2025-2026学年下学期河北张家口高三数学二模试卷含答案

这是一份2025-2026学年下学期河北张家口高三数学二模试卷含答案，文件包含十年2015-2024高考语文真题分类汇编全国通用专题16语言文字运用病句类教师版docx、十年2015-2024高考语文真题分类汇编全国通用专题16语言文字运用病句类学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共69页， 欢迎下载使用。
注意事项:
1. 答卷前. 考生务必将自己的学校、班级、姓名及考号填写在答题卡上.
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑, 如需改动. 用橡皮擦干净后. 再选涂其他答案标号. 回答非选择题时, 将答案写在答题卡上. 写在本试卷上无效.
3. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的.
1. 设集合 A={−1,0,1,2,3},B={−2,0,1,2,3,5} ,则 A∪B=
A. {0,1,2,3} B. {−1,0,1,2,3}
C. {−2,−1,0,1,2,3,5} D. {−2,0,2,3,5}
2. 已知复数 z=sinπ6+icsπ3 ,则 2z1−i=
A. 1 B. 2 C. 3 D. 2
3. 在等差数列 an 中,若 a1+a2+a6=6 ,则 lga3a1+a5=
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
4. 圆柱与圆锥的底面半径均为 1,母线长均为 2,则圆柱与圆锥的体积之比为
A. 223 B. 233 C. 3 D. 23
5. 将函数 y=cs2x−π3 的图象向右平移 φφ>0 个单位长度后得到函数 y=sin2x 的图象, 则 φ 的最小值为
A. π24 B. π12 C. π6 D. π3
6. 已知某种树苗在一个生长周期内生长的高度为随机变量 ξ ,且 ξ∼Nμ,σ2 ,若 Pξ0 与双曲线 E:x2−y2=p2 的渐近线的交点分别为 O,A,B ,其中 O 为坐标原点,若 △AOB 的面积为 16,P 为 C 与 E 在第一象限内的一个公共点,则 OP2=
A. 15+65 B. 17+85 C. 17+65 D. 15+85
8. 已知正三棱柱 ABC−A1B1C1 的底面边长为 4,高为 23,D,E 分别为 AC,A1B1 的中点,球面 O 经过 D,E,B,C1 四点,则球面 O 与该正三棱柱的上底面交线的长度为
A. π3 B. π2 C. 2π3 D. 3π4
二、选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要 求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 已知一组数据 x1,x2,⋯,x9 的平均数、中位数、众数、极差、标准差分别为 a,b,c,d,e . 设 yi= 2xi+1i=1,2,⋯,9 ,记新数据 y1,y2,⋯,y9 的平均数、中位数、众数、极差、标准差分别为 A,B,C,D,E ,则
A. A=2a+1,B=2b+1 B. A=2a,C=c
C. D=2d,E=2e D. D=2d+1,E=4e
10. 已知圆 C:x2+y2+m−2x+2my+1−m=0,P 为直线 2x+y−8=0 上一动点, PA,PB 为圆 C 的切线,切点分别为 A,B ,则
A. 圆心 C 的轨迹方程为 2x−y−2=0
B. 圆 C 过定点 1,0
C. 当 m=2 时, PA⋅PC 的最小值为 15
D. 当 m=2 时,四边形 PACB 面积的最小值为 53
11. 已知函数 fx=csx,−π2≤x≤π2,3fx−π,π2b>0 的长轴长为 4，且与直线 y=12x+2 相切， A ， B 为 C 上不在坐标轴上的不同两点.
(1)求 C 的方程；
(2)若以 AB 为直径的圆经过点 2,0 ，证明:直线 AB 过定点.
17. (本小题满分 15 分)
在 △ABC 中， a ， b ， c 分别为内角 A ， B ， C 的对边， D ， E 分别为边 AB ， AC 上的动点，记 θ 为 BD 与 DE 的夹角.
(1)证明: a2−b2sinA+B=c2sinA−B ；
(2)证明: ccsθ=acsB−θ+bcsA+θ .
18. (本小题满分 17 分)
如图，在正四棱锥 P−ABCD 中， M ， N 分别为棱 PA ， PC 的中点，点 Q 满足 PQ=λPB ， λ∈0,1 .
(1)证明: MN⊥DQ .
(2)已知 D,M,Q,N 四点共面.
(i) 求 λ 的值;
(ii) 若 AB=2,PA 与底面所成角的正切值为 2，求平面 BMN 与平面 QMN 夹角的余弦值.

