江苏淮安市高中校协作体2025-2026学年高二下学期4月学情调研数学试卷（含解析）

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 的值为（ ）
A. 5B. 8C. 10D. 36
【答案】C
【解析】
【详解】
2. 四个人站在一排，其中甲乙必须站在一起，则不同站法种数为（ ）
A. 8B. 12C. 18D. 24
【答案】B
【解析】
【详解】甲乙站在一起有种情况，
将甲乙捆绑在一起与另外两人排列有种情况，
所以不同站法种数为.
3. 若向量与不共线且，，，则（ ）
A. ，，共线B. 与共线
C. 与共线D. ，，共面
【答案】D
【解析】
【分析】利用空间向量共线定理和共面定理判断.
【详解】因为，即，即，
又与不共线，所以共面，故D正确A错误；
因为，所以与不共线，与不共线，故BC错误；
故选：D
4. 已知，则的值为（ ）
A. 5B. 6C. 7D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】
根据二项展开式的性质，将原式化为，即可求出结果.
【详解】由得
则，即，
解得.
故选：B.
5. 如图，在四面体OABC中，，，．点M在OA上，且，N为BC中点，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用给定的基底，结合空间向量线性运算求出.
【详解】依题意有.
故选：B.
6. 长时间玩手机会影响视力．据调查，某学校学生中，大约有的学生每天玩手机超过1小时，这些人近视率约为，其余学生的近视率约为．现从该校随机调查一名学生，他近视的概率大约是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意，根据全概率公式求解即得.
【详解】设事件“学生玩手机超过1小时”，事件“学生近视”，事件为的对立事件，
由题意可得，，，则，
所以.
7. 在的展开式中，的系数是（ ）
A. 11B. 15C. 20D. 25
【答案】C
【解析】
【分析】先求出展开式的通项公式，再分别分析与展开式相乘得到的情况，最后将系数相加即可得到的系数.
【详解】展开式的通项公式为：（）.
情况一：与展开式中的项相乘.
令，解得.
将代入到中，可得，所以与展开式中的项相乘得到的系数为.
情况二：与展开式中的项相乘.
令，解得.
将代入到中，可得，所以与展开式中的项相乘得到的系数为.
将两种情况得到的的系数相加，可得，即的展开式中的系数是20.
故选：C.
8. 空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，点，则点到平面距离为（ ）
A. B. 4C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，得到平面内的一点为，且平面的一个法向量为，再由，结合向量的距离公式，即可求解.
【详解】由平面的方程为，可化为，
根据题意，可得平面内的一点为，且平面的一个法向量为，
又由点，所以，
所以点到平面的距离为.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 对于，关于下列排列组合数关系式，结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据排列数、组合数的性质或排列数、组合数的计算公式即可求解.
【详解】根据组合数的性质或组合数的计算公式Cnm=n!(n−m)!m!，
所以 Cnn−m=n!(n−n+m)!(n−m)!=n!m!(n−m)!=Cnm，所以A选项正确；
，
Cnm−1+Cnm=n!(n−m+1)!(m−1)!+n!(n−m)!m!=n!(n−m+1)!m!⋅m+n!(n−m+1)!m!⋅(n−m+1)
=n!(n−m+1)!m!⋅(m+n−m+1)=n!(n−m+1)!m!⋅(n+1)=(n+1)!(n−m+1)!m!，
所以，所以B选项正确；
Anm=n!(n−m)!，而，所以C选项错误；
mCnm=m⋅n!m!(n−m)!=n!(m−1)!(n−m)!，
nCn−1m−1=n⋅(n−1)!(m−1)![(n−1)−(m−1)]!=n⋅(n−1)!(m−1)!(n−m)!=n!(m−1)!(n−m)!，所以D选项正确．
10. 甲箱中有2个红球和2个白球，乙箱中有2个红球和2个白球（两箱中的球除颜色外没有其他区别），先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别用事件和表示从甲箱中取出的球是红球和白球；再从乙箱中随机取出两球，用事件B表示从乙箱中取出的两球都是红球，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据条件写出和 ，，再根据全概率公式和贝叶斯公式判断选项.
【详解】由条件可知，，，故AC正确；，
PB=PBA1PA1+PBA2PA2=310×12+110×12=15，故B正确；
PA2B=PA2BPB=PA2PBA2PB=12×11015=14，故D错误.
11. 伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖，在正六边形上画了正方体图案，如图1，把三片这样的达·芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的几何体．若图3中每个正方体的棱长为1，则（ ）
A.
B. 平面平面PEF
C. 异面直线与所成角的余弦值为
D. 直线与平面所成角的余弦值为
【答案】AB
【解析】
【分析】根据向量的线性运算法则，结合图象，即可判断A的正误；根据面面垂直的判定定理，即可判断B的正误；如图建系，求得各点坐标和所需向量的坐标，根据线线角的向量求法，即可判断C的正误；根据线面角的向量求法，即可判断D的正误.
