
3:00到3:30共30分钟，分针比时针多跑路程：(1.047-0.0523)×30≈30 cm，远小于时针轨迹周长，故未追及，相遇次数为0次。
答案：相遇0次，多跑约30厘米。
跟踪练习3：环形跑道周长400米，甲每秒跑5米，乙每秒跑3米，两人同时同地出发。若甲跑50米休息10秒，乙一直跑，问出发后多久甲第一次追上乙？
答案：230秒。
解析：甲跑50米需10秒，休息10秒，周期20秒，周期内跑50米；乙20秒跑60米，乙比甲快10米/周期。初始路程差0，甲需追400米，400÷10=40周期，但最后一次追上时甲无需休息，调整后总时间230秒。
提升练习
1．学校操场上的环形跑道的周长为400米，如图，希希和贝贝相距90米，两人同时沿着跑道开始跑步。贝贝沿逆时针方向，速度为4米/秒，希希沿顺时针方向，速度为3米/秒，当两人第二次相遇时，贝贝比希希多跑了多少米？
【答案】70米
【分析】贝贝逆时针、希希顺时针（如下图），两人属于相向而行，所以第一次相遇两人合跑90米，之后两人继续跑，合跑一圈（400米）才能第二次相遇，计算出两人第二次相遇时合跑的总路程，然后利用“相遇时间 ＝ 合跑的总路程 ÷ 速度和”求出相遇总时间，最后分别计算两人跑的路程，再求路程差。
【详解】（90＋400）÷（4＋3）
＝490÷7
＝70（秒）
70×4－70×3
＝280－210
＝70（米）
答：当两人第二次相遇时，贝贝比希希多跑了70米。
【点睛】①解环形跑道问题，第一步先明确两人的运动方向（相向/同向），这决定了用“速度和”还是“速度差”计算；
②遇到多次相遇时，先拆解总路程的构成（初始间距＋几圈跑道），再结合公式计算，思路会更清晰哦！
2．如图，正方形ABCD的周长为480米。甲、乙两人同时分别从A，D出发按逆时针方向行走，甲每分钟走150米，乙每分钟走120米，甲、乙在每一个顶点都要休息4秒钟。则当甲第一次追上乙需多少秒钟？
【答案】256秒
【分析】正方形的周长为480米，根据正方形的边长＝正方形的周长÷4得出每一条边是120米。甲每分钟走150米，乙每分钟走120米，根据1分钟＝60秒得出甲每秒走2.5米，乙每秒走2米。
甲乙两人分别从A、D同时出发，按逆时针方向行走，他们在每一个顶点都要休息4秒钟，甲第一次追上乙的时候，甲一定比乙多经过一个顶点，即甲一定比乙多休息一次，可以先求出甲休息的这4秒时间里乙走过的路程为8米，因此追及路程为＝正方形的边长＋7，为128米。
根据“追及时间＝路程差÷速度差”即可求出追及时间为256秒。即可求出甲第一次追上乙需要的时间。
【详解】480÷4＝120（米）
120÷60＝2（米/秒）
150÷60＝2.5（米/秒）
2×4＝8（米）
120＋8＝128（米）
128÷（2.5－2）
＝128÷0.5
＝256（秒）
答：当甲第一次追上乙需256秒。
3．如下图所示，甲、乙二人沿边长100米的正方形跑道按逆时针方向练习长跑，甲从A点出发，每分钟跑380米，乙从B点出发，每分钟跑430米。当乙第二次追上甲时，应在正方形的那条边上？
【答案】BC边上
【分析】根据路程差÷速度差＝追及时间，开始的时候，甲乙相距300米，结合公式即可得出第一次追上甲的时间，然后乙要想再次追上甲，需比甲多跑一圈，即路程差为正方形的周长400米，进而得到整个过程中乙第二次追上甲的总用时，结合速度×时间＝路程，即可算出这期间乙跑的路程，用路程去除以一圈的长度，即可得到圈数和剩余的距离，从而确定出追上时在那条边上。
【详解】乙第一次追上甲需100×3÷（430－380）＝6（分钟）
乙第二次追上甲共需6＋100×4÷（430－380）＝14（分钟）
乙从B点出发一共跑了430×14＝6020米）
6020÷（100×4）＝15（圈）……20（米）
所以当乙第二次追上甲时，相遇点在BC边上。
答：当乙第二次追上甲时，相遇点在BC边上。
