2026年六年级下册奥数培优讲义专题05比例应用题(知识点梳理+例题讲解+提升练习)(原卷版+解析)

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一、基本概念
1.比例的意义：表示两个比相等的式子叫做比例，形如 (a:b = c:d)（或(ab=cd)），其中 (b)、(d) 不为 0。
2.比例的基本性质：在比例中，两个外项的积等于两个内项的积，即 (ad = bc)。
3.正比例与反比例
正比例：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，且相对应的两个数的比值（商）一定，关系式为(yx=k)（(k) 为常数）。
反比例：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，且相对应的两个数的乘积一定，关系式为 (xy = k)（(k) 为常数）。
4.按比例分配：把一个数量按照一定的比分成若干部分，关键是确定各部分占总量的分率。
二、核心解题方法
1.比例性质法
利用比例的基本性质“外项积=内项积”求解未知数，适用于已知比例中的三项求第四项。
示例：若 (3:4 = x:8)，则 (4x = 3×8)，解得 (x = 6)。
2.正反比例判断法
步骤：①确定两种相关联的量；②判断比值一定还是乘积一定；③若比值一定则成正比例，若乘积一定则成反比例。
示例：路程一定时，速度和时间成反比例（(速度×时间=路程)，乘积一定）。
3.按比例分配法
步骤：①求出总份数；②计算各部分占总量的分率；③用总量乘以分率得到各部分量。
示例：将 60 按 2:3 分配，总份数 (2+3=5)，第一部分(60×25=24)，第二部分 (60×35=36)。
4.不变量法
当题目中部分量变化但总量或某一中间量不变时，以不变量为桥梁建立比例关系。
示例：甲、乙两数比为 3:5，乙数增加 10 后，比变为 1:2，不变量为甲数，设甲数为 3x，乙数原为 5x，可列方程(3x5x+10=12)。
三、常见题型
1.基础型：直接利用比例性质求未知项、按比例分配实际问题。
2.正反比例应用：行程问题（速度与时间）、工程问题（效率与时间）、购物问题（单价与数量）等。
3.综合型：结合分数、百分数的比例问题，或涉及多个量的比例转化问题。
例题讲解
一、基础题（比例性质与按比例分配）
例1：解比例 (2.4:x = 1.5:3)。
解题步骤：
1.根据比例性质“外项积=内项积”，得 (1.5x = 2.4×3)；
2.计算右边：(2.4×3 = 7.2)；
3.解得 (x = 7.2÷1.5 = 4.8)。
跟踪练习1：解比例(x4=312)，答案：(x = 1)（解析：(12x = 4×3)，(x = 12÷12 = 1)）。
例2：学校将 90 本图书按 4:5 分给六年级和五年级，两个年级各分得多少本？
解题步骤：
1.总份数：(4+5=9)（份）；
2.六年级分得：(90×\frac{4}{9}=40)（本）；
3.五年级分得：(90×\frac{5}{9}=50)（本）。
跟踪练习2：一个三角形三个内角的度数比是 2:3:4，最大内角是多少度？答案：(80°)（解析：总份数 (2+3+4=9)，最大角占 (\frac{4}{9})，(180°×49=80°)）。
二、进阶题（正反比例应用）
例3：一辆汽车从甲地到乙地，每小时行 60 千米，5 小时到达。若要 4 小时到达，每小时需行多少千米？
解题步骤：
1.确定关系：路程一定，速度和时间成反比例（(速度×时间=路程)）；
2.设每小时需行 (x) 千米，列方程：(4x = 60×5)；
3.解得 (x = 300÷4 = 75)（千米/小时）。
跟踪练习3：用同样的方砖铺地，铺 18 平方米用砖 144 块，铺 24 平方米需用多少块？答案：192 块（解析：每平方米用砖量一定，面积与块数成正比例，设需 (x) 块，(14418=x24)，(x = 16×24 = 192)）。
三、挑战题（综合比例与不变量）
例4：甲、乙两仓库存粮比为 5:3，从甲仓运出 90 吨后，两仓库存粮比为 2:3，求乙仓库存粮多少吨？
解题步骤：
1.不变量：乙仓库存粮不变，设乙仓存粮为 (3x) 吨，则甲仓原存粮为 (5x) 吨；
2.运出后甲仓存粮为 (5x - 90)，此时比例为 ((5x - 90):3x = 2:3)；
3.根据比例性质：(3(5x - 90) = 2×3x)，即 (15x - 270 = 6x)；
4.解得 (9x = 270)，(x = 30)，乙仓存粮 (3x = 90) 吨。
跟踪练习4：六年级男生人数是女生的(34)，转来 3 名女生后，男生人数是女生的 (23)，原有女生多少人？答案：24人（解析：男生人数不变，设原有女生(4x)人，男生(3x)人，(3x4x+3=23)，解得(x=6)，原有女生(4×6=24)人）。
提升练习
