2024-2025学年浙江省杭州市上城区名校七年级下学期第一次联考数学试卷（解析版）

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一．选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分）
1.下列方程中是二元一次方程的是（ ）
A.B.
C.D.
【答案】B
【解析】A．含有3个未知数，不是二元一次方程，不符合题意；
B．是二元一次方程，符合题意；
C．含有一个未知数，不是二元一次方程，不符合题意；
D．不是整式方程，不是二元一次方程，不符合题意；
故选：B．
2.如图，与的关系是（ ）
A.互为对顶角B.互为同位角
C.互为内错角D.互为同旁内角
【答案】C
【解析】由图可知，与的关系是互为内错角，
故选：C．
3.如图，下列条件中，不能判断直线的是（ ）
A.B.
C.D.
【答案】A
【解析】A．，不能判断直线，故此选项符合题意；
B．根据同位角相等，两直线平行，可判断直线，故此选项不合题意；
C．根据同旁内角互补，两直线平行，可判断直线，故此选项不合题意；
D．根据内错角相等，两直线平行，可判断直线，故此选项不合题意．
故选：A．
4.如图，直线相交于点O，于O，，的度数是（ ）
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】∵，
∴，
∵，
∴，
故选：D．
5.若，是关于和的二元一次方程的解，则的值等于
A.3B.6C.D.
【答案】B
【解析】将代入方程得：，
．
故选：B．
6.如图，，平分，且，则的度数为（ ）
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】∵AB∥CD，
∴∠DCB+∠B=180°，
又∵∠B=110°，
∴∠DCB=70°，
∵CA平分∠DCB，
∴∠ACD=∠ACB=35°，
∴∠A=∠ACD=35°．
故选：A．
7.光从一种介质射向另一种介质时会发生折射，如图，用直线m，n表示一块玻璃的两个面，且．现有一束光线从空气射向玻璃，是折射光线，D为射线延长线上一点．若，，则的度数为（ ）
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
故选：A．
8.利用两块大小一样的长方体木块测量一张桌子的高度，首先按图①方式放置，再交换两木块的位置，按图②方式放置，测量的数据如图，则桌子的高度是（ ）
A.73cmB.74cmC.75cmD.76cm
【答案】D
【解析】设桌子的高度为hcm，第一个长方体的长为xcm，第二个长方体的宽为ycm，
由第一个图形可知桌子的高度为：h-y+x=80，
由第二个图形可知桌子的高度为：h-x+y=72，
两个方程相加得：（h-y+x）+（h-x+y）=152，
解得：h=76cm．
故选：D．
9.已知关于，的方程组，若方程组的解中恰为整数，也为整数，则的值为（ ）
A.B.1
C.或3D.或
【答案】D
【解析】，
得，
解得，
∵为整数，为整数，
∴，
∴的值为或．
故选：D．
10.已知关于x，y的二元一次方程组，下列结论中：①当这个方程组的解x，y的值互为相反数时，；②当时，方程组的解也是方程的解；③无论a取什么实数，的值始终不变；④若用x表示y，则；正确的是（ ）
A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④
【答案】A
【解析】，
得：，
当这个方程组的解，的值互为相反数时，则，
∴，解得，①结论正确；
当时，方程组为，方程为，
解得：
将代入中，得：，
方程组的解是方程的解，②结论正确；
当时，，
，
解得：，
无论取什么实数，的值始终不变，③结论正确；
，④结论不正确；
综上所述，正确的结论有①②③，
故选：A．
二．填空题（本大题有6个小题，每小题3分，共18分）
11.已知二元一次方程，用含的代数式表示，则______．
【答案】
【解析】因为，
所以．
故答案为：．
12.已知是方程mx+3y=1的一个解，则m的值是_______．
【答案】5
【解析】把代入得，，
.
故答案为：5
13.如图，面积为8cm2的直角三角形ABC沿BC方向平移至三角形DEF的位置，平移距离是BC的2倍，则图中四边形ACED的面积为____ cm2.
【答案】24
【解析】∵平移的距离是边BC长的两倍，
∴BC=CE=EF，
∴四边形ACED的面积是三个△ABC的面积；
∴四边形ACED的面积=8×3=24 cm2.