【详解】选项A：由图象得
，即，故A正确；
选项B：因为平面PEF，且，
所以平面PEF，因为平面，
所以平面平面PEF，故B正确；
选项C：以D为原点，为x，y，z轴正方向建系，如图所示，
则，
所以，
设异面直线与所成角为，，则，
则异面直线与所成角的余弦值为，故C错误；
选项D：由图象得平面的法向量，
设直线与平面所成角，，
则sinα=csCQ,n=CQ⋅nCQn=23
所以直线与平面所成角的正弦值为
所以直线与平面所成角的余弦值为，故D错误.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 直线l的方向向量为，平面的法向量为，若直线，则实数t的值为______．
【答案】1
【解析】
【分析】借助空间向量性质计算即可得.
【详解】由题意可得直线l的方向向量与平面的法向量平行，即有，解得.
13. 用5种不同的颜色给图中A，B，C，D四个区域涂色，规定每个区域只涂1种颜色，且有邻边的区域颜色不能相同，则不同的涂色方法种数为______．
【答案】260
【解析】
【分析】根据题意，分用4种不同颜色、3种不同颜色、2种不同颜色，根据计数原理及排列、组合计算求解.
【详解】由题意可得要给图中A，B，C，D四个区域涂色，规定每个区域只涂1种颜色，
且有邻边的区域颜色不能相同，最多可用4种不同颜色，最少可用2种不同颜色：
第一种情况，若用4种颜色给图中A，B，C，D四个区域涂色，
此时有种不同的涂色方法；
第二种情况，若用3种颜色给图中A，B，C，D四个区域涂色，
则或颜色相同，此时有种不同的涂色方法；
第三种情况，若用2种颜色给图中A，B，C，D四个区域涂色，
则，颜色相同，此时有种不同的涂色方法；
综上：不同的涂色方法种数为种.
14. 已知四棱锥，底面是平行四边形，为的中点，经过直线的平面与侧棱分别交于点．设，．若，则______．
【答案】##0.6
【解析】
【分析】连接交于点，将转换成，结合共面，即可求解.
【详解】
连接交于点，因为底面ABCD是平行四边形，
所以为的中点，
由平行四边形法则可得：，
故，
又，，
得，，
又Q为PA的中点，，
所以，
由题意共面，
所以，
解得.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 3个男生与3个女生站成一排．
（1）若要求3个男生互不相邻，有多少种排法？
（2）若要求男生甲必须站在男生乙的左边（不一定相邻），有多少种排法？
（3）若男生甲与男生乙中间只能站一人，有多少种排法？
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用插空法求解；
（2）顺序一定的排列问题，用倍缩法求解；
（3）利用捆绑法，先排小团体，再和其他元素一起全排列.
【小问1详解】
先排好3个女生，产生4个空，从中选3个空排男生，共有种方法；
【小问2详解】
法一：共有6个位置，先排甲和乙之外的4人，有种方法，剩下的2个位置排甲和乙，有1种排法，
所以共有种方法；
法二：首先6个人全排列，再除以甲和乙全排列的顺序，即种方法；
【小问3详解】
先从甲和乙之外的4人选1人，站在男生甲和男生乙之间，这3人看成一个元素，甲和乙全排列，有C41A22=8种方法，
再和其他的3人，共看成4个元素全排列，有种方法，所以共有C41A22A44=192种方法.
16. 如图，在四棱锥中，底面，底面为直角梯形，分别为的中点.
（1）求证：平面；
（2）若截面与底面所成锐二面角为，求的长度.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】
【分析】（1）取的中点，连接，通过中位线证得，且，又证得，从而可证明四边形是平行四边形，则，利用线面平行的判定定理可证得平面；
（2）分别以所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，设，利用空间向量法表示出截面与底面所成锐二面角的余弦值，建立方程，从而求出的长.
【详解】（1）证明：取的中点，连接，
是的中点，
，且.
∵底面为直角梯形，，
，
，
，且.
∴四边形是平行四边形，.
又平面平面，
平面.
（2）解：如图，分别以所在直线为轴、轴、轴
建立空间直角坐标系，设，
则
，
取平面的一个法向量为. ，
设平面的法向量为，
则有
即
不妨取，则，即， ，
解得，即的长为4.
本题考查了线面平行的判定定理，利用空间向量解决二面角的问题，属于中档题.
17. 在按的降幂展开式中，最后三项的二项式系数之和等于29，第五项系数为．
（1）求和的值；
（2）设该展开式为．
（ⅰ）求二项式系数最大的项；
（ⅱ）求的值．
【答案】（1）；
（2）（ⅰ），；（ⅱ）
【解析】
【分析】（1）根据求出，根据T5=C74mx3求出；
（2）（ⅰ）根据二项式系数的性质可知二项式系数最大的项为第项与第项，利用展开式通项公式即可得解；（ⅱ）对进行求导，再令即可求出答案.