1．小雅、小贝和小周共从图书馆搬出1110本书，其中小雅工作3小时，小贝工作4小时，小周工作5小时。他们三人的工作效率都不一样，小雅搬5本书所需的时间，小贝只能搬3本书，而小周只能搬2本书。请问小雅一共搬了多少本书？
2．某蛋糕店做一个生日蛋糕，需面粉1000克，奶油400克，水果200克。已知500克面粉3元，500克奶油10元，500克水果15元。请问：这个生日蛋糕的成本为多少元？
3．小刚读一本书，第一天读了全书的，第二天比第一天多读了10页，这时已读的页数与剩下页数的比是3∶7，小刚再读多少页就能读完这本书？
4．甲、乙、丙三人同时从A向B跑，当甲跑到B时，乙离B还有25米，丙离B还有40米；当乙跑到B时，丙离B还有20米，A，B相距多少米？
5．甲乙两人原有钱数之比是，后来甲用去80元，乙又得20元，这时甲乙两人的钱数比是，原来两人各有多少钱？
6．服装厂有三条生产线，第一、二、三条生产线上的工人每小时分别能完成西服30套、24套、20套，现有90名工人要使每天三条生产线完成的套数相同，每条生产线应安排多少名工人？
7．有甲、乙两杯含盐量不同的盐水，甲杯盐水的质量为100克，乙杯盐水的质量为60克。现在从两杯中倒出等量的盐水，分别交换倒入两杯中，这时两杯新盐水的含盐率相等，从每杯倒出盐水多少克？
8．一列货车和一列客车同时从甲乙两地相向开出，已知客车的速度是货车的速度的，两车相遇时，客车比货车少行8千米．求甲、乙两地间的距离．
9．高中学生的人数是初中学生人数的，高中毕业生的人数是初中毕业生人数的，高、初中毕业生毕业后，高、初中留下的人数都是520人．问高、初中毕业生共有多少人？
10．有两堆棋子， A堆有黑子 350个和白子500个， B堆有黑子400个和白子100个．为了使A堆中黑子占A堆的，B堆中黑子占．要从B堆中拿到A堆黑子、白子各多少个？
11．甲、乙、丙三种糖果每千克价分别是22元、30元、33元.某人买这三种糖果，在每种糖果上所花钱数一样多，问他买的这些糖果每千克的平均价是多少元？
12．有甲、乙、丙三枚长短不相同的钉子，甲与乙长度的比是6:5，甲钉子的钉入墙内，甲与丙钉入墙内的部分之比5:4，而它们留在墙外的部分一样长.问：甲、乙、丙的长度之比是多少？
13．小张、小李和小王于某日上午分别步行、骑自行车和开汽车从A地出发沿公路向B地匀速前进．已知小李比小张晚1小时出发，小王比小李晚45分钟出发．他们三人恰在中途某地相遇．若小李比小张早到达B地24分钟，则小王比小张早多少分钟．
14．A、B、C三辆汽车以相同的速度同时从甲市开往乙市，开车后1小时A车出了事故，B和C车照常前进，A车停车修理半小时后以原速度的继续前进，B、C两车行至距离甲市200千米处B车出了事故，C车照常前进，B车停了半小时后也以原速度的继续前进，结果到达乙市的时间C车比B车早1小时，B车比A车早1小时，求甲、乙两市的距离为多少千米？
15．在商场里，小明从正在向上移动的自动楼梯顶部下120级台阶到达底部，然后从底部上90级台阶回到顶部．自动楼梯从底部到顶部的台阶数是不变的，假设小明单位时间内下的台阶数是他上的台阶数的2倍．则该自动楼梯从底到顶的台阶数为多少？
16．商场的自动扶梯以匀速由下往上行驶，两个孩子在行驶的扶梯上上下走动，女孩由下往上走，男孩由上往下走，结果女孩走了40级到达楼上，男孩走了80级到达楼下．如果男孩单位时间内走的扶梯级数是女孩的2倍，则当该扶梯静止时，可看到的扶梯梯级有多少级．
17．甲、乙二人步行远足旅游，甲出发后1小时，乙从同地同路同向出发，步行2小时到达甲于45分钟前曾到过的地方。此后乙每小时多行500米，经过3小时追上速度保持不变的甲。甲每小时行多少米？
18．甲骑车自A向B驶去，2小时后，乙步行由A向B走去，乙走出2小时后甲到B，此时乙距B地32千米；甲在B休息2小时30分钟又原路返回，经过1小时与一直步行向B走的乙相遇，问此时乙距B地多少千米？
19．甲乙两车分别从A，B两地出发，相向而行。出发时，甲、乙的速度比是5∶4，相遇后，甲的速度减少20％，乙的速度增加20％，这样，当甲到达B地时，乙离A地还有10千米。问：A，B两地相距多少千米？
20．、、三项工程的工作量之比为，由甲、乙、丙三队分别承担。三个工程队同时开工，若干天后，甲完成的工作量是乙未完成的工作量的二分之一，乙完成的工作量是丙未完成的工作量的三分之一，丙完成的工作量等于甲未完成的工作量，则甲、乙、丙队的工作效率的比是多少？
21．兰州来的马师傅擅长做拉面，拉出的面条很细很细，他每次做拉面的步骤是这样的：将一个面团先搓成圆柱形面棍，长米．然后对折，拉长到米；再对折，拉长到米……照此继续进行下去，最后拉出的面条粗细(直径)仅有原先面棍的．问：最后马师傅拉出的这些细面条的总长有多少米？(假设马师傅拉面的过程中．面条始终保持为粗细均匀的圆柱形，而且没有任何浪费)
22．（2009年第七届“希望杯”二试六年级）某高速公路收费站对于过往车辆收费标准是：大型车元，中型车元，小型车元．一天，通过该收费站的大型车和中型车数量之比是，中型车与小型车之比是，小型车的通行费总数比大型车多元．（1）这天通过收费站的大型车、中型车、小型车各有多少辆？（2）这天的收费总数是多少元？