北京市房山区2025-2026学年下学期八年级期中数学试题（含解析）

这是一份北京市房山区2025-2026学年下学期八年级期中数学试题（含解析），共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题解答应写出文字说明等内容，欢迎下载使用。
本试卷共8页，满分100分，考试时长120分钟．考生务必将答案填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．
一、选择题（共16分，每题2分）
第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1. 点P（－3，5）所在的象限是（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】根据各象限内点的坐标特征解答．
【详解】点P（-3，5）所在的象限是第二象限．
故选B．
本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解题的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．
2. 下列图象中，表示是的函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据考查函数的定义判断即可．
【详解】解：选项A：作垂直于轴的直线，会出现与图像有2个交点，不满足“一个对应唯一”，故不是函数；
选项B：圆的图像中，垂直于轴的直线会出现与圆有2个交点，不满足定义，故不是函数；
选项C：作垂直于轴的直线，会出现与图像有2个交点，不满足定义，故不是函数；
选项D：任意作垂直于轴的直线，与图像都只有1个交点，满足“一个对应唯一”，故是的函数．
故选：D．
3. 如图，在正方形中，对角线交于点，若，则正方形的周长为（ ）
A. B. 4C. D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】设正方形边长为，利用勾股定理解出即可．
【详解】解：设正方形边长为，
，即，
解得（负值已舍去），
故正方形的周长为．
4. 已知函数的图象如图所示，则方程组的解是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据一次函数与二元一次方程组的关系，交点坐标即为方程组的解．
【详解】解：由图可知，函数的交点坐标为，
∴方程组的解是．
5. 下列多边形中，内角和等于的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据多边形内角和公式 列方程求出边数 ，再结合图形判断即可．
【详解】设该多边形的边数为 ，
多边形内角和为 ，
，
解得 ，
该多边形为六边形，
观察选项可知，A为三角形，B为四边形，C为五边形，D为六边形，
故选：D．
6. 如图，在矩形中，对角线与相交于点，若，则的长是（ ）
A. 6B. 3C. D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】先推导出，，证明出是等边三角形，得到，再根据勾股定理求解即可．
【详解】解：在矩形中，，，
，
∵
∴是等边三角形，
∴，
∴．
7. 四边形的对角线相交于点，下列条件中，一定能判定四边形为平行四边形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行四边形的判定定理，结合平行线的性质逐一分析各选项即可．
【详解】解：A选项：，仅能说明一组对边平行，该四边形可以是直角梯形，不能判定为平行四边形，故A错误．
B选项：，该四边形可以是等腰梯形，不一定是平行四边形，故B错误．
C选项：∵
∴ ，
又∵，
∴ ，
∴，四边形两组对边分别平行，
因此四边形是平行四边形，故C正确．
D选项：，，不满足对角线互相平分的条件，不能判定四边形是平行四边形，故D错误．
8. 房山区某中学举办班级比赛，在初二男子组米的项目中，参赛选手在米的环形跑道上进行比赛，如图记录了甲、乙两位选手跑步过程（甲跑完了全程），其中表示甲的跑步时间，表示甲、乙两位选手之间的距离，给出下面四个结论：
①甲到达终点时，乙还有米未跑；
②甲跑完全程用时；
③起跑后到甲到达终点时，甲、乙两位选手共相遇两次；
④出发后甲、乙两位选手第一次相遇比第二次相遇所用的时间长．
上述结论中，所有正确结论的个数是（ ）．
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意和函数图像可以判断每个结论是否正确．
【详解】解：由图可知，
甲到达终点时，甲、乙两位选手之间的距离为，所以乙还有米未跑，故①正确；
由可知甲跑完全程用时，故②正确；
起跑后到甲到达终点时，甲、乙两位选手在点A和点B共相遇两次，故③正确；
出发后甲、乙两位选手第一次相遇所用的时间长为，第二次相遇所用的时间长为，所以第一次相遇比第二次相遇所用的时间短，故④错误，
综上，共有3个正确结论．
二、填空题（共16分，每题2分）
9. 函数中，自变量x的取值范围是____．
【答案】
【解析】
【详解】解：由题意知：x-2≠0，解得x≠2；
故答案为x≠2．
10. 如图，是平行四边形的外角，若，则___________°．
【答案】##60度
【解析】
【分析】先根据平行四边形的性质，得到，再根据邻补角进行求解即可．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴
11. 写出一个过点的一次函数解析式__．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】设该一次函数的解析式为，取（或其他值都可以），将点代入求解即可得．
