2024-2025学年浙江省绍兴市名校七年级下学期期末测试数学试卷（解析版）

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一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分）
1.下列运算正确的是（ ）
A.B.
C.D.
【答案】D
【解析】，但选项结果为，故A错误．
，但选项结果为，故B错误．
，但选项结果为，故C错误．
，与选项结果一致，故D正确．
故选：D．
2.清代诗人袁枚的一首诗《苔》中写到：“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”若苔花的花粉直径约为米，则数据用科学记数法表示为（ ）
A.B.
C.D.
【答案】D
【解析】数据用科学记数法表示为，
故选：D．
3.2025年1月20日，中国DeepSeek-R1模型发布，模型以低成本、开源特性打破美国AI垄断，性能比肩ChatGPT，推动全球AI技术平民化，如图为中国DeepseekLg，在下列选项中，能由此Lg通过平移得到的是（ ）
A.B.
C.D.
【答案】D
【解析】平移得到，
故选：D．
4.分式可变形为（ ）
A.B.
C.D.
【答案】D
【解析】∵，
∴选项A、选项B、选项C都不符合题意，只有选项D符合题意，
故选：D．
5.甲、乙两家公司去年上半年的盈利情况统计图如图所示，下列结论不正确的是（ ）
A.1到3月份，乙公司的利润在上涨
B.上半年甲公司的利润一直在下降
C.3月份时两家公司获得的利润一样
D.7月份乙公司的利润一定比甲公司多
【答案】D
【解析】A、1到3月份，乙公司的利润在上涨，故本选项正确，不符合题意；
B、上半年甲公司的利润一直在下降，故本选项正确，不符合题意；
C、3月份时两家公司获得的利润一样，故本选项正确，不符合题意；
D、7月份乙公司的利润不一定比甲公司多，故本选项错误，符合题意；
故选：D.
6.如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜后，光线的传播方向发生改变，其与一束经过光心的光线（此光线的方向不发生改变）相交于点，与主光轴交于点．若，，则的度数为（ ）
A.B.
C.D.
【答案】D
【解析】，
，
，
，
，
．
故选：D．
7.《九章算术》之“均输篇”中记载了中国古代的“运粟之法”：今有一批公粮，需运往距出发地的储粮站，若运输这批公粮比原计划每日多行，则提前日到达储粮站．设运输这批公粮原计划每日行，则根据题意可列出的方程是（ ）
A.B.
C.D.
【答案】A
【解析】设运输这批公粮原计划每日行，根据题意得，
，
故选：A．
8.下表出示两个关于的二元一次方程的部分解，则的值为（ ）
A.B.
C.D.
【答案】C
【解析】对于方程，把和代入
当时，，即；
当时，，即．
∵ 且
∴
解得，把代入，得．
对于方程，把和代入
当时，，即；
当时，，即．
∵ 且
∴
解得，把代入，得．
把，，，代入
故选：C．
9.已知关于x的分式方程﹣1＝无解，则m的值是（ ）
A.﹣2或﹣3B.0或3
C.﹣3或3D.﹣3或0
【答案】A
【解析】两边都乘以x（x﹣3），得：x（x+m）﹣x（x﹣3）＝x﹣3，
整理，得：（m+2）x＝﹣3，
解得：，
①当m+2＝0，即m＝﹣2时整数方程无解，即分式方程无解，
②∵关于x的分式方程﹣1＝无解，
∴或，
即m+2＝0或3（m+2）＝﹣3，
解得m＝﹣2或﹣3．
∴m的值是﹣2或﹣3．
故选：A．
10.设，，，，其中，，给出以下结论：
当时，；
不论为何值，．
则下列判断正确的是（ ）
A.，都对B.，都错
C.对，错D.错，对
【答案】C
【解析】由题意知，，
所以，即，
，故正确．
当时，，，则，此时无意义，故不正确．
故选：C．
二、填空题（本大题有8个小题，每空2分，共18分）
11.要使分式有意义，则的取值范围是_________．
【答案】
【解析】∵分式有意义，
∴，
∴，
故答案为：．
12.若关于x的多项式展开后不含有x一次项，则实数k的值为________．
【答案】2
【解析】
，
∵关于x的多项式展开后不含有x一次项，
∴，
∴，
故答案为：2．
13.在英文句子“”中，字母“”出现的频率为______．
【答案】
【解析】英文句子“”中，共有个字母，其中字母“”出现的次数为次，
∴字母“”出现的频率为，
故答案为：．
14.若5x-6y=0，且xy≠0，则的值等于______.
