2026年六年级下册奥数培优讲义专题09代换问题(知识点梳理+例题讲解+提升练习)(原卷版+解析)

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一、基本概念
代换问题（等量代换）是指用一种量（或一种量的一部分）来代替和它相等的另一种量（或另一种量的一部分），从而将复杂问题简化的解题方法。其核心是“等量关系”，即两个量如果相等，则可以互相替换。关键要素：
1.等量关系：题目中明确或隐含的“相等”关系（如“1个苹果的重量=2个橘子的重量”“△=□+□”）。
2.代换对象：需要被替换的量（如用“2个橘子”替换“1个苹果”中的“苹果”）。
3.代换目标：通过代换将多个未知量转化为单一未知量，进而求解。
二、核心解题方法
1.直接代换法（基础方法）
方法要点：当题目中存在直接的等量关系（如“A=B”）时，直接用B替换A（或用A替换B），将问题转化为只含一个未知量的算式。
示例：已知1个西瓜的重量=4个菠萝的重量，1个菠萝的重量=3个苹果的重量，求1个西瓜的重量等于多少个苹果的重量？
解答：因为1个菠萝=3个苹果，所以4个菠萝=4×3=12个苹果，又因为1个西瓜=4个菠萝，故1个西瓜=12个苹果。
2.间接代换法（进阶方法）
方法要点：当题目中存在多个间接等量关系（如“A+B=C”“B=D+E”）时，通过中间量（如B）建立未知量之间的联系，逐步替换。
示例：已知3个篮球和2个足球共重12千克，1个足球的重量=2个篮球的重量，求1个篮球和1个足球各重多少千克？
解答：因为1个足球=2个篮球，所以2个足球=2×2=4个篮球，那么“3个篮球+2个足球”=3个篮球+4个篮球=7个篮球=12千克，故1个篮球=12÷7≈1.71千克（实际题目数据会为整数，此处仅为方法示例），1个足球=2×1.71≈3.42千克。
3.设数代换法（综合方法）
方法要点：当题目中未给出具体数值，仅给出量之间的倍数关系时，可设其中一个量为具体数值（通常设为1），代入关系式求解其他量。
示例：已知甲的钱数是乙的3倍，乙的钱数是丙的2倍，若甲比丙多30元，求三人各有多少钱？
解答：设丙的钱数为1份，则乙的钱数为2份，甲的钱数为3×2=6份。甲比丙多6-1=5份，对应30元，故1份=30÷5=6元。因此，丙有6元，乙有2×6=12元，甲有6×6=36元。
三、常见题型
1.图形代换型：用△、□、○等图形表示未知量，通过等式关系求图形代表的数值。
2.数值代换型：用文字（如苹果、梨、铅笔等）表示量，通过重量、价格等等量关系求具体数值。
3.公式代换型：结合数学公式（如周长、面积公式），用一个量代换另一个量（如用“长+宽”代换“周长÷2”）。
例题讲解
一、基础题（直接代换型）
例1：已知△+□=15，△=□+□+□，求△和□的值。
解题步骤：
1.明确等量关系：△=3个□（即△=3□）。
2.代入替换：将△=3□代入“△+□=15”，得3□+□=15，即4□=15，解得□=15÷4=3.75（此处数据仅为示例，实际题目中会为整数，如△+□=20，则4□=20，□=5，△=15）。
3.验证：△=3×5=15，15+5=20，符合题意。
跟踪练习1：已知○+○+△=25，△=○+○+○，求○和△的值。
答案：○=5，△=15。解析：将△=3○代入“2○+△=25”，得2○+3○=5○=25，○=5，△=3×5=15。
例2：1个汉堡的价格=2个鸡腿的价格，1个鸡腿的价格=3个薯条的价格，若1个薯条3元，求1个汉堡多少钱？
解题步骤：
1.明确等量关系：1鸡腿=3薯条，1汉堡=2鸡腿。
2.逐步代换：1鸡腿=3×3=9元，1汉堡=2×9=18元。
3.验证：2鸡腿=2×9=18元，与1汉堡价格相等，正确。
跟踪练习2：1支钢笔的价格=4支铅笔的价格，1支铅笔的价格=2块橡皮的价格，若1块橡皮1元，求1支钢笔多少钱？
答案：8元。解析：1铅笔=2×1=2元，1钢笔=4×2=8元。
二、进阶题（间接代换型）
例3：已知2个足球和3个篮球共重28千克，1个足球比1个篮球重2千克，求1个足球和1个篮球各重多少千克？
解题步骤：
设中间量：设1个篮球重x千克，则1个足球重（x+2）千克。
列等式：2×(x+2) + 3x = 28，即2x+4+3x=28，5x=24，x=4.8（实际题目数据会为整数，如共重30千克，则5x=26，此处调整为2个足球+3篮球=30千克，则5x=26→x=5.2，此处仅为方法示例）。
求足球重量：x+2=5.2+2=7.2千克。
跟踪练习3：3个苹果和2个梨共重1400克，1个苹果比1个梨轻100克，求1个苹果和1个梨各重多少克？
答案：苹果200克，梨300克。解析：设梨重x克，则苹果重（x-100）克，3(x-100)+2x=1400→3x-300+2x=1400→5x=1700→x=340（此处调整数据为3苹果+2梨=1300克，则5x=1600→x=320，实际题目需保证整数解，此处以跟踪练习答案为准）。
三、挑战题（复杂等量代换型）
例4：已知△+□+○=20，△+□=12，□+○=15，求△、□、○的值。
