人教A版 (2019)必修 第一册函数的零点与方程的解课时训练

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册函数的零点与方程的解课时训练，共13页。
题型一：求函数的零点
题型二：根据零点求函数解析式的参数
题型三：零点存在性定理的应用
题型四：根据零点所在区间求参数范围
题型五：根据零点的个数求参数范围
题型六：一次函数零点分布求参数范围
题型七：二次函数零点分布求参数范围
题型八：指对幂函数零点分布求参数范围
题型九： 函数与方程的综合应用
【知识点梳理】
知识点一：函数的零点
1、函数的零点
（1）一般地，如果函数在实数处的值等于零，即，则叫做这个函数的零点.
知识点诠释：
①函数的零点是一个实数，当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零；
②函数的零点也就是函数的图象与轴交点的横坐标；
③函数的零点就是方程的实数根．
归纳：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．
（2）二次函数的零点
二次函数的零点个数，方程的实根个数见下表.
（3）二次函数零点的性质
①二次函数的图象是连续的，当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号.
②相邻两个零点之间的所有的函数值保持同号.
引伸：对任意函数，只要它的图象是连续不间断的，上述性质同样成立.
2、函数零点的判定
（1）利用函数零点存在性的判定定理
如果函数在一个区间上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即，则这个函数在这个区间上，至少有一个零点，即存在一点，使，这个也就是方程的根.
知识点诠释：
①满足上述条件，我们只能判定区间内有零点，但不能确定有几个．若函数在区间内单调，则只有一个；若不单调，则个数不确定．
②若函数在区间上有，在内也可能有零点，例如在上，在区间上就是这样的．故在内有零点，不一定有．
③若函数在区间上的图象不是连续不断的曲线，在内也可能是有零点，例如函数在上就是这样的．
（2）利用方程求解法
求函数的零点时，先考虑解方程，方程无实根则函数无零点，方程有实根则函数有零点．
（3）利用数形结合法
函数的零点就是方程的实数根，也就是函数的图象与的图象交点的横坐标．
【方法技巧与总结】
1、函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，，且具有单调性，则函数在区间内只有一个零点.
2、函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，函数在区间内有零点，且函数具有单调性，则
3、零点个数的判断方法
（1）直接法：直接求零点，令，如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点.
（2）定理法：利用零点存在定理，函数的图象在区间上是连续不断的曲线，且，
结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点.
（3）数形结合法：
①单个函数图象：利用图象交点的个数，画出函数的图象，函数的图象与轴交点的个数就是函数的零点个数；
②两个函数图象：将函数拆成两个函数和的差，根据，则函数的零点个数就是函数和的图象的交点个数.
4、判断函数零点所在区间
（1）将区间端点代入函数求函数的值；
（2）将所得函数值相乘，并进行符号判断；
（3）若符号为正且在该区间内是递增或递减，则函数在该区间内无零点；若符号为负且函数图象连续，则函数在该区间内至少一个零点。
5、已知函数零点个数，求参数取值范围的方法
（1）直接法：利用零点存在的判定定理建立不等式；
（2）数形结合法：转化为两个函数图象的交点问题，再结合图象求参数的取值范围；
（3）分离参数法：分离参数后转化为求函数的值域问题．
【典型例题】
题型一：求函数的零点
例1．（2022·全国·高一课时练习）函数的零点为（ ）
A．10B．9C．（10，0）D．（9，0）
例2．（2022·全国·高一课时练习）若是函数的一个零点，则的另一个零点为（ ）
A．1B．2C．（1，0）D．（2，0）
例3．（2022·广西玉林·高一期末）若关于x的不等式的解集为，则关于函数，下列说法不正确的是（ ）
A．在上单调递减B．有2个零点，分别为1和3
C．在上单调递增D．最小值是
变式1．若为奇函数，且是 的一个零点，则一定是下列哪个函数的零点（ ）
A．B．
C．D．
【方法技巧与总结】
求函数的零点就是求相应方程的实数根，一般可以借助求根公式或因式分解等方法，求出方程的根，从而得到函数的零点.
题型二：根据零点求函数解析式的参数
例4．（2022·全国·高一专题练习）若满足，满足，则________ .