【答案】
【解析】∵5x-6y=0，
∴5x=6y，
∴．
故答案为：．
15.定义一种新运算：，若，则______．
【答案】
【解析】由题意得，，
方程两边乘以，得，
解得，
检验：当时，，
∴是原方程的解，
故答案为：．
16.学习了平行线后，小敏想出了过已知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，她是通过折一张半透明的纸得到的，如图所示，由操作过程可知小敏画平行线的依据可以是______．（把所有正确结论的序号都填在横线上）
①如果两条直线和第三条直线平行，那么这两条直线平行；②同位角相等，两直线平行；③两直线平行，内错角相等；④同旁内角互补，两直线平行．
【答案】②④
【解析】由图可知，虚线与其他折痕垂直，根据折后角的关系可得同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，所以选②④．
故答案为：②④．
17.已知方程组的解是，则方程组的解是_________．
【答案】
【解析】∵，
∴，
∵方程组的解是，
∴，
解得：．
故答案为：.
18.如图1是一个消防云梯，其示意图如图2所示，此消防云梯由救援台AB，延展臂BC（B在C的左侧），伸展主臂CD，支撑臂EF构成，在操作过程中，救援台AB，车身GH及地面MN三者始终保持平行，当∠EFH＝55°，BC∥EF时，∠ABC＝______度；如图3为了参与另外一项高空救援工作，需要进行调整，使得延展臂BC与支撑臂EF所在直线互相垂直，且∠EFH＝78°，则这时∠ABC＝______度．
【答案】125 168
【解析】在图2中，延长CB，HG，相交于点K，
BC∥EF,∠EFH=55°,
∠BKH=∠EFH=55°,
AB//GH,
∠ABK=∠BKH=55°,
∠ABC=180°–∠ABK=125°;
在图3中，延长BC，FE，相交于点P，则BP⊥EP，延长AB交FE的延长线于点Q，如图所示：
AB//FH,∠EFH＝78°,
∠Q=∠EFH=78°,
延展臂BC与支撑臂EF所在直线互相垂直，
∠BPQ=90°,
∠ABC=∠BPQ＋∠Q
=90°＋78°
=168°,
故答案为：125 168.
三、解答题（本大题有7个小题，共52分）
19.（1）计算：；
（2）因式分解：．
解：（1）
=2+1-1
=2
（2）
=2（-9）
=2（x+3）（x-3）
20.解方程（组）：
（1）；
（2）
解：（1），
②①，得，
解得：，
把代入②，得，
解得：，
所以方程组的解是；
（2），
方程两边都乘，得，
解得：，
检验：当时，，
所以分式方程的解是．
21.共享单车是一种新型环保的交通工具，为市民的出行带来了极大的方便．某市中学生对市民共享单车的使用情况进行了问卷调查，并将这次调查情况整理、绘制成如图两幅统计图（部分信息未给出）．根据图中的信息，解答下列问题：
（1）这次活动中接受问卷调查的市民共有______名；
（2）补全条形统计图，并计算扇形统计图中D类的扇形圆心角为______度；
（3）根据统计结果，若该市市区有80万市民，请估算利用单车“外出游玩“的人数．
解：（1）这次活动中接受问卷调查的市民共有20÷20%＝100人，
故答案为：100；
（2）C组的人数为100×60%＝60，A组人数为100﹣20﹣60﹣15＝5，
补全图形如下：
扇形统计图中的D类的扇形圆心角为360°×＝54°，
故答案为：54；
（3）80×＝4，
答：估算利用单车“外出游玩“的人数4万人．
22.如图，已知点在直线上，点在线段上，与交于点，，．
（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
解：（1）∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，
∵，，
∴，
∴．
23.阅读理解：
在教材中，我们有学习到又因为任何实数的平方都是非负数，所以，即．例如，比较整式和的大小关系，因为，所以．请类比以上的解题过程，解决下列问题：
【初步尝试】比较大小：_________；_________．
