吉林省G35+联合体2026届高三下学期二模数学试题（含解析）高考模拟

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2．请将各题答案填写在答题卡上.
3．本试卷主要考试内容：高考全部内容.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据并集运算的定义，即可得答案.
【详解】因为，，
所以.
2. 若复数，则的虚部是（ ）
A. B. 2C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由虚数的概念结合共轭复数的概念即可求解.
【详解】根据题意可得，
则，，得到的虚部是.
3. 已知圆：，则“点在圆外”是“点在圆外”的（ ）
A. 充要条件B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据点与圆的位置关系，充分条件、必要条件的概念判断即可.
【详解】若点在圆外，则，所以.
若点在圆外，则，所以.
显然是的真子集，
故“点在圆外”是“点在圆外”的充分不必要条件.
4. 已知向量，满足，，则的最小值为（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】B
【解析】
【详解】对任意向量，满足三角不等式： ，
当且仅当与共线反向时，左侧等号成立，
将，代入可得 ，
即 的最小值为.
5. 在等比数列中，，，则（ ）
A. B. 2C. 2D. 4
【答案】B
【解析】
【详解】设等比数列公比为，由，得，，.
由，得，即，
因，故，则.
6. 一个港口的某一观测点的水位在退潮的过程中，水面高度（单位：）关于时间（单位：）的函数解析式为（为参数）.已知刚开始退潮时水面高度为，若从到，水面高度下降了，则（ ）
A. 2B. 4C. 6D. 8
【答案】A
【解析】
【详解】由题意可得，解得．令，
即，化简得，解得（舍去）．
7. 下列函数中，其图象与函数的图象重合的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分别分析绝对值内为负值时各选项的解析式，对照分析，即可得答案.
【详解】由二倍角公式得，
选项A：当时，，与不重合，故A错误；
选项B：当时，，与不重合，故B错误；
选项C：当时，，与不重合，故C错误；
选项D：因为是偶函数，所以对于任意，都有，
故，与的图象重合，故D正确.
8. 已知函数的图象关于直线对称，且在上单调递减，若，，则m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由函数的对称性得到恒成立，通过平方化简即可求解.
【详解】由关于直线对称，且在上单调递减，
因为，恒成立，
所以 ，
两边平方展开化简：
即 ，
整理得，
因为对任意不等式恒成立，故，即，
故的取值范围是.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 2020—2024年我国粮食产量（单位：万吨）如图所示，下列结论正确的是（ ）
A. 2020—2024年我国粮食产量逐年增加
B. 2020—2024年我国粮食产量的中位数为68653万吨
C. 2020—2024年我国粮食产量的极差为3699万吨
D. 2020—2024年我国粮食产量与年份负相关
【答案】AB
【解析】
【详解】对于A选项，对比每年产量可得，
故年我国粮食产量逐年增加，A正确．
对于B选项，年我国粮食产量的中位数为万吨，B正确．
对于C选项，年我国粮食产量的极差为万吨，C错误．
对于D选项，年我国粮食产量与年份正相关，D错误．
10. 设为双曲线：（，）的左焦点，经过原点且斜率大于的直线交于，两点，与轴垂直，，则（ ）
A. B. 的离心率为
C. 直线的斜率为D. 的渐近线方程为
【答案】ABC
【解析】
【详解】设的右焦点为，连接，由与轴垂直及对称性，得与轴垂直，
又，则，令，由，得，
对于A，，A正确；
对于B，由，得，
即，解得或（舍去），
因此的离心率，B正确；
对于 C，由，，得直线的斜率，C正确；
对于D，，得的渐近线方程为，D错误.
11. 已知四边形ABCD外接圆的圆心为O，且，，则（ ）
A. B. 面积的最大值为
C. 当时，四边形ABCD面积的最大值为D. 四边形ABCD面积的最大值为2
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据数量积公式，结合夹角的范围，即可判断A的正误；根据面积公式，结合夹角的范围，即可判断B的正误；由题意，设AB与CD间的距离为d，根据弦长公式，结合梯形面积公式，可得四边形ABCD面积的表达式，利用导数求出最值，分析即可判断C的正误；设弦AB对应的圆心角为，弦CD对应的圆心角为，根据三角函数的定义，可得四边形ABCD面积的表达式，根据的范围，结合三角函数的最值，分析即可判断D的正误.