19. (本小题满分 17 分)
已知函数 fx=x+a+x−2lnx .
(1)若 fx≥0 ，求实数 a 的取值范围.
(2)已知 a=−1 .
(i)设数列 1n+2 的前 n 项和为 Sn ,证明: Sn2 .
张家口市 2026 届高三年级第二次模拟考试 数学参考答案
1.C 由题可知, A∪B={−2,−1,0,1,2,3,5} ,故选 C.
2. A 因为 z=sinπ6+icsπ3=12+12i ,所以 2z=1+i ,则 1+i1−i=i=1 ,故选 A.
3. C 由 a1+a2+a6=3a3=6 ,得 a3=2 ,又 a1+a5=2a3=4 ,所以 lga3a1+a5=2 ,故选 C.
4. D 易得圆锥的高为 22−12=3 ,则圆锥的体积为 13π×12×3=33π ,圆柱的体积为 π×12×2= 2π ,所以圆柱与圆锥的体积之比为 2π33π=23 ,故选 D.
5. B 由题可知 y=sin2x=csπ2−2x=cs2x−π2=cs2x−π4 ,又 y=cs2x−π3= cs2x−π6 ,所以 φ=π4−π6=π12 ,故选 B.
6. D 依题意, μ=5+452=25 ,所以 P25≤ξ≤45=12−120=920 ,故选 D.
7. B E 的渐近线为 y=±x ,联立 y=±x,y2=2px, 可得 x=2p,y=±2p. 不妨设 A2p,2p,B2p,−2p ,又 △AOB 的面积为 16,则 12×2p×4p=16 ,解得 p=2 ,联立 y2=4x,x2−y2=1, 整理得 x2−4x−1=0 ,解得 x= 2+5 或 x=2−5 (舍去),所以 y2=4x=8+45,x2=9+45 ,所以 OP2=x2+y2=17+85 ,故选 B.
8. C 如图,连接 BC1,BD,BE,C1E,C1D ,易得 BD⊥ 平面 ACC1A1,C1E⊥ 平面 ABB1A1 ,所以 BD⊥C1D,C1E⊥BE ,即 △BC1D 和 △BC1E 均为直角三角形,所以 BC1 即为球 O 的直径,其长为 2R= 42+232=27 ,所以 R=7 . 过点 O 作 OM⊥B1C1 于点 M ,则 OM=3 . 球 O 与上底面的交线即为以 M 为圆心,半径为 72−32=2 的圆弧,又底面 △A1B1C1 的边长为 4,则交线为以 M 为圆心, 圆心角为 π3 ,半径为 2 的圆弧,长度为 π3×2=2π3 ,故选 C.

9. AC 因为 yi=2xi+1 ,则 A=2a+1,B=2b+1,C=2c+1,D=2d,E=2e ,所以 A 选项正确, B 选项不正确, C 选项正确, D 选项不正确. 故选 AC.
10. BCD 圆 C 的方程可化为 x+m−222+y+m2=5m24,m≠0 . 对于 A 选项,圆心 C 的坐标为 2−m2,−m ,则圆心 C 的轨迹方程为 2x−y−2=0 (除去点 1,0 ),所以 A 选项不正确; 对于 B 选项, 圆 C 的方程可化为 x2+y2+x+2y−1m−2x+1=0 ,令 x+2y−1=0,x2+y2−2x+1=0, 解得 x=1,y=0, 所以圆 C 过定点 1,0 ,所以 B 选项正确; 对于 C 选项, PA⋅PC=PA⋅PA+AC=PA2 ,当 m=2 时, x2+ y+22=5 ,圆心 C0,−2 ,半径 r=5 ,圆心 C0,−2 到直线 2x+y−8=0 的距离 d=105=25 ,所以 PAmin2=d2−r2=15 ,所以 C 选项正确; 对于 D 选项, S四边形PACB=PA⋅AC=5PA≥5× 15=53 ,所以 D 选项正确. 故选 BCD.
11. BCD 当 π2