【详解】解：设该一次函数的解析式为，
取，
点在一次函数图象上，
．
一次函数的解析式为，
故答案为：（答案不唯一）．
题目主要考查一次函数解析式的确定，理解题意，熟练掌握待定系数法确定函数解析式是解题关键．
12. 已知一次函数图象与轴交点在轴上方，则的取值范围是___________．
【答案】且
【解析】
【分析】先根据一次函数的定义得到一次项系数不为0，再根据图象交点位置列出关于的不等式，求解即可得到的取值范围．
【详解】解： 是一次函数，
，
解得，
当时，，
即一次函数图象与轴交点的纵坐标为，
该函数图象与轴交点在轴上方，
，
综上所述：且．
13. 若点在一次函数图象上， 则______(填或)
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一次函数图象上的点的坐标特征，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
利用一次函数的性质进行求解即可．
【详解】解：由一次函数得，
，
∴随的增大而减小，
由得，，
∴，
故答案为：．
14. 如图，在菱形中，对角线，交于点，于点，，，则的长为 ______．
【答案】9.6
【解析】
【分析】此题考查了菱形的性质以及勾股定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．由菱形的对角线、交于点，，，可求得的长，菱形的面积，继而求得菱形的高．
【详解】解：菱形的对角线、交于点，，，
，，，
，
，
．
故答案为：9.6．
15. 如图，在平面直角坐标系中，若菱形的顶点的坐标分别为，点在轴上，则点的坐标为___________．
【答案】
【解析】
【分析】可求出，，利用菱形的性质得到，，则可得到，轴，据此可得答案．
【详解】解：∵，
∴，，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，轴，
∴．
16. 如图，在平面直角坐标系中，四边形关于轴对称，，，将四边形沿直线翻折后得到四边形，接着将四边形沿直线翻折后得到四边形，第三次将四边形沿直线翻折后得到四边形，第四次将四边形沿直线翻折后得到四边形
依此方式
（1）点的坐标是___________，
（2）翻折2026次得到四边形，则点的坐标是___________
【答案】 ①. ## ②.
【解析】
【分析】（1）根据轴对称的性质求出点和点的坐标，利用关于直线对称的点的坐标特征求出的坐标；
（2）通过计算前几次变换后点的坐标，发现坐标变化的循环规律，根据规律求出的坐标；
【详解】（1）四边形关于轴对称，，
，，
过点作轴，
在中，，，
，
，
点的坐标为，
在中，，，
，
，
点的坐标为；
点与点关于直线对称，
点的坐标为；
（2）由题意可知： 第一次翻折，点关于直线对称得到，
第二次翻折，点关于直线对称得到，
第三次翻折，点关于直线对称得到，
第四次翻折，点关于直线对称得到，
点的坐标每4次翻折为一个循环周期，
，
点的坐标与点的坐标相同，
点的坐标为．
三、解答题（共68分，第17-19，21，23题每题5分；第20，22，24-26，28题每题6分；第27题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17. 一次函数的图象经过和两点，且与轴交于点，与轴交于点．
（1）求这个一次函数的表达式；
（2）画出函数图象，并求出两点的坐标．
【答案】（1）
（2）A点坐标为，B点坐标为，图象见解析
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）根据（1）所求求出点A和点B的坐标，再画出对应的函数图象即可．
【小问1详解】
解：设这个一次函数的表达式为，
由题意得，，
∴，
∴这个一次函数的表达式为；
【小问2详解】
解：在中，当时，；当时，，
∴点A的坐标为，点B的坐标为；
函数图象如下所示：
18. 如下图，在四边形中，，．求证：四边形是平行四边形．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键；
根据角相等得到平行关系，再根据三角形内角和定理得到角相等，进而得证．
【详解】解：证明：，
．
又，且，
，
，
，
四边形是平行四边形．
19. 下面是小明设计的“作平行四边形”的尺规作图过程．
已知：．
求作：平行四边形．
作法：如图，
①分别以点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点；
②作直线交于点；
③作射线．在射线上截取；
④连接．则四边形是平行四边形．
根据小明设计的尺规作图过程，解决以下问题：
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接．
，
是线段的垂直平分线．
___________．
又，
四边形是平行四边形（___________）（填推理的依据）．
【答案】（1）见解析 （2），对角线互相平分的四边形是平行四边形
【解析】
【分析】（1）根据题干中的作图步骤画出图形即可；
（2）由作图可知，，，所以可证是线段的垂直平分线，所以，由作图可知，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可证四边形是平行四边形．
【小问1详解】
解：如下图所示，
【小问2详解】
证明：如下图所示，连接，
，，
是线段的垂直平分线，
，
又，
四边形是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）．
20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数图象与轴交于点，且与一次函数图象相交于点，一次函数图象与轴相交于点C．
