2026年六年级下册奥数培优讲义专题17等差数列求和及应用(知识点梳理+例题讲解+提升练习)(原卷版+解析)

这是一份2026年六年级下册奥数培优讲义专题17等差数列求和及应用(知识点梳理+例题讲解+提升练习)(原卷版+解析)，文件包含生物试题docx、生物试题答案docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共9页， 欢迎下载使用。

一、基本概念
等差数列是小升初奥数核心考点，指从第二项开始，每一项与前一项的差值都固定不变的数列，这个固定差值叫公差，数列的第一个数叫首项，最后一个数叫末项，数列中数的总个数叫项数，所有数的总和叫数列和。
关键要素：
1.首项：数列的第一个数，用字母a1表示
2.末项：数列的最后一个数，用字母a1表示
3.公差：相邻两项的固定差值，用字母d表示
4.项数：数列中数的总个数，用字母n表示
5.数列和：所有项相加的结果，用字母Sn表示
示例：数列1,3,5,7,9
首项a1=1，末项an=9，公差d=2，项数n=5，和Sn=25
二、核心公式（必背）
1.求和公式
Sn=(首项+末项)×项数÷2
文字理解：等差数列的和等于首尾两项的平均数乘项数
2.求项数公式
项数=(末项−首项)÷公差+1
文字理解：用总差值除以公差，得到间隔数，间隔数加1就是项数
3.求末项公式
末项=首项+(项数−1)×公差
文字理解：首项加上（项数-1）个公差，就是最后一项
4.求首项公式
首项=末项−(项数−1)×公差
5.求公差公式
公差=(末项−首项)÷(项数−1)
三、核心解题方法
对标定义新运算的解题逻辑，等差数列也有三类核心方法：
1.直接套用法（基础）
已知首项、末项、项数，直接代入求和公式计算，无需额外推导。
2.先求关键量法（进阶）
题目未直接给出项数/末项，先通过公式求出缺失的关键量，再代入求和。
3.逆向推理法（综合）
已知数列和、首项、公差等条件，反求项数、末项、首项等未知量，需列方程求解。
四、常见题型
1.直接求和型：给出完整数列，直接计算总和
2.关键量求解型：已知部分量，求项数、末项、公差
3.逆向反求型：已知和，反求项数、首项等未知量
4.生活应用型：结合植树、楼层、阶梯、日期等实际场景出题
例题讲解
一、基础题（直接套用法）
例1：求等差数列2,4,6,8,10,12的和。
解题步骤：
确定关键量：首项=2，末项=12，项数=6
代入求和公式：2+12×6÷2=14×6÷2=42
跟踪练习1：计算等差数列5,10,15,20,25的和。
答案：5+25×5÷2=75
解析：直接确定首项、末项、项数，代入公式快速计算。
例2：已知等差数列首项3，末项15，项数7，求数列和。
解题步骤：
直接套用求和公式：3+15×7÷2=18×7÷2=63
跟踪练习2：首项1，末项19，项数10，求和。
答案：1+19×10÷2=100
二、进阶题（先求关键量法）
例3：求等差数列3,7,11,15,…,43的和。
解题步骤：
求公差：7−3=4，公差d=4
求项数：43−3÷4+1=40÷4+1=11
求和：3+43×11÷2=46×11÷2=253
跟踪练习3：求数列5,10,15,…,100的和。
答案：1050
解析：公差=5，项数=100−5÷5+1=20，和=5+100×20÷2=1050
例4：等差数列首项2，公差3，第15项是多少？
解题步骤：
代入末项公式：2+15−1×3=2+42=44
跟踪练习4：首项6，公差4，求第20项。
答案：6+20−1×4=82
三、挑战题（逆向推理+生活应用）
例5：一个等差数列首项是4，公差是3，所有数的和是247，求这个数列的项数。
解题步骤：
设项数为n，末项=4+n−1×3=3n+1
代入求和公式：4+3n+1×n÷2=247
化简：3n+5n=494，试数得n=13
跟踪练习5：等差数列末项30，公差2，和240，求首项。
答案：10
解析：设项数为n，30=首项+n−1×2；首项+30×n÷2=240，联立解得首项=10。
例6（生活应用）：小明爬楼梯，从1楼到5楼用了20秒，每层楼梯台阶数成等差数列，1楼到2楼有10级，每层比上一层多2级，求5楼一共有多少级台阶？