4．如图，等边三角形ABC的边长为30厘米，三只蚂蚁从A、B、C同时出发顺时针爬行。A的速度每秒10厘米，B的速度每秒5厘米，C的速度每秒3厘米。三只蚂蚁出发后多少分钟第一次相遇？第二次相遇呢？
【答案】1分钟；2.5分钟
【分析】这里的相遇就是环形追及，根据追及时间＝路程差÷速度差，用30÷（10－5）即可求出A、B第一次追及的时间，也就是6秒；第二次开始每次两人的路程差增加了一个三角形的周长，用30×3÷（10－5）即可求出每次追及增加的时间是18秒；同理，用30÷（5－3）即可求出B、C第一次追及的时间，也就是15秒，第二次开始开始每次两人的路程差增加了一个三角形的周长，用30×3÷（5－2）即可求出每次追及增加的时间是45秒；据此可知AB追及时间、BC追及时间如下：
AB追及时间（单位：秒）：6，24，42，60，78，96，114，132，150…
BC追及时间（单位：秒）：15，60，105，150…
据此可知，ABC第一次追及时间是60秒后，第二次追及时间是150秒后，据此解答。
【详解】30÷（10－5）
＝30÷5
＝6（秒）
30×3÷（10－5）
＝30×3÷5
＝18（秒）
30÷（5－3）
＝30÷2
＝15（秒）
30×3÷（5－3）
＝30×3÷2
＝45（秒）
AB追及时间（单位：秒）：6，24，42，60，78，96，114，132，150…
BC追及时间（单位：秒）：15，60，105，150…
据此可知，ABC第一次追及时间是60秒后，第二次追及时间是150秒后，
60秒＝1分钟
150秒＝2.5分钟
答：三只蚂蚁出发后1分钟第一次相遇；出发后2.5分钟第二次相遇。
【点睛】本题考查了环形多次追及问题，明确每次追及的路程差增加的部分是三角形的周长是解答本题的关键。
5．公园环湖跑道长3600米，淘气和爸爸两人同时反方向跑步，淘气每分钟跑250米，爸爸每分钟跑350米。
（1）估计两人在何处相遇，在环形图中标出来。
（2）多长时间后两人相遇？
【答案】（1）见详解；（2）6分钟
【分析】（1）淘气每分钟跑250米，爸爸每分钟跑350米，所以用250÷（250＋350）即可求出在相遇时，淘气所行距离占全圈的几分之几。
（2）环湖跑道一周的长度是3600米，根据路程÷速度和＝相遇时间，用3600÷（250＋350）即可求出两人相遇所需时间。
【详解】（1）250÷（250＋350）
＝250÷600
＝
两人相遇点估计如下：
（2）3600÷（250＋350）
＝3600÷600
＝6（分钟）
答：6分钟后两人相遇。
【点睛】本题考查相遇问题，熟记公式：路程÷速度和＝相遇时间是解题的关键。
6．小林和小军沿着公园的环湖跑道跑步，跑道一圈的长度是4500m。他们两人同时从同一地点反方向跑步，如图所示。小林每分跑170m，小军每分跑130m，多长时间后两人相遇？
【答案】15分钟
【分析】把两人的相遇时间设为未知数，等量关系式：（小林的速度＋小军的速度）×相遇时间＝环湖跑道的总路程，据此解答。
【详解】解：设经过x分钟两人相遇。
（170＋130）x＝4500
300x＝4500
300x÷300＝4500÷300
x＝15
答：15分钟后两人相遇。
【点睛】掌握相遇问题的计算公式是解答题目的关键。
7．一个圆周长70厘米，甲、乙两只爬虫从同一地点，同时出发同向爬行，甲以每秒4厘米的速度不停的爬行，乙爬行了15厘米后，立即反向爬行，并且速度增加1倍，在离出发点30厘米处与甲相遇，问爬虫乙原来的速度是多少？
【答案】3.75厘米/秒
【详解】根据题意，甲共行了70－30=40（厘米），所需的时间是40÷4=10（秒）．在10秒内乙按原速爬了15厘米，按2倍的速度爬行了15+30=45（厘米），因此，不难求出乙原有的速度．
解：因为，甲共行了70－30=40（厘米），所需的时间是40÷4=10（秒）．10秒内乙爬行：15+30=45（厘米），假设10秒乙全是按原速爬行，可爬行：15+45÷2=37.5（厘米），所以，乙原有的速度是：37.5÷10=3.75（厘米/秒）．