【小问1详解】
依题意得，Cnn−2+Cnn−1+Cnn=Cn2+Cn1+Cnn=29，
即nn−12+n+1=29，解得或（舍去），
第五项为T5=C74(mx)3=(C74m3)x3，其系数为C74m3，由，解得．
【小问2详解】
（ⅰ）因为，所以二项式系数最大项为第项与第项，
即T4=C7312x7−3=3516x4，T5=C7412x3=358x3；
（ⅱ）由，
求导得7212x+16=7a0x6+6a1x5+5a2x4+4a3x3+3a4x2+2a5x+a6，
令得，
即得na0−n−1a1+n−2a2−⋯−1n−1an−1=7128．
18. 某大学进行强基计划测试，已知有6名学生进入最后面试环节，且这6名学生全都来自A、B、C三所学校，其中A、B、C三所学校参加面试的学生人数比为．该大学要求所有面试学生面试前到场，并随机给每人安排一个面试号码，按面试号码由小到大依次进行面试．
（1）求面试号码为2的是A校学生的概率；
（2）求A校参加面试的学生先于其他两校学生完成面试（A校所有参加面试的学生完成面试，B、C两校都还有学生未完成面试）的概率．
（3）求前四个面试中有两个是A校学生的条件下，B校学生最后一个面试的概率．
【答案】（1）；
（2）；
（3）.
【解析】
【分析】（1）求出面试号码为的样本空间中样本点个数，再求出面试号码为的学生来自A校的事件所含样本点个数即可.
（2）将所求概率的事件分拆成两个互斥事件的和，利用古典概率公式，结合排列组合求出概率.
（3）根据条件概率公式计算即可.
【小问1详解】
已知6名学生全都来自A、B、C三所学校，A、B、C三所学校参加面试的学生人数比为．
则来自A校3人、B校1人、C校2人，
面试号码为的学生有个不同结果，面试号码为的学生来自A校的事件有3个不同结果，
所以面试号码为的学生来自A校的概率为.
【小问2详解】
依题意，名学生按编号的试验有个基本事件，
校参加面试的学生先于其他两校学生完成面试的事件，可分为两种互斥情况，
一是校学生的最大编号为，二是校学生的最大编号为且B校学生编号不小于5.
校学生的最大编号为的事件有个基本事件；
而校学生的最大编号为且B校学生编号不小于的事件有个基本事件，
所以校参加面试的学生先于其他两校学生完成面试的概率为；
【小问3详解】
记“前4个面试有两个A校学生”为事件M，“B校学生最后一个面试”为事件N，
则PM=C32C32A44A22A66=35，PMN=C32C22A44A66=110，
所以在前四个面试中有两个是校学生的条件下，
校学生最后一个面试的概率为PN|M=PMNPM=16.
19. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，平面平面ABCD，是边长为的等边三角形，E为侧棱PB的中点，F为线段BC上一点．
（1）证明：平面平面PBC；
（2）若F为BC中点．
（ⅰ）求异面直线AF与PC的距离；
（ⅱ）求四棱锥的外接球被所在的平面截得的圆的面积．
【答案】（1）证明见解析
（2）（ⅰ）；（ⅰⅰ）
【解析】
【分析】（1）先由面面垂直性质得平面，进而得到，再结合等腰三角形性质得，最后由线面垂直判定得平面，从而根据面面垂直判定完成证明.
（2）（ⅰ）由线面平行性质推出，确定为中点，建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，进而得到向量、，求与两向量都垂直的向量，利用公式算出异面直线、距离
（ⅱ）根据外接球球心性质求出球心坐标与半径，再利用法向量求球心到平面距离，最后由勾股定理求截面圆半径并计算面积.
【小问1详解】
平面平面，平面平面，，
且平面，则平面，
因为平面，则，又，，则，
因，平面，则平面，
又平面，故平面平面．
【小问2详解】
（ⅰ）由平面，平面平面，平面，则，
故为的中点，取的中点O，连接，，
则平面，因平面，则，
，平面，所以平面，
故可以O为坐标原点，OB，OP所在直线为x，z轴，过O作的平行线为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
由题意，，，，C3,23,0，E32,0,32，F3,3,0，
AF=23,3,0，PC=3,23,−3，
设与，向量都垂直，则
23x+3y=0,3x+23y−3z=0,令得，
FC=0,3,0，
则异面直线AF，PC的距离d=−238=62．
（ⅱ）由底面为正方形，设外接球球心为O0,3,t，
由得3+3+t2=3+t−32，得，
则球半径，
由（2）知平面的法向量为1,−2,−3，
则球O到平面距离为，
则球O截平面所得圆的半径，
则截面圆面积为．