解题步骤：
确定数列：10,12,14,16（1-2楼到4-5楼，共4项）
首项=10，末项=16，项数=4，公差=2
求和：10+16×4÷2=52（级）
提升练习
1．一堆圆木的每一层都比下一层少2根，最上面一层（第1层）有10根，第16层有（ ）。
A．40根B．42根C．44根D．46根
2．50个盒子都装有棋子，且每盒装的棋子个数互不相同，那么这50个盒子装的棋子总数最少是（ ）。
A．1000个B．1225个C．1275个D．2550个
3．对任何自然数n，和数1＋2＋…＋n的个位数字不可能是（ ）。
A．2；4；7；9B．4；6；7；9C．6；2；7；9D．2；6；9E．6；9
4．光明农场饲养员张叔叔专门负责养鸽子，为了方便查看，他给每只鸽子都编了号：1、2、3、4、5、6，…一天，他计算鸽子编号总和时发现与以往不同，是2023.若飞走的鸽子数的最大值为m，而飞走的鸽子编号的最大值为n，则 （m，n）＝（ ）。
A．（10，57）B．（11，57）C．（10，58）D．（15，88）E．以上都不对
5．如图，将连续的奇数1，3，5，7，9，11，…按5个一行排列成如下的数表，当十字框的中心处于从上往下数第185行第4个数时，十字框中的5个数的和是（ ）。
A．7635B．9235C．10135D．10235
6．小明在计算器上从1开始，按自然数的顺序做连加练习，当他加到某一数时，结果是1991，后来发现中间漏加了一个数，那么漏加的那个数是（ ）。
A．24B．25C．28D．29
7．计算：1＋2－3＋4＋5－6＋7＋8－9＋…＋37＋38－39＝( )。
8．有这样一列数，第一个数为1，后一个数比前一个数大3，这列数的最后一个数为106，这列数共有_______个数。
9．已知一个等差数列的前15项之和为450，前20项之和为700，请问：这个数列的首项是________。
10．在YMO课堂上，老师先在黑板上写了一个等差数列，然后又擦去了其中的大部分数，只留下第三个数31和第十个数73，请问老师开始写下的第一个数是________。
11．张超练习弹钢琴，他第一天弹了35分钟，之后每一天都比前一天多弹10分钟，他第四天弹钢琴( )分钟。
12．一条直路上依次放有31块石头，相邻两块石头的距离都是1.8米，一个机器人从放第一块石头的地方开始，将全部石头都搬到中间的位置，且每次只能搬一块石头。机器人搬完这些石头一共需走_________米。
13．小军将2007年共365张的某报纸合订本全部拆开，然后将拆下来的报纸重新分成若干薄本，使每一本的报纸张数都不相同。那么小军最多可以将这些报纸分成__________本。
14．桌上放着若干堆棋子，每堆棋子数量互不相同，且数量都不超过100颗。其中任意三堆棋子可以平均分成3份，任意四堆棋子也可以平均分成四份。已知其中一堆有9颗棋子，则桌上放的棋子总数最多是_______颗。
15．用合适的方法计算下面各题。
16．计算：1＋11＋21＋…＋191＋201＋211。
17．等差数列2、5、8、11…共有31项，这31项的和是多少？
18．有9个朋友聚会，见面时如果每个人和其余的每个人只能握一次手，那么9个人共握多少次手？
19．有数组（1，1，1），（2，4，8），（3，9，27），…，求第100组的三个数之和．
20．安康市体育场南看台有30排座位，每后面一排都比前一排多2个座位，最后一排有132个座位，体育场南看台共有多少个座位？
21．把64颗糖果分装在4个袋里，从第二袋开始，每袋都比前一袋多2颗糖果，该怎么分？
22．有一堆粗细均匀的圆木，堆成如图的形状，已知最上面一层有6根，共堆了25层．请问：这堆圆木共有多少根？
23．一个5×5的方格表中，每个小方格内填有一个数，并且表中的每一行、每一列的数都构成等差数列．已知任取n个方格，只要知道了这些方格中的数，就可以把方格表补填完整，那么，n的最小值是多少？
24．小悦读一本课外书，第一天读了15页，以后每天都比前一天多读3页，最后一天读了36页，刚好把书读完．请问：小悦一共读了多少天？这本课外书共有多少页？