湖北省襄阳市第四中学2026届高三下学期第二次模拟测试数学试卷（Word版附解析）

这是一份湖北省襄阳市第四中学2026届高三下学期第二次模拟测试数学试卷（Word版附解析），文件包含试卷定稿pdf、化学阅卷细则1pdf等2份试卷配套教学资源，其中试卷共9页， 欢迎下载使用。
时间：120 分钟 满分：150 分
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求出集合 ，再根据并集含义即可得到答案.
【详解】 ，
则 .
故选：D.
2. 已知复数 z 满足 ，则 z 的虚部为（ ）
A. B. C. 1 D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先 ，再根据复数的模和除法运算即可求解.
【详解】由条件可知 ，
所以 的虚部为 1.
故选：C
3. 设函数 ，则 （ ）
A. 8 B. 9 C. 5 D. 4
【答案】B
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【解析】
【分析】根据题意，先求得 ，结合 ，代入计算，即可求解.
【详解】由函数 ，可得 ，
所以 .
故选：B.
4. 若数据 1，0，5，8，5 的第 百分位数为 5，则正实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据百分位数的定义求解即可.
【详解】将 5 个数从小到大排序为： 0，1，5，5，8.
因为 ，要使第 百分位数为 5，进行如下讨论：
如果 为整数，则需取数据中第 个和第 个的数的平均数，只可能 ，即 .
如果 为非整数，则需取数据中将 整数部分加 1 所在位置的数，
所以得到 或 解得 ，
综上可得 .
故选：C.
5. “……《春天的 21840 种可能》，但这比起你们的未来，都还远远不及，因为你们未来的可能是无穷尽．”
这是毕业典礼上老师送给同学们的一段寄语，H 老师借“21840”与“无穷尽”命题如下：设集合
， ， 为数列 的前 项和，若 取 中每个数字的概率相同．记
为事件“ 等于奇数”的概率，当 趋近于无穷大时， 的近似值为 ，则（ ）．
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】A
【解析】
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【分析】集合 A 中有 1 个奇数和 4 个偶数，因此每次选择奇数的概率为 ，选择偶数的概率为 ，利用马
尔科夫链可以建立起 的递推公式，即可得到答案.
【详解】 中只有一个奇数，其余四个均为偶数。取到奇数的概率为 ，取到偶数的概率为 ，
的奇偶性取决于奇数项的数量，因为偶数项的和不改变奇偶性.
设 ， ，有 ；
考虑递推关系：
代入 ， ，
，
当 时， ，为奇数的概率为 ，故 .
所以 是以 为首项， 为公比的等比数列；
所以 ，
当 时， ，
当 时， .
故选：A
6. 函数 部分图象是（ ）
A. B.
C. D.
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【答案】A
【解析】
【分析】根据 附近的函数值即可排除 BC；根据 的符号即可排除 D.
【详解】函数 的定义域为 ，关于原点对称，
因为 ，所以函数 为奇函数，
当 且 时， ，故排除 BC；
又 ，故排除 D.
故选：A.
7. 已知 是椭圆 的左焦点，直线 交椭圆 于 两点.若
，则椭圆 的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据直线和椭圆的性质得出 为平行四边形，再应用椭圆定义结合余弦定理计算得出齐次
式得到离心率即可.
【详解】设 是椭圆 的右焦点，连接 ，
由对称性可知 ，
则 为平行四边形，则 ，即 ，
因为 ，则 ，
在 中，由余弦定理可得 ，
即 ，
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解得 ，所以椭圆 的离心率为 .
故选：A.
8. 函数 所有零点的和等于（ ）
A. 6 B. 7.5 C. 9 D. 12
【答案】C
【解析】
【分析】将问题转化为 与半圆 的交点，结合图象求得和.
【详解】由 解得 ，所以 的定义域是 .
由 两边平方并化简得 ，
即 ，所以 表示以 为圆心，半径为 的半圆.
由 得 ，
的零点，也即 与半圆 的交点的横坐标，
与半圆 的图象都关于直线 对称，
画出 与半圆 的图象如下图所示，
由图可知，两个函数图象有 个交点，且两两关于直线 对称，
所以 的零点和为 .
故选：C
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二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 已知 ，若 , 分别表示 中的较大者和较小者，则下列选项中，是命题
“ ”的充要条件的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】首先明确充要条件的定义：若 是 的充要条件，则 （ 能推出 ， 也能推出 ）；再
由已知 的含义是 且 ，逐一分析选项即可.