【知识应用】比较整式和的大小关系，并请说明理由．
【拓展提升】比较整式和的大小关系，并请说明理由．
解：初步尝试：
，
∴；
，
∴≤；
知识应用：
；
∴≥；
拓展提升：
∵，，
∴
∴．
24.根据如表素材，探索完成任务．
解：任务1：设A款奶茶的销售单价是元，款奶茶的销售单价是元，
由题意得：，
解得：，
答：A款奶茶的销售单价是10元，款奶茶的销售单价是12元；
任务2：设购买A种款式的奶茶杯，购买种款式的奶茶杯，
由题意得：，
整理得：，
、均为正整数，
或或，
有3种购买方案；
任务3：设小华购买的奶茶中，A款不加料的奶茶买了杯，A款加料的奶茶和款不加料的奶茶买了杯，则款加料的奶茶买了杯，即杯，
由题意得：，
整理得：，
、、均为非负整数，
或
或，
答：款加料的奶茶买了3杯或20杯．
25.光线反射是一种常见的物理现象，在生活中有广泛地应用．例如提词器可以帮助演讲者在看演讲词的同时也能面对摄像机，自行车尾部的反光镜等就是应用了光的反射原理．
（1）提词器的原理如图①，AB表示平面镜，CP表示入射光线，PD表示反射光线，∠CPD＝90°，求∠APC的度数；
（2）自行车尾部的反光镜在车灯照射下，能把光线按原来的方向返回（如图②），a表示入射光线，b表示反射光线，a∥b．平面镜AB与BC的夹角∠ABC＝，求．
（3）如图③，若＝108°，设平面镜CD与BC的夹角∠BCD＝（90°＜＜180°），入射光线a与平面镜AB的夹角为x（0°＜x＜90°），已知入射光线a从平面镜AB开始反射，经过2或3次反射，当反射光线b与入射光线a平行时，请直接写出的度数．（可用含x的代数式表示）．
解：（1）∵平面镜成像原理入射角等于反射角，
∴∠APC=∠BPD，
∵∠CPD=90°，
∴∠APC+∠BPD=90°，
∴∠APC=45°；
（2）如图②：过点P作PG⊥AB，QG⊥BC，相交于点G，
∵平面镜成像原理入射角等于反射角，
∴∠EPG=∠QPG，∠PQG=∠FQG，
∵a∥b，
∴∠EPQ+∠PQF=180°，
∴2（∠GPQ+∠PQG）=180°，
∴∠GPQ+∠PQG=90°，
∵∠GPQ+∠PQG+∠PGQ=180°，
∴∠PGQ=90°，
∵PG⊥AB，QG⊥BC，
∴∠PBQ+∠BQG+∠QGP+∠GPB=360°，
∴∠PBQ=360°-90°-90°-90°=90°，
即α=90°．
（3）若经过两次反射，如图③所示，延长AB、DC交于点E，
由（2）知，∠E=90°，
∵α=108°，
∴∠BCE=α-∠E=108°-90°=18°，
∴β=180°-∠BCE=180°-18°=162°；
若经过三次反射标记各反射点，如图③-2所示，作FM∥a∥b，
∵∠BHF=∠AHP=x，
∴∠BFH=∠CFG=180°-α-x=180°-108°-x=72°-x，
∴∠PHF=180°-2x，∠HFG=180°-2∠BFH=180°-2（72°-x）=36°+2x，
∵a∥b，
∴∠PHF+∠HFG+∠FGQ=360°，
∴∠FGQ=360°-（36°+2x）-（180°-2x）=144°，
则∠CGF=（180°-∠FGQ）=18°，
由∠CGF+∠CFG+β=180°，
得β=180°-∠CFG-∠CGF=180°-（72°-x）-18°=90°+x，
综上，β角的度数为162°或90°+x．的解
的解
0
……
0
……
1
3
5
……
4
3
2
……
背景
深圳某学校在组织开展知识竞赛活动，去奶茶店购买A、B两种款式的奶茶作为奖品．
素材1
若买10杯A款奶茶，5杯B款奶茶，共需160元：若买15杯A型奶茶，10杯B型奶茶，共需270元．
A款 B款
素材2
为了满足市场的需求，奶茶店推出每杯2元的加料服务，顾客在选完款式后可以自主选择加料一份或者不加料．
问题解决
任务1
问A款奶茶和B款奶茶的销售单价各是多少元？
任务2
在不加料的情况下，购买A、B两种款式的奶茶（两种都要），刚好花220元，请问有几种购买方案？
任务3
根据素材2，小华恰好用了380元购买A、B两款奶茶，其中A款不加料的杯数是总杯数的．则其中B型加料的奶茶买了多少杯？