【详解】选项A：，
因为，所以当时，，
则 ，故A错误；
选项B：的面积，
因为，所以当时，，故B正确；
选项C：因为，，所以O为AB的中点，即AB为直径，
因为，所以CD为弦，设AB与CD间的距离为，
则，
所以四边形ABCD面积的，
令，则，
令，则，
令，解得或（舍），
当时，，则单调递增，
当时，，则单调递减，
所以当，即时，有最大值，
此时，，故C正确；
选项D：设弦AB对应的圆心角为，弦CD对应的圆心角为，，
两弦异侧时，其距离，且，
则四边形ABCD面积
，
所以当时，有最大值为2，故D正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 抛物线的焦点到准线的距离为______.
【答案】##
【解析】
【分析】结合焦点到准线的距离与的关系求结论.
【详解】由，得，解得，
即抛物线的焦点到准线的距离为.
13. 若曲线与曲线在它们的公共点处有相同的切线，则_______．
【答案】或
【解析】
【分析】设公共点为，根据公共点的导数值相等求出切点，再利用导数的几何意义即可求解.
【详解】由，所以，又由，所以，
设公共点为，
所以，由，即，解得或，
当时，，解得，
当时，，解得.
14. 已知平面，，，分别过正四面体的四个顶点，且平面，，，相互平行，相邻两个平面之间的距离均为d，若该正四面体的棱长为4，则_______．
【答案】.
【解析】
【分析】将正四面体放入正方体考虑，利用对称性，判断平面，，，满足的条件，建系求解即可.
【详解】如图，将四面体放入正方体中，
由对称性不妨设平面，，，分别过，
由平面，，，相互平行，相邻两个平面之间的距离均为d，
从而过的中点，靠点的三等分点；
过的中点，靠点的三等分点；
如图所示，建立空间直角坐标系，
则，，，，
则，，
，
设平面的法向量为
则，取，
从而.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知正项等比数列满足，且，，成等差数列，正项数列的前项和为，．
（1）求的通项公式；
（2）证明：．
【答案】（1）； （2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）由等差中项的性质结合等比数列的通项公式即可求解；
（2）利用结合条件与数列放缩化简可得.
【小问1详解】
设数列的公比为（）.
因为，，成等差数列，所以，
即，解得或（舍去）.
所以.
【小问2详解】
由，得，
两式相减，得，所以，
则.
16. 如图，在三棱柱中，平面平面，底面是等边三角形，为的中点，，.
（1）证明：平面.
（2）求二面角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据已知得、，再应用线面垂直的判定证明结论；
（2）由题设构建合适的空间直角坐标系，标注相关点坐标并求出对应平面的法向量，进而应用向量法求面面角的余弦值，即可得其正弦值.
【小问1详解】
因为，所以，
因为底面是等边三角形，为的中点，所以，
因为，平面，所以平面.
【小问2详解】
因为，平面平面，平面平面，
而平面，所以平面.
以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如下空间直角坐标系，
则，，，，
则，，.
设平面的法向量为，则，
令，得.
设平面的法向量为，则，
令，得.
设二面角的平面角为，由图知为锐角，
因为，
所以，
所以二面角的正弦值为.
17. 某商场为了吸引顾客，举办抽奖活动，顾客可凭购物发票参与活动一次，规则如下：一个袋子中装有5个除颜色不同外其余均相同的小球，其中2个黑球和3个红球．顾客从袋子中有放回地随机摸两次，每次摸出一球.若两次摸到的球的颜色不同，则按方式①发放礼品，否则按方式②发放礼品．
方式①：若第一次摸到的是红球，则发放礼品A一份，否则发放礼品B一份．
方式②：若购物发票上的金额不低于100元，则发放礼品A一份，否则发放礼品B一份．
（1）若有50名顾客参与抽奖活动，用X表示其中按方式①发放礼品的人数，求X的数学期望；
（2）抽奖活动后，统计得到，发放的礼品中，礼品A与礼品B的份数的比例为，试估计参与抽奖活动的顾客中，购物发票上的金额不低于100元的比例．（结果保留两位有效数字）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据二项分布的定义及条件，可得，代入期望公式，即可得答案.
（2）分别求出按方式①和方式②，获得礼品A和礼品B的概率，结合条件，化简计算，即可得答案.
