2026年六年级下册奥数培优讲义专题31归一归总问题(知识点梳理+例题讲解+提升练习)(原卷版+解析)

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一、基本概念
归一归总问题是小升初奥数中应用题的重要类型，核心围绕“单一量”“份数”“总量”三者关系展开，主要分为归一问题和归总问题两类。
1. 归一问题
指先求出“单一量”（单位数量的量，如“每小时工作量”“每件商品价格”等），再根据单一量求总量或份数的问题。
关键要素：
单一量：单位份数对应的量（用字母 ( a ) 表示，如“1小时做5个零件”中，单一量 ( a=5 ) 个/小时）。
份数：与单一量对应的数量（用字母 ( n ) 表示，如“3小时”中，份数 ( n=3 ) 小时）。
总量：单一量与份数的乘积（用字母 ( S ) 表示，(S=a×n)）。
2. 归总问题
指先求出“总量”，再根据总量求单一量或份数的问题（与归一问题互为逆运算）。
关键要素：与归一问题相同，但解题顺序相反，先通过已知条件求出总量，再求单一量或份数。
二、核心公式（必背）
1. 归一问题公式
求单一量：(单一量=总量÷份数)（(a=S÷n)）
求总量：(总量=单一量×份数)（(S=a×n)）
求份数：(份数=总量÷单一量)（(n=S÷a)）
2. 归总问题公式
求总量：(总量=单一量×份数)（(S=a×n)，与归一问题中求总量公式相同，但“总量”是已知条件的计算结果）
求单一量：(单一量=总量÷新份数)（(a'=S÷n')，新份数指变化后的份数）
求新份数：(新份数=总量÷新单一量)（(n'=S÷a')，新单一量指变化后的单一量）
三、核心解题方法
1. 归一法（基础）
适用于归一问题：先根据已知条件求出单一量，再用单一量解决后续问题。
步骤：① 找已知的“总量”和“份数”；② 计算单一量（总量÷份数）；③ 根据问题求目标量（总量=单一量×新份数，或份数=总量÷单一量）。
关键：单一量是“桥梁”，必须先求准，避免单位混淆（如“1小时”“1天”“1件”等）。
2. 归总法（基础）
适用于归总问题：先根据已知条件求出总量，再用总量解决后续问题。
步骤：① 找已知的“单一量”和“份数”；② 计算总量（单一量×份数）；③ 根据问题求目标量（新单一量=总量÷新份数，或新份数=总量÷新单一量）。
关键：总量是“不变量”，无论单一量或份数如何变化，总量保持不变（除非题目明确说明总量变化）。
3. 两次归一法（进阶）
当单一量涉及两个单位（如“每人每小时工作量”“每台每天用水量”）时，需分两步求单一量。
步骤：① 第一次归一：求“每单位A的量”（如“每人工作量”）；② 第二次归一：求“每单位A每单位B的量”（如“每人每小时工作量”）；③ 再根据问题求总量或份数。
4. 复合归总法（进阶）
当总量涉及多个变化量（如“人数变化同时效率变化”）时，需先确定不变的总量，再结合多个变量关系求解。
关键：明确“不变总量”，用“总量=原单一量×原份数=新单一量×新份数”建立等式。
四、常见题型
1. 归一问题常见题型
基础型：直接求单一量后求总量（如“3个苹果12元，买5个苹果多少钱？”）。
进阶型：两次归一（如“2人3小时做12个零件，5人6小时做多少个零件？”）。
综合型：结合单位换算（如“1千克大米5元，买2吨大米多少钱？”）或干扰条件（如“买3送1，买10个需付多少钱？”）。
2. 归总问题常见题型
基础型：先求总量再求单一量（如“一批纸，每天用20张，可用30天，若每天用25张，可用多少天？”）。
进阶型：总量不变，多变量变化（如“原计划20人15天完成，实际增加5人，几天完成？”）。
综合型：结合比例（如“速度提高20%，时间缩短多少？”）或生活场景（如“租车问题：大车坐10人，小车坐6人，36人怎样租车最省钱？”）。
例题讲解
一、基础题（归一问题：先求单一量，再求总量）
例1：妈妈买4千克苹果花了24元，照这样计算，买7千克苹果需要多少钱？
解题步骤：
1.确定类型：归一问题（已知“4千克24元”，求“7千克多少钱”，需先求“1千克苹果的价格”）。
2.求单一量：单一量（1千克苹果价格）= 总量（24元）÷ 份数（4千克）= ( 24 \div 4 = 6 ) 元/千克。
3.求目标总量：7千克苹果总价 = 单一量 × 新份数 =(6×7=42)元。
答案：买7千克苹果需要42元。
跟踪练习1：3台机器2小时生产300个零件，照这样计算，1台机器1小时生产多少个零件？
答案：50个
解析：单一量（1台1小时产量）= 总量（300个）÷ 份数1（3台）÷ 份数2（2小时）=(300÷3÷2=50)个。
二、进阶题（归总问题：先求总量，再求新份数）
例2：一批货物，用载重5吨的卡车运，需要12次运完。如果改用载重6吨的卡车运，需要多少次运完？
解题步骤：
1.确定类型：归总问题（先求“货物总量”，再求“6吨卡车的次数”）。