故答案为：24.
14.如图，把一个长方形纸片沿折叠后，点D，C分别落在，的位置，若，则的度数为___________．
【答案】
【解析】∵，
∴，
由折叠的性质可得，
∴，
故答案为：．
15.如右图所示，已知直线、被所截，是的角平分线，若，，则的度数是________．
【答案】
【解析】∵是的角平分线
∴
∴
∴
∵，即
∴
∵
∴
∴．
故答案为：．
16.三个同学对问题“若方程组的解是，求方程组的解”提出各自的想法．甲说：“这个题目好像条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，这可以试试”；丙说：“能不能通过换元替代的方法来解决”，参照他们的讨论，你认为这个题目的解应该是_______．
【答案】
【解析】，
方程组中两个方程的两边都除以2，得，
∵方程组的解是，
∴，
∴，
故答案为：．
三．解答题（本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17.解方程组：
（1）；
（2）．
解：（1）
把①代入②中得：，
解得：，
将代入①中得：，
故原方程组得解为：．
（2）
将，得：
由得：，
解得：，
将代入①中得：，
解得：，
故原方程组得解为：．
18.如图，已知，，，试确定直线与的位置关系，并说明理由．
解：，理由如下：
∵，，
∴，
∵，
∴，
即，
∴．
19.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，三角形的顶点、点都在正方形网格的格点上．
（1）平移三角形，使点A与重合，画出平移后得到的三角形；
（2）连接、，四边形的面积是_______（平方单位）．
解：（1）三角形如下图所示：
（2）四边形的面积，
故答案为：5．
20.请根据李老师所给的内容，完成下列各小题：
（1）如果，求y的值；
（2）若，求x，y值．
解：（1）由题意知，，
解得，，
∴y的值为；
（2）由题意可得，，
得，，
解得，，
将代入①得，，
解得，，
∴，
∴．
21.如图，点B，C在线段的异侧，点E，F分别是线段上的点，已知．
（1）求证： ；
（2）若，，求的度数．
解：（1）∵，，，
∴，
∴．
（2）∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴①，
又∵②，
∴①②联立可得，
∴．
22.随着交通安全意识的增强，某城镇居民开始积极购买头盔以保证骑行安全．某小商店购进A种头盔3个和B种头盔4个共需345元，A种头盔4个和B种头盔3个共需390元．
（1）求A，B两种头盔的单价各是多少元；
（2）若该商店计划正好用450元购进A，B两种头盔两种头盔均购买，销售1个A种头盔可获利35元，销售1个B种头盔可获利15元，求该商店共有几种购买方案？假如这些头盔全部售出，最大利润是多少元？
解：（1）设A种头盔的单价是x元，B种头盔的单价是y元，
由题意得：，
解得：，
答：A种头盔的单价是75元，B种头盔的单价是30元．
（2）设购进A种头盔m个，B种头盔n个，
由题意得：，
整理得：，
、n均为正整数，
或，
该商店共有2种购买方案：
①购进A种头盔2个，B种头盔10个，利润为元；
②购进A种头盔4个，B种头盔5个，利润为元；
，
最大利润是220元．
23.阅读感悟：
有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：已知实数x、y满足①，②，求和的值．
本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x、y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①②可得，由①②可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．请根据上述思想解决下列问题：
（1）已知二元一次方程组，分别求和的值；
（2）对于实数x、y，定义新运算：，其中a、b、c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，求的值．
解：（1），
①②可得：，
①②可得：；
（2）∵，
∴，
①②可得：．
24.已知：，一块三角板中，，，将三角板如图所示放置，使顶点C落在边上，经过点D作直线交边于点M，且点M在点D的左侧．
（1）如图，若，则=_______°；
（2）若的平分线交边于点F．
①如图，当，且时，试说明：；
②如图，当保持不变时，试求出与α之间数量关系．
解：（1）如图，过点E作，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
则，
故答案为：45；
（2）①∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
在直角三角形中，，
∴，
∴，
∵，
∴；
②∵当保持不变时，总有，
在直角三角形中，，
∴，
∵
∴，且，
∵平分，
∴，
∴．
我们定义一个关于非零常数a，b的新运算，规定：．
例如：．