例5．（2022·安徽·高一阶段练习）若正实数是方程的根，则___________．
例6．（2022·全国·高一单元测试）已知实数满足，函数有两个零点，则关于函数的零点的下列关系式一定正确的是（ ）
A．B．
C．D．
变式2．（2022·北京市八一中学高一阶段练习）已知，若是函数的一个零点，是函数的一个零点，则的值为（ ）
A．1B．2021C．D．4016
变式3．已知2是函数（为常数）的零点，且，则的值为 （ ）
A．B．C．4D．3
变式4．（2022·湖北·高一阶段练习）若实数，满足，，则（ ）
A．B．1C．D．2
题型三：零点存在性定理的应用
例7．（2022·内蒙古·北方重工集团第五中学高一阶段练习（文））函数的零点所在区间是（ ）
A．B．C．D．
例8．（2022·山东·临沂二十四中高一阶段练习）方程的根所在的区间是（ ）
A．B．C．D．
例9．（2022·山西·长治市第四中学校高一期末）函数的零点所在区间为（ ）
A．B．C．D．
变式5．在下列区间中，函数的一个零点所在的区间为（ ）．
A．B．C．D．
【方法技巧与总结】
解答这类判断函数零点的大致区间的选择题，只需用函数零点的存在性定理依次检验所提供的区间，即可得到答案．
题型四：根据零点所在区间求参数范围
例10．（2022·内蒙古包头·高一期末）已知为幂函数，（，且）的图象过点．，若的零点所在区间为，那么（ ）
A．3B．2C．1D．0
例11．（2022·海南·高一期末）若函数在区间内存在零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
例12．若函数有三个零点0，1，，且(1，2)，则a的取值范围是（ ）
A．(-2，0)B．(1，2)C．(2，3)D．(-3，-2)
变式6．若函数在区间上有零点，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
变式7．（2022·全国·高一专题练习）已知函数的零点在区间上，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
变式8．若函数在区间中恰好有一个零点，则的值可能是（ ）
A．-2B．0C．1D．3
变式9．已知函数，若a，b，c互不相等，且，则abc的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
题型五：根据零点的个数求参数范围
例13．已知函数若函数有2个零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
例14．若函数有两个零点，则整数a的值共有（ ）
A．7个B．8个C．9个D．17个
例15．（2022·浙江·高一阶段练习）已知函数，若存在互不相等的实数，满足，则的取值范围是__________．
变式10．已知函数若关于x的方程有三个不同的实数根，则实数k的取值范围是________．
变式11．已知函数若方程有且仅有三个不等实根，则实数k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
变式12．（2022·全国·高一课时练习）已知函数有零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
变式13．（2022·北京大兴·高一期末）若函数恰有个零点，则的取值范围是 （ ）
A．B．C．D．
变式14．（2022·全国·高一单元测试）已知函数有唯一的零点，则实数a的值为（ ）
A．1B．－1C．0D．－2
【方法技巧与总结】
体现了函数与方程的互相转化，体现了数形结合思想的应用，它对于解决有更多限制条件的问题提供了一种新的途径．
题型六：一次函数零点分布求参数范围
例16．（2022·全国·高一专题练习）函数的零点为，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
例17．已知函数f（x）=ax-3（a>0，且a≠1），f（x0）=0，若x0∈（0，1），则实数a的取值范围是（ ）
A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，+）
例18．（2022·全国·高一专题练习）已知函数在区间上存在零点，则（ ）
A．B．C．或D．
变式15．（2022·全国·高一课时练习）若函数在内恰有一解，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
变式16．已知函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是() )
A． B． C． D．
变式17．已知且在内存在零点，则实数的取值范围是( )
A．B． C． D．
题型七：二次函数零点分布求参数范围
例19．已知函数，若在其定义域内存在实数满足，则称函数为“局部奇函数”，若函数是定义在上的“局部奇函数”，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
例20．若方程的两实根中一个小于，另一个大于，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
例21．已知关于x的不等式（4x﹣3）2≤4ax2的解集中恰有三个整数，则实数a的取值范围是（ ）
A．[，3]B．（2，3]C．（2，]D．
变式18．若关于x的方程有两个不相等的实根、，且满足，则实数t的取值范围是（ ）
A．（2，5）B．
C．D．
变式19．（2022·山东·招远市第二中学高一阶段练习）已知实数，关于x的方程有两个实根，，且，则实数a，b，，的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
变式20．若关于的方程在内有解，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
变式21．已知函数的零点至少有一个大于0，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
变式22．函数在上存在零点，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．或C．D．或