2.求总量：货物总量 = 原单一量（5吨/次）× 原份数（12次）=(5×12=60)吨。
3.求新份数：新次数 = 总量 ÷ 新单一量（6吨/次）=(60÷6=10)次。
答案：需要10次运完。
跟踪练习2：原计划每天修80米路，15天修完，实际每天多修20米，实际几天修完？
答案：12天
解析：总量 =(80×15=1200)米，新单一量=(80+20=100)米/天，新天数=(1200÷100=12)天。
三、挑战题（两次归一+归总综合）
例3：2名工人3天可加工零件120个，照这样计算，5名工人加工500个零件需要多少天？
解题步骤：
1.两次归一求单一量：先求“1名工人1天加工零件数”。
1名工人3天加工：(120÷2=60)个；
1名工人1天加工（单一量）：(60÷3=20)个/（人·天）。
2.归总求新份数：5名工人1天加工：(20×5=100)个，加工500个需天数=(500÷100=5)天。
答案：需要5天。
例4（生活应用）：学校食堂运来一批煤，原计划每天烧30千克，可烧20天，实际每天烧煤量比计划节约5千克，这批煤实际可烧多少天？
解题步骤：
1.归总求总量：煤的总量 = 计划单一量 × 计划天数 =(30×20=600)千克。
2.求实际单一量：实际每天烧煤 = ( 30 - 5 = 25 ) 千克/天。
3.求实际天数：实际天数 = 总量 ÷ 实际单一量 =(600÷25=24)天。
答案：实际可烧24天。
跟踪练习3：3台拖拉机4小时耕地120亩，照这样计算，5台拖拉机耕250亩地需要几小时？
答案：5小时
解析：1台1小时耕地 =(120÷3÷4=10)亩，5台1小时耕地=(10×5=50)亩，时间=(250÷50=5)小时。
提升练习
1．小红骑车3分钟行600米，照这样的速度她从家到学校行了10分钟，小红家到学校有多少米？
2．新华机器厂计划做零件5400个，先由24名工人工作9小时完成总数的60%，然后人数减少，还要几小时才能完成余下的任务？
3．水果市场的王阿姨第一天卖了3筐苹果和5筐鸭梨，共138千克；第二天卖了9筐同样的苹果和4筐同样的鸭梨，共216千克。每筐苹果和鸭梨各有多少千克？
4．一批捐赠给疫区的医疗物资，如果每车装6吨，可以装32车，如果每车装8吨，那么可以装多少车？先把条件和问题整理到下面的表格中，再解答。
5．乐乐从学校图书室借了一本《数学动物园》，共125页。他前4天看了80页。他要在一周看完这本书，剩下的平均每天要看多少页？
6．学校买来一批粉笔，原计划18个班可用60天，实际用45天后，有3个班外出了，剩下的粉笔够用多少天？
7．有20人修筑一条公路，计划15天完成。动工3天后抽出5人植树，留下的人继续修路。如果每个人的工作效率不变，那么修完这段公路实际用多少天？
8．某厂运来一批煤，计划每天用5吨，40天用完，如果改进锅炉，每天节约1吨，这批煤可以用多少天？
9．学校买4套课桌椅，共用去480元，如果买同样的课桌椅7套，共需多少钱？如果有3000元，可以买进这样的课桌椅多少套？
10．一列火车从甲地开往乙地，开出2.5小时，行了150千米。照这样的速度，再行驶3小时到达乙地。甲、乙两地相距多少千米？
11．花果山上桃树多，5只小猴分200棵。现有小猴60只，按刚才的分法分后还余90棵，请算出桃树有几棵？
12．学校买来一些足球和篮球。已知买3个足球和5个篮球共花了281元；买3个足球和7个篮球共花了355元。现在要买5个足球、4个篮球共花多少元？
13．王奶奶家养了5头奶牛，7天产牛奶630千克，照这样计算，8头奶牛12天可生产牛奶多少千克？
14．王奶奶家养了5头奶牛，7天产牛奶630千克，照这样计算，8头奶牛15天可生产牛奶多少千克？
15．10辆小车和3辆卡车一次运货32吨，15辆小车和3辆卡车一次运货42吨。每辆小车和每辆卡车每次各运货多少吨？
16．30辆小车和3辆卡车一次运货75吨，45辆小车和6辆卡车一次运货120吨。每辆小车和每辆卡车每次各运货多少吨？
17．孙悟空组织小猴子摘桃子。开始时，16只小猴子2小时摘桃子640个，照这样计算，孙悟空要求它们在3小时内继续摘桃子1200个，那么需要增加多少只小猴子一起来摘桃子呢？
18．用一个杯子盛满水向一个空罐里倒水。如果倒进2杯水，连罐共重6千克；如果倒进5杯水，连罐共重9千克。这个空罐重多少千克？
19．一个工人在森林中锯木头，他用40分钟把一根树干锯成了5段，如果保持工作速度不变，要把每段木头再锯成两段，还需要多少分钟？
20．2020年年初，一场突如其来的新冠疫情席卷全国，导致人们的正常生活被按下了暂停键，一时间口罩变得供不应求。某口罩生产车间原有20名工人，每人每天生产500只口罩。为抗击疫情，该车间改进生产技术，并且新增了5名工人，现在每人每天比原来多生产100只口罩。那么该车间原来30天生产的口罩量现在要多少天就可以完成？
每车装的吨数
需要车的辆数