（1） ___________， ___________；
（2）若在一次函数上存在点，使得，求点的坐标．
【答案】（1）；
（2）点的坐标为或
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数图象的应用，两直线的交点坐标，用一次函数求三角形的面积，分类讨论是解题的关键．
（1）根据两个一次函数图象交于点，可求出，再把点坐标代入即可求；
（2）设点的坐标为，根点在点B下方和点在点B上方两种情况求解即可．
【小问1详解】
解：一次函数与一次函数相交于点
点既在上也在上，
由可得：，
；
点的坐标为，
把点B代入可得，即；
故答案为：；；
【小问2详解】
解：，
设点的坐标为，
当点在点B下方时，，
，
解得：，
此时点的坐标为；
当点在点B上方时，，
，
解得：，
此时点的坐标为，
综上分析可知：点的坐标为或．
21. 如图，在矩形中，对角线与相交于点，于点，于点．求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】根据矩形性质推出，进而证明，利用全等三角形性质即可证明．
【详解】证明：四边形是矩形，
∴，
．
于点，于点，
．
在和中
．
22. 随着人工智能的发展，许多餐厅使用智能机器人送餐．图1是某餐厅的机器人小聪和小智，他们从厨房门口出发，准备给相距的同一桌客人送餐，小聪比小智先出发，且速度保持不变，小智出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设小聪行走的时间为，小聪和小智行走的路程分别为与之间的对应关系如图2所示，请根据图象回答下列问题：
（1）小智提速后的速度为___________；
（2）___________；
（3）求小聪行走的路程与行走的时间之间的函数表达式；小智比小聪提前多少秒送餐到位？
【答案】（1）
（2）
（3），秒
【解析】
【分析】（1）先确定小智出发时间和提速前的路程、时间，计算提速前速度，再得提速后速度；
（2）结合小智提速后的路程计算到达时间；
（3）用待定系数法求小聪的函数表达式，再分别求出小聪和小智到达时间，计算时间差．
【小问1详解】
解：小智从开始出发，到时走了，
此阶段时间为，则提速前速度为，
提速后速度是原来的倍，
所以提速后速度为；
【小问2详解】
小智提速后行驶的路程为总路程减去提速前的，即，
提速后速度为，
所以提速后行驶时间为；
小智从出发，先花走，再花走，
总时间为，即小智到达时间为，
此时；
【小问3详解】
由上述计算，小聪速度为，
且从开始行走，
所以与的函数表达式为；
小聪要走到，
令，即，小聪到达时间为，
解得，
小智到达时间为，
所以小智比小聪提前的时间为．
23. 在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点．
（1）求的值；
（2）当时，对于的每一个值，函数的值既大于函数的值，也大于函数的值，直接写出的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）当时，若，则，此时不满足题意，若，则，则可得到，解之即可；同理求出时m的取值范围即可得到答案．
【小问1详解】
解：∵函数与的图象交于点，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：当时，
∴，
若，则，这时不满足当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值；
若，即时，则，
∵当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，
∴，
∴；
当时，
∴，
若，则，这时不满足当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值；
若，即时，则，
∵当时，对于的每一个值，函数的值既大于函数的值，
∴，
∴；
综上所述，；
24. 小亮借鉴研究一次函数时积累的经验和方法，对新函数展开探究，过程如下．
（1）根据函数表达式列表如下，则表中___________；
（2）在给出的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象；
（3）方程的解为___________
【答案】（1）
（2）图见解析 （3）或
【解析】
【分析】本题考查绝对值函数的列表、图像绘制，以及利用函数图像解方程，解题关键是掌握绝对值的计算方法、函数图像的画法，以及利用函数交点求解方程的思想．
（1）利用函数表达式，将代入计算对应的值，得到；
（2）根据列表中与的对应值，在平面直角坐标系中描点并连线，画出函数的图象；
（3）解绝对值方程，需分和两种情况讨论，分别求解后检验解是否满足对应范围，从而确定方程的解．
【小问1详解】
解：已知函数为，当时，将代入函数表达式：
，因此；
故答案为：；
【小问2详解】
如图所示：
【小问3详解】
解绝对值方程需分情况讨论：
情况一：当即时，
此时，原方程化为：
，解得：，
检验：，满足该情况的前提条件，因此是方程的一个解；
情况二：当即时，
此时，原方程化为：
，解得：，
检验：，满足该情况的前提条件，因此是方程的一个解；
综上，方程的解为或．
故答案为：或．
25. 如图，矩形的对角线相交于点，动点沿以的速度运动，当点构成三角形时，设的面积为，连接．
（1）写出的面积与点的运动时间（）之间的关系式；
（2）求的最大值，并求出此时的值．
【答案】（1）
（2）当时，的值最大，最大值为
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质，三角形的面积，函数解析式的求法，最大值的求法，理解相关知识是解答关键.