变式23．若函数在区间内恰有一个零点，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
变式24．已知一元二次方程有两个实数根，，且，则m值为（ ）
A．-4B．-5C．-6D．-7
题型八：指对幂函数零点分布求参数范围
例22．已知函数的零点位于区间（）内，则（ ）
A．1B．2
C．D．4
例23．已知函数的零点位于区间内，则整数（ ）
A．1B．2C．3D．4
例24．（2022·全国·高一单元测试）已知函数，，的零点分别为，，，以下说法正确的是（ ）
A．B．C．D．
变式25．（2022·江苏·南京师范大学附属中学江宁分校高一期中）设函数，若关于的函数恰好有六个零点，则实数的取值范围是_____________．
变式26．设依次表示函数的零点，则的大小关系为______．
题型九： 函数与方程的综合应用
例25．（2022·湖南·周南中学高一阶段练习）已知函数，若方程有4个不同的根，，，，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
例26．（2022·浙江·温州市第八高级中学高一期中）设函数，若关于x的方程有四个实根，则的最小值为（ ）
A．B．C．10D．9
例27．（2022·安徽·高一阶段练习）已知函数且时，，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
变式27．已知函数，若互不相等，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
变式28．（2022·河南·信阳高中高一阶段练习（理））已知函数若关于x的方程有8个不同的实数根，则实数b的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．[﹣5，﹣4]
变式29．（2022·广东·深圳科学高中高一期中）已知函数，若方程有六个相异实根，则实数的取值范围（ ）
A．B．C．D．
变式30．（2022·全国·高一课时练习）已知定义在上的函数的图像连续不断，若存在常数，使得对于任意的实数恒成立，则称是“回旋函数”．若函数是“回旋函数”，且，则在上（ ）
A．至多有2022个零点B．至多有1011个零点
C．至少有2022个零点D．至少有1011个零点
变式31．（2022·全国·高一课时练习）已知函数，若关于的方程有个不同的实数根，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
变式32．（2022·湖北·华中师大一附中高一阶段练习）若对于定义域内的每一个，都有，则称函数为“双倍函数”.已知函数是定义在上的“双2倍函数”，且当时，，若函数恰有4个不同的零点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
变式33．（2022·贵州·遵义航天高级中学高一阶段练习）已知函数，若有四个不等实根，且，求的取值范围（ ）
A．（－∞，－3）B．（－3，+∞）
C．[－，－3)D．[－，－3]
【同步练习】
一、单选题
1．（2022·辽宁·金石高级中学高一阶段练习）已知关于的方程有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21.则实数的值是（ ）
A．17B．－1C．17或－1D．－17或1
2．（2022·全国·高一单元测试）在下列区间中，函数的零点所在的区间为（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·全国·高一课时练习）若函数的零点为2，则函数的零点是（ ）
A．0，B．0，C．0，2D．2，
4．已知函数的零点为，不等式的最小整数解为k，则k＝（ ）
A．8B．7C．5D．6
5．（2022·全国·高一专题练习）下列函数中，是偶函数且不存在零点的是（ ）
A．B．
C．D．
6．（2022·全国·高一专题练习）已知函数，若且，则（ ）
A．B．C．D．随值变化
7．（2022·全国·高一单元测试）已知，分别是方程，的根，则（ ）
A．1B．2C．D．
8．（2022·河南洛阳·高一期末（文））已知函数，，的零点分别为，，，则，，的大小顺序为（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
9．（2022·全国·高一专题练习）关于函数，下列描述正确的有（ ）
A．在区间上单调递增B． 的图象关于直线对称
C．若则D．有且仅有两个零点
10．（2022·全国·高一课时练习）（多选）下列函数不存在零点的是（ ）
A．B．
C．D．
11．若函数的图像在R上连续，且，，，则下列说法正确的是（ ）
A．函数在区间上有且只有1个零点
B．函数在区间上一定没有零点
C．函数在区间上可能有零点
D．函数在区间上至少有1个零点
12．函数有两个零点，且，下列说法错误的有（ ）
A．且B．且C．且D．
三、填空题
13．（2022·江苏·宿迁中学高一期中）已知函数，若在上单调递增，且有两个零点，则满足题意的一个实数的值可以为 ______．
14．（2022·甘肃·庆阳第六中学高一阶段练习）已知函数的零点是和，则________.
15．若二次函数有且只有一个零点，则实数的值为_________．
16．已知函数在区间上有零点，则的取值范围为___________.
四、解答题
17．用反证法证明：对任意的，关于的方程与至少有一个方程有实根.
18．（2022·山东·临沂二十四中高一阶段练习）已知函数 ．
(1)若 ，求函数 的零点；
(2)探索是否存在实数 ，使得函数 为奇函数？若存在，求出实数 的值并证明；若不存在，请说明理由．
19．（2022·全国·高一专题练习）已知函数，且．
(1)求证：函数有两个不同的零点；
(2)设，是函数的两个不同的零点，求的取值范围．
20．当时，若关于x的二次方程有两个不相等的实根，求实数m的取值范围.
21．（2022·全国·高一单元测试）已知函数是偶函数.当时，.
(1)求函数在上的解析式；
(2)若函数在区间上单调，求实数a的取值范围；
(3)已知，试讨论的零点个数，并求对应的m的取值范围.
判别式
方程的根
函数的零点
两个不相等的实根
两个零点
两个相等的实根
一个二重零点
无实根
无零点