8．甲用45秒可绕一环行跑道跑一圈，乙与甲同时从同地反向跑，每隔15秒，与甲相遇一次，乙跑完一圈用多少秒？
【答案】22.5秒
【分析】由于乙与甲同时从同地反向跑，甲用45秒可绕环行跑道跑一圈，15秒相遇时，二人共同跑完一圈．乙15秒所跑的路程就相当于甲45－15=30（秒）所跑的路程，因此，二人的速度关系就比较容易确定了．
【详解】解：由于同一段路程所用时间越少，速度越快，因此，乙的速度是甲的速度的：（45－15）÷15=2（倍），由此，可以判断出乙跑一圈所用的时间是甲的一半．所以，乙跑完一圈用：45÷2=22.5（秒）．
【点睛】合理的转化问题，抓住甲、乙运动中的关系，是这道题目的“突破口”．
9．如图，A、B是圆直径的两个端点，小华在点A，小明在点B，他们同时出发，反向而行．他们在C点第一次相遇，C点离A点100米；在D点第二次相遇，D点离B点80米．求这个圆的周长．
【答案】440米
【分析】第一次相遇，两人合起来走了半圈，第二次相遇，两人合起来走了一圈，因此，从开始出发到第二次相遇，两人合起来走了一圈半．也就是说，第二次相遇时两人合起来走的路程是第一次相遇时合起来所走路程的3倍，因此，不难看出AD的距离是AC距离的3倍，所以再求圆周的长度就比较简单了．
【详解】解：因为AC=100米，AD的长度是AC长度的3倍．AD=AC×3=100×3=300（米）
半个圆的周长：300－80=220（米）
整个圆的周长：220×2=440（米）
10．如图，两只小爬甲和乙虫从A点出发，沿长方形ABCD的边，按箭头方向爬行，在距C点32厘米的E点它们第一次相遇，在距D点16厘米的F点第二次相遇，在距A点16厘米的G点第三次相遇，求长方形的边AB的长。
【答案】64厘米
【分析】由题意和图示知甲三次走的路程相等：AB＋BE＝EC＋CF＝FD＋DA＋AG，也就是AB＋AD﹣32＝AB＋16＝16＋AD＋16，由此求出答案即可。
【详解】甲和乙既然是相遇问题，说明时间相同。以甲分析为例，甲三次相遇所走的路程应该是相同的，即：AB＋BE＝EC＋CF＝FD＋DA＋AG，也就是AB＋AD﹣32＝AB＋16＝16＋AD＋16。
得到AB＝64厘米。
【点睛】此题属于多次相遇问题，“甲三次相遇所走的路程应该是相同的”是解题关键。
11．两人在环形跑道上跑步 ，两人从同一地点出发，小明每秒跑3米，小雅每秒跑4米，反向而行，45秒后两人相遇。如果同向而行，几秒后两人再次相遇。
【答案】315秒
【详解】（4＋3）×45
＝7×45
＝315（米）
315÷（4－3）
＝315÷1
＝315（秒）
答：315秒后两人再次相遇。
12．两名运动员在湖的周围环形道上练习长跑。甲每分钟跑250米，乙每分钟跑200米，两人同时同地同向出发，经过45分钟甲追上乙；如果两人同时同地反向出发，经过多少分钟两人相遇？
【答案】5分钟
【分析】在封闭的环形道上两人同时同地同向出发是追及问题，当甲追上乙时，甲比乙多跑了一圈，即甲比乙多跑了环形跑道的一周的长。速度差×追及时间＝路程，甲、乙速度差乘甲追上乙所用时间，可以算出环形跑道的长度。
在封闭的环形道上两人同时同地反向出发是相遇问题。路程÷速度和＝相遇时间，环形跑道一周的长度除以甲、乙两人的速度和，即可算出经过多少分钟两人相遇。
【详解】（250－200）×45
＝50×45
＝2250（米）
2250÷（250＋200）
＝2250÷450
＝5（分钟）
答：经过5分钟两人相遇。
【点睛】理解甲追上乙时甲比乙多跑了环形跑道的一周是解题关键。
13．幸福村小学有一条200米长的环形跑道，冬冬和晶晶同时从起跑线起跑，冬冬每秒钟跑6米，晶晶每秒钟跑4米，问冬冬第一次追上晶晶时两人各跑了多少米，第2次追上晶晶时两人各跑了多少圈？
【答案】600 400,6 4
【详解】这是一道封闭路线上的追及问题，冬冬与晶晶两人同时同地起跑，方向一致．因此，当冬冬第一次追上晶晶时，他比晶晶多跑的路程恰是环形跑道的一个周长(200米)，又知道了冬冬和晶晶的速度，于是，根据追及问题的基本关系就可求出追及时间以及他们各自所走的路程．