（1）根据矩形的性质求出点到的距离，由题意求出的长度，再利用三角形面积公式求解；
（2）根据函数关系式，结合正比例的最大值的求法来求解.
【小问1详解】
解：矩形的对角线相交于点，
点是和的中点，
点到的距离为.
由题意可知，
点的运动时间为时
.
【小问2详解】
解：是正比例函数，
，随的增大而增大.
在范围内，当时，的值最大，
.
26. 已知一次函数与轴交于点，与轴交于点，点是轴上一点，点关于直线的对称点为点．
（1）求点B的坐标；
（2）若点的坐标是，求的值及点的坐标．
【答案】（1）
（2），点C的坐标为
【解析】
【分析】（1）把代入中，求出y的值即可得到答案；
（2）设点A的坐标为，点C的坐标为，根据轴对称的性质可得，利用勾股定理得到相关方程，解方程可得点A和点C的坐标，再利用待定系数法求出k的值即可．
【小问1详解】
解：在中，当时，，
∴点B的坐标为；
【小问2详解】
解：设点A的坐标为，点C的坐标为，
∵点关于直线的对称点为点，点D的坐标是，
∴，即，
∴，，
解得，
∴，
∴，
解得．
27. 已知正方形，点是延长线上一点，位置如图所示，连接，过点作于点，连接．
（1）求证：；
（2）作点关于直线的对称点，连接，．
①依据题意补全图形；
②用等式表示线段之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）见解析 （2）①见解析；②，证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据等角的余角相等证明即可．
（2）①根据要求画出图形即可．
②在上截取点，使得，连接．证明，推出，再证明四边形为平行四边形，可得结论．
【小问1详解】
证明：如图，
∵，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
又∵，
∴，
即；
【小问2详解】
解：①如图：图形即为所求作．
②解：结论：．
证明：在上截取点，使得，连接．
∵四边形是正方形，
∴．
在和中，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴．
∵点关于直线的对称点是点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∵，
∴．
28. 在平面直角坐标系中，已知平行四边形，，动点的坐标为，若直线的图象与平行四边形有且只有两个公共点，则称直线是平行四边形的“双优直线”．
（1）若的坐标为，则直线与轴的交点坐标为___________；
（2）点在直线上运动，
①当时，若直线是平行四边形的“双优直线”，请直接写出的取值范围；
②若直线恒是平行四边形的“双优直线”，请直接写出的取值范围．
【答案】（1）
（2）①或；②
【解析】
【分析】（1）先推导出直线，求出当时，x的值，即可解答；
（2）①先推导出点，直线，得到直线过定点，令点为，作直线，求出直线的解析式为， 与轴的交点为，直线的解析式为，与轴的交点为，分类讨论：第一种情况：当或时，第二种情况：当且时，第三种情况：当或时，逐个分析求解即可；
②先推导出直线的解析式为，直线，且过定点，
分类讨论：第一种情况：当时，当时，第二种情况：当或时，第三种情况：当时， 逐个分析求解即可．
【小问1详解】
解：，
直线，
当时，，解得，
直线与轴的交点坐标为；
【小问2详解】
解：①当时，点在直线上运动，
，
则点，直线，
当时，，
直线过定点，
令点为，作直线，如图
设直线的解析式，
将、分别代入，得，
解得，
直线的解析式为，
当时，，
直线与轴的交点为，
同理可得直线的解析式为，与轴的交点为，
由图可知，当或时，直线与平行四边形只有1个交点，不符合题意，
当且时，直线与平行四边形没有交点，
当或时，直线与平行四边形有2个交点，
综上所述，或．
②由①同理可得，直线的解析式为，
当时，，
点在直线上，
，
则直线，
令，则，
直线过定点，
如图
第一种情况：当时，
∵，
∴直线l∶过定点，且不与边重合，
则直线l∶与平行四边形始终有2个交点，符合题意；
当时，存在，直线l∶与边重合，与平行四边形有无数个交点，不符合题意；
第二种情况：当或时，连接点B与，此时直线l与平行四边形只有1个交点，不符合题意；
第三种情况：当时，定点在平行四边形的内部，此时直线与平行四边形总有2个交点，即直线恒是平行四边形的“双优直线”，
综上所述，．
．．．
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
．．．
．．．
3
1
0
1
2
3
．．．