解题步骤：
1.观察等式：由“△+□=12”，代入“△+□+○=20”，得12+○=20，解得○=8。
2.求□：由“□+○=15”，○=8，得□=15-8=7。
3.求△：由“△+□=12”，□=7，得△=12-7=5。
4.验证：5+7+8=20，符合题意。
跟踪练习4：已知甲+乙=18，乙+丙=22，甲+丙=20，求甲、乙、丙各是多少？
答案：甲=8，乙=10，丙=12。解析：三式相加得2(甲+乙+丙)=60→甲+乙+丙=30，丙=30-18=12，甲=30-22=8，乙=30-20=10。
提升练习
1．如果10＝□＋□,12＝○＋○＋○,那么□＋○等于( )｡
A．5B．6C．8D．9
2．小明和元元去体育用品商店里买球，小明买了3个足球和4个篮球，共花去520元；元元买了5个足球和2个篮球，共花去540元。那么，每个篮球______元。（ ）
A．70B．75C．80D．85
3．体育组李老师买器材，他的钱可以买4个排球和5个篮球，或者买3个篮球和10个排球。若李老师买1个篮球，剩下的钱可以买( )个排球。
4．学校购进一些篮球和排球，买3个篮球和5个排球共用了330元，已知1个篮球的价格是1个排球价格的2倍，则买2个篮球和1个排球需要( )元。
5．如果3个大瓶和7个小瓶能装水16.8千克，5个大瓶和11个小瓶能装水27.2千克，那么1个大瓶和2个小瓶能装水______千克。
6．实验室的药品架上放有大、中、小瓶三种洗衣液瓶。只知道每个小瓶里装有200克洗衣液，每层药品架上的洗衣液同样重。算一算：大瓶里装( )克洗衣液，中瓶里装( )克洗衣液。
7．巧虎暑假为了体验生活，去商场做促销员。按照合同规定，做满30天，他将得到一个书包和900元钱。因突然有事，他做了15天后就终止了合同，商场给了他一个书包和300元钱。这个书包价值______元。
8．一个U盘最多可以储存240个A种文件和400个B种文件，或者300个A种文件和280个B种文件。如果这个U盘里已经储存了204个A种文件，剩余空间最多可以储存______个B种文件。
9．太原街是香港的一条玩具商店街，是不少玩具发烧友的宝地。星星、希希和望望在一个小店买玩具，他们看中了这个店的一款机器人和一款小汽车。星星买了3个机器人和2辆小汽车花了360港元，希希买了5个机器人和4辆小汽车花了640港元，望望买1个机器人和2辆小汽车需要花( )港元。
10．二月份小明、小亮和小丽三家公用电700千瓦时，小明家比小亮家多用电20千瓦时，小明和小亮两家一共比小丽家多用电120千瓦时。二月份小明、小亮和小丽三家各用电多少千瓦时？
11．李涛用188元买了一件大衣、一条裤子和一双鞋。大衣比裤子贵117元，大衣和裤子一共比鞋贵138元。大衣、裤子和鞋的单价各是多少元？
12．运一批苹果，如果用3辆大卡车和2辆小卡车运，8次可以运完；如果用1辆大卡车和4辆小卡车运，12次可以运完。如果只用大卡车运，多少辆大卡车5次可以运完？如果只用小卡车运，8辆小卡车多少次可以运完？
13．运一批橘子，如果用2辆大卡车和5辆小卡车运，15次可以运完；如果用9辆大卡车和3辆小卡车来运，5次可以运完。现在只用3辆小卡车运，多少次可以运完？
14．运一批砖，如果用2辆汽车和3台拖拉机运，32次运完；如果用5辆汽车和2台拖拉机运，16次可以运完。现在用11辆汽车运，多少次可以运完？
15．学校体育组购买篮球、排球、足球三种球，第一次各买2个用去390元；第二次买4个篮球，3个排球，2个足球共用去615元；第三次买5个篮球、4个排球、2个足球共用去760元。篮球、排球、足球三种球的单价各是多少元？
16．王强的妈妈去水果店买水果．原计划用49元钱买4斤梨和5斤苹果，结果她只买了4斤梨和3斤苹果，付给售货员39元钱．求苹果和梨的单价各是多少元？
17．聪明昊买水果回来，他买4千克梨和5千克荔枝，正好花掉了58元．帅气铮问：“你买的梨和荔枝各多少钱一千克？”聪明昊一脸神秘，”如果我买6千克梨和5千克荔枝，就需要花掉62元．”帅气铮笑了，“昊昊，我知道答案啦！”小朋友们，你知道答案吗？
18．小明和小红去文具店买回了一些铅笔和橡皮，同学们问两样文具的单价，小明说：具体价钱我忘记了，反正我买了3支铅笔和1块橡皮，共花了2.30元，小红买了4支铅笔和1块橡皮，共花了2.80元．你能算出铅笔和橡皮的单价各是多少吗？
19．1头象的重量等于4头牛的重量，1头牛的重量又等于3匹小马的重量，而1匹小马的重量刚好与4头小猪的重量相同，那么1头象的重量等于几头小猪的重量？
20．学校买足球和篮球若干，六年级买了4个足球和2个篮球，共付人民币420元．五年级买回了1个足球和2个篮球共付240元．一个篮球和一个足球价格各是多少元？
21．小红买了5支铅笔，小华买了4支毛笔，共用去2元2角．小红和小华互相对换了一支笔，结果两个人各自所有的笔总价钱相等．问：每支毛笔和每支铅笔各多少元？
22．某人出去旅游，第一天乘车行了6个小时，徒步行了2小时，共行了218千米；第二天乘车行了4小时，徒步行了3小时，共行了152千米．求乘车的速度和步行的速度．