【小问1详解】
若按方式①发放礼品，则两次摸到的球的颜色不同，
设两次摸到的球的颜色不同为事件C，则，
由题意，每位顾客抽奖，按方式①发放礼品的事件相互独立，且概率相同，
则，则X的数学期望.
【小问2详解】
由（1）得，按方式①发放礼品的概率为，按方式②发放礼品的概率为，
若第一次摸到红球，第二次摸到黑球，即按方式①发放礼品A的概率，
若第一次摸到黑球，第二次摸到红球，即按方式①发放礼品B的概率，
设金额不低于100元的比例为p，则按方式②发放礼品A的概率，
则按方式②发放礼品B的概率，
因为礼品A与礼品B的份数的比例为，
所以，解得.
所以购物发票上的金额不低于100元的比例约为
18. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，右顶点为，P为直线上一点，且椭圆E的离心率为，．
（1）求椭圆E的方程．
（2）过点P作椭圆E的切线，切点为B（异于点A）．
①证明：．
②若，求．
附：在椭圆上一点处的切线方程为．
【答案】（1）
（2）证明见解析；
【解析】
【分析】（1）根据题意解出即可求解；
（2）①设点，利用椭圆上一点的切线方程得到点的坐标，结合二倍角的正切公式分别计算和，通过证明两者相等，结合角的范围得出角相等的结论;
②根据等腰三角形、勾股定理求得.
【小问1详解】
由题意得：，解得，所以，
所以，
所以椭圆E的方程为；
【小问2详解】
①不妨令点在第一象限，设，
所以切线的方程为：，又，
令，解得，所以，
又因为，
，
所以，所以，
又，
所以；
②因为，所以，
因为，所以，所以，
在中，.
19. 已知函数，．
（1）求，的单调区间；
（2）已知，函数，讨论的极值点的个数；
（3）若，，求t的取值范围．
【答案】（1）和的单调增区间均为，单调减区间均为；
（2）答案见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）对求导，令可得其单调增区间，令可得其单调减区间，同理可得的单调区间.
（2）求导得解析式，令，得的零点，分别讨论、、和四种情况，利用导数判断的正负，可得其单调区间，分析即可得答案.
（3）结合的任意性，已知条件可转化为，
分别构造函数和，可将不等式再转化为，得到在上单调性相同.利用导数求出和的单调区间，结合图形与条件，分析求解，即可得答案.
【小问1详解】
由，，得，
因为恒成立，所以令，解得或，
当或时，，则单调递增，
当时，，则单调递减，
所以的单调增区间为，单调减区间为；
由，，得，
令，解得或，
当或时，，则单调递增，
当时，，则单调递减，
所以的单调增区间为，单调减区间为；
【小问2详解】
，
则，
令，解得或或（）.
当时，，恒成立，
则当时，，则单调递减，
当时，，则单调递增，
所以只有1个极小值点；
当时，，恒成立，
则当时，，则单调递减，
当时，，则单调递增，
所以只有1个极小值点；
当时，，
当或时，，则单调递减，
当或时，，则单调递增，
此时有3个极值点；
当时，，
当或时，，则单调递减，
当或时，，则单调递增，
此时有3个极值点；
综上，当或时，有一个极值点；当或时，有3个极值点.
【小问3详解】
由，结合的任意性，
可得，则有，
所以有，
即，
设，，
则，所以在上单调性相同.
由，则，
令，解得或，
其中，
当时，，则单调递减，
当时，，则单调递增，
所以的单调减区间为，单调增区间为；
由，则，
因为恒成立，所以令，解得或，
当或时，，则单调递增，
当时，，则单调递减，
所以的单调增区间为，单调减区间为；
要使与在上单调性相同， 分以下情况讨论：
①当时，在上，函数存在递增区间，而单调递减，
故不满足题意；
②当时，在上，函数与均单调递减，
且对任意，，
故满足题意；
③当时，，
函数均在上单调递减，在上单调递增，
又不恒为0，即不恒为常数，
故存在（），使得，且，
若，则当时，
，且，
故存在，使得，
故不满足题意；

同理可得，若，当时，
，且，
故存在，使得，
故也不满足题意；
④当时，在上，函数与均单调递增，
对任意，，
故满足题意.
综上所述，t的取值范围是.