福建省三明市第一中学2025-2026学年高一下学期4月考数学试卷含答案（word版）

这是一份福建省三明市第一中学2025-2026学年高一下学期4月考数学试卷含答案（word版），共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第一部分(选择题 共 58 分)
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要 求的。
1. 若 2+a+1ia∈R 为实数， b−2+3ib∈R 是纯虚数，则复数 a+bi 为( )
A. 2−i B. 2+i C. 1+2i D. −1+2i
2. △ABC 的直观图 △A′B′C′ 如图所示,其中 A′B′//x′ 轴, A′C′//y′ 轴,且 A′B′=A′C′=2 ,则 △ABC 的面积为( )
A. 22 B. 4 C. 42 D. 8
3. 在 △ABC 中，点 E 是 AB 上靠近 A 的三等分点， F 是 CE 上靠近 C 的三等分点，则 AF= ()
A. 19AB+13AC B. 29AB+13AC C. 19AB+23AC D. 29AB+23AC
4. 在 △ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c . 若 a2−b+c2bc=−1 ,则 A= ( )
A. 120° B. 45° C. 60° D. 30∘
5. 已知平面向量 a,b 是两个单位向量， a 在 b 上的投影向量为 13b ，则 a⋅a+b= ( )
A. 1B. 43 C. 2 D. 3
6. 在 △ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c ,若 A=60∘,b=2 ,且 AB⋅AC=3 ,则 b+csinB+sinC= ( )
A. 332 B. 4213 C. 273 D. 2213
7. 在直角三角形 ABC 中， CA=CB=3 ， M ， N 是斜边 AB 上的两个动点，且 MN=2 ，则 MC⋅NC 取值范围为( )
A. 2,52 B. 2,4 C. 4,6 D. 4,172
8. 已知平面向量 a,b ，且 a=b=2 ， a⋅b=2 ，向量 c 满足 c−a−b=12a−b ，则 c−λbλ∈R 的最小值为( )
A. 2−1 B. 3−1 C. 3 D. 2
二、选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部 选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 下列向量组中, 能作为平面内所有向量基底的是 ( )
A. a=−2,3,b=4,6 B. a=2,3,b=3,2
C. a=1,−2,b=7,14 D. a=−3,2,b=6,−4
10. △ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a,b,c ,则下列说法正确的是 ( )
A. 若 A>B ,则 sinA>sinB
B. 若 a:b:c=4:5:6 ,则 △ABC 是钝角三角形
C. 若 sinA=sinB ,则 △ABC 为等腰三角形
D. 若 A=30∘,b=4,a=3 ，则 △ABC 有两解
11. 东汉末年 数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”，根据面积关系给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”. 如图 1，它由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形. 我们通过类比得到图 2,它是由三个全等的钝角三角形与一个小等边三角形 A′B′C′ 拼成的一个大等边三角形 ABC . 对于图 2. 下列结论错误的是( )
图 1 图 2
A. 这三个全等的钝角三角形可能是等腰三角形
B. 若 BB′=3,sin∠ABB′=5314 ,则 A′B′=2
C. 若 AB=2A′B′ ，则 AB′=10BB′
D. 若 A′ 是 AB′ 的中点，则 △ABC 的面积是 △A′B′C′ 面积的 5 倍
第二部分 (非选择题 共 92 分)
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12. 化简 OP−QP+PS+SP 的结果等于_____.
13. 已知复数 z 满足 z−1=1 ,则 z+2+4i ( i 是虚数单位) 的最小值为_____.
14. 在 △ABC 中, a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,若 bcsC+12c=a ,且 AD=2DC ,已 sin∠BCDsin∠CBD=t ，则当 t 取最大值时， tan∠BAC= _____.
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。
15. (13 分) 已知复数 z=1+bi ( b∈R,i 为虚数单位)， z 在复平面上对应的点在第四象限，且满足 z⋅z=4 .
(1)求实数 b 的值；
(2)若复数 z 是关于 x 的方程 px2+2x+q=0p≠0，且p,q∈R 的一个复数根，求 p+q 的值.
16. (15 分)已知向量 a=1,2,b=3,−2 .
(1)求 a−b ；
(2)若 c=10 ，且 2a+c⊥c ，求向量 a 与向量 c 的夹角；
(3)若 c=29 ，且 2a+b//c ，求向量 c 的坐标.
17. (15 分)记 △ABC 的内角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ，已知 sinC=2csB ， a2+b2−c2=2ab
(1)求 B ；
(2)若 △ABC 的面积为 3+3 ，求 c .
18.(17分)如图，游客从某旅游景区的景点 A 处下山至 C 处有两种路径. 一种是从 A 沿直线步行到 C ， 另一种是先从 A 沿索道乘缆车到 B ，然后从 B 沿直线步行到 C . 现有甲、乙两位游客从 A 处下山，甲沿 AC 匀速步行，速度为 50 m/min . 在甲出发 2min 后，乙从 A 乘缆车到 B ，在 B 处停留 1min 后，再从 B 匀速步行到 C ,假设缆车匀速直线运动的速度为 130 m/min ,山路 AC 长为 1260 m ,经测量 csA=1213 , csC=35
(1)求索道 AB 的长；
(2)问:乙出发多少 min 后，乙在缆车上与甲的距离最短？
(3)为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3min ， Z2 步行的速度应控制在什么范围内？
19.(17分)如图，设 α∈0,π ，且 α≠π2 ，当 ∠xOy=α 时，定义平面坐标系为 α 的斜坐标系. 在 α 的斜坐标系中,任意一点 P 的斜坐标这样定义: 设 e1,e2 分别为 x,y 正方向同向的单位向量,若向量 OP=xe1+ye2 ，记向量 OP=x,y . 在 α=π3 的斜坐标系中.
(1)若向量 OP=3,2 ，求 OP .
(2)已知向量 a=x1,y1,b=x2,y2 ，证明: a⋅b=x1x2+y1y2+12x1y2+x2y1 .
(3)若向量 a,b 的斜坐标分别为 sin2x,3cs2x 和 1,−1,x∈R ，设函数 fx=a⋅b ， gx=ex+e−x,ℎx=lnx+fπ8x+π6.
①证明: ℎx 有且只有一个零点 x0 .
②比较 gsinπ4x0 与 52 的大小，并说明理由. (参考数据: e=2.71828⋯ , ln2=0.69314⋯ )