①冬冬第一次追上晶晶所需要的时间：(秒)
②冬冬第一次追上晶晶时他所跑的路程应为：(米)
③晶晶第一次被追上时所跑的路程：(米)
④冬冬第二次追上晶晶时所跑的圈数：(圈)
⑤晶晶第2次被追上时所跑的圈数：(圈)
14．下图中有两个圆只有一个公共点A，大圆直径48厘米，小圆直径30厘米．两只甲虫同时从A点出发，按箭头所指的方向以相同速度分别沿两个圆爬行．问：当小圆上甲虫爬了几圈时，两只甲虫首次相距最远？
【答案】4圈
【详解】我们知道，大小圆只有一个公共点(内切)，而在圆上最远的两点为直径两端，所以当一只甲虫在A点，另一只在过A的直径另一直径端点B，
所以在小圆甲虫跑了n圈，在大圆甲虫跑了m＋圈；
于是小圆甲虫跑了30n，大圆甲虫跑了48(m＋)＝48m＋24
因为速度相同，所以相同时内路程相同，起点相同，
所以30n＝48m＋24；
即5n＝8m＋4，由不定方程知识，解出有n＝4，m＝2，
所以小圆甲虫跑了4圈后，大小甲虫相距最远．
15．如图，甲和乙两人分别从一圆形场地的直径两端点同时开始以匀速按相反的方向绕此圆形路线运动，当乙走了100米以后，他们第一次相遇，在甲走完一周前60米处又第二次相遇.求此圆形场地的周长．
【答案】480
【详解】注意观察图形，当甲、乙第一次相遇时，甲乙共走完圈的路程，当甲、乙第二次相遇时，甲乙共走完1+＝圈的路程．所以从开始到第一、二次相遇所需的时间比为1：3，因而第二次相遇时乙行走的总路程为第一次相遇时行走的总路程的3倍，即100×3=300米．有甲、乙第二次相遇时，共行走(1圈－60)+300，为圈，所以此圆形场地的周长为480米．
16．如下图，有一个圆，两只小虫分别从直径的两端Ａ与C同时出发，绕圆周相向而行．它们第一次相遇在离A点8厘米处的B点，第二次相遇在离C点处6厘米的Ｄ点，这个圆周的长是多少？
【答案】36
【详解】如图所示，第一次相遇，两只小虫共爬行了半个圆周，其中从点出发的小虫爬了8厘米，第二次相遇，两只小虫又爬了一个圆周，所以两只小虫从出发共爬行了1个半圆周，其中从点出发的应爬行(厘米)，比半个圆周多6厘米，半个圆周长为(厘米)，一个圆周长就是：(厘米)
17．一个圆周长90厘米，3个点把这个圆周分成三等分，3只爬虫A，B，C分别在这3个点上.它们同时出发，按顺时针方向沿着圆周爬行.A的速度是10厘米/秒，B的速度是5厘米/秒，C的速度是3厘米/秒，3只爬虫出发后多少时间第一次到达同一位置？
【答案】60
【详解】先考虑B与C这两只爬虫，什么时候能到达同一位置．
开始时，它们相差30厘米，每秒钟B能追上C（5-3）厘米.
30÷（5-3）＝15（秒）
因此15秒后B与C到达同一位置．以后再要到达同一位置，B要追上C一圈，也就是追上90厘米，需要90÷（5-3）＝45（秒）
B与C到达同一位置，出发后的秒数是15，60，105，150，195，……
再看看A与B什么时候到达同一位置．
第一次是出发后，30÷（10-5）=6（秒）
以后再要到达同一位置是A追上B一圈.需要：90÷（10-5）＝18（秒）
A与B到达同一位置，出发后的秒数是6，24，42，60，78，96，…
对照两行列出的秒数，就知道出发后60秒3只爬虫到达同一位置．
答：3只爬虫出发后60秒第一次爬到同一位置．
18．如图，甲和乙两人分别从一圆形场地的直径两端点同时开始以匀速按相反的方向绕此圆形路线运动，当乙走了100米以后，他们第一次相遇，在甲走完一周前60米处又第二次相遇.求此圆形场地的周长．
【答案】480
【详解】注意观察图形，当甲、乙第一次相遇时，甲乙共走完圈的路程，当甲、乙第二次相遇时，甲乙共走完1+＝圈的路程．所以从开始到第一、二次相遇所需的时间比为1：3，因而第二次相遇时乙行走的总路程为第一次相遇时行走的总路程的3倍，即100×3=300米．有甲、乙第二次相遇时，共行走(1圈－60)+300，为圈，所以此圆形场地的周长为480米．