【详解】选项 A：若 且 ，则 ， ， 是其中较大的数，
一定大于这个较大的数，充分性成立；
若 ，说明 和 都不为 0（若其中一个为 0，比如 ，
则 ，不满足不等式），即 且 ，必要性成立；
因此 A 是充要条件；
选项 B：若 且 ，则 ， ，故 ，充分性成立；
若 ，则 且 ，即 且 ，必要性成立；
因此 B 是充要条件；
选项 C：若 且 ，则 ，分式有意义且分子 ，
故分式≠0，充分性成立；
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若 ，则 （分母不为 0）且 ，
因此 且 ，必要性成立；
因此 C 是充要条件；
选项 D：存在反例：取 ， ，此时 ，
满足 ，但 ，
故 ，不满足“ ”， 所以充分性不成立，
因此 D 不是“ ”的充要条件.
综上，符合条件的选项是 ABC.
故选：ABC.
10. 设 ，且 ．若随机变量 满足 ，则（已知若随机
变量 ，则 ）（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用二项分布的期望与方差公式可判定 A，利用随机变量的期望与方差公式可判定 B、C，由正态
分布的对称性可判定 D.
【详解】依据二项分布相关公式， ．
依据正态分布定义， ．
故而由期望可加性， A 选项正确．
由随机变量数学期望和方差的相关性质， ，
，因此 B 选项正确，C 选项错误．
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由正态分布的相关性质，有 ，
而 ，所以 ，D 选项正确．
故选：ABD
11. 双曲线具有光学性质：从双曲线一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经
过双曲线的另一个焦点．如图，双曲线 的左、右焦点分别为 ，从 发出的两条光线
经过 的右支上的 两点反射后，分别经过点 和 ，其中 共线，则（ ）
A. 若直线 的斜率 存在，则 的取值范围为
B. 当点 的坐标为 时，光线由 经过点 到达点 所经过的路程为 6
C. 当 时， 的面积为 12
D. 当 时，
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据双曲线的渐近线的斜率，可得判定 A 正确；根据双曲线的定义，求得由 经过点 到达点
所经过的路程，可判定 B 正确；根据向量的数量积的运算，得到 ，得到 ，设
， 列 出 方 程 ， 求 得 ， 进 而 可 判 定 C 错 误 ； 在 直 角 中 ， 结 合
，可判定 D 正确．
【详解】如图所示，过点 分别作 的两条渐近线的平行线 ，则 的斜率分别为 和 ，
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对于 A 中，由图可知，当点 均在 的右支时， 或 ，所以 A 正确；
对于 B 中，光线由 经过点 到达点 所经过的路程为
，所以 B 正确；
对于 C 中，由 ，得 ，即 ，所以 ，
设 ，则 ，
因为 ，所以 ，整理得 ，
解得 或 （舍去），所以 ， ，
所以 的面积 ，所以 C 错误；
对于 D 项，在直角 中， ，
所以 ，所以 D 正确．
故选：ABD．
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 设 ，则 ______.
【答案】
【解析】
【分析】由 并写出展开式通项公式，结合已知求对应项的系数即可.
【详解】由 ，则展开式通项为 且 ，
当 ，则 ，故 .
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故答案为：
13. 将一颗质地均匀的骰子投掷两次；第一次出现的点数记为 a，第二次出现的点数记为 b，设任意投掷两
次使两条直线 ： ， ： 平行的概率为 ，相交的概率为 ，若点 在圆
的内部，则实数 m 的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】首先根据两直线的位置关系求 的关系式，再根据古典概型概率公式求 和 ，最后根据点与
圆的位置关系，列不等式，即可求解.
【详解】若 ，则 ，即 ，且 ，
则满足条件的 为 ，所以 ；
若两直线重合，则 ，则 ，所以不成立，
所以两直线相交的概率 ,
则 ，得 .
故答案为：
14. 实数 满足 ，，则 的最小值是__________.
【答案】
【解析】
【分析】化简得到 ，由 ，由 ，求得
，得到 ，转化为
图象上的点到直线 上一点的距离，结合导数的几何意义，即可求解.
【详解】由 ，
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因为 ，可得 ，
所以 ，
又由 ，可得 ，所以 在 上单调递增，
又因为 ，则 ，
则 ，
表示函数 图象上的点到直线 上一点的距离，
则最小值为 图象与直线 平行的切线到直线 的距离，
设切点为 ，其中 ，由 ，可得 ，
令 ，解得 ，可得 ，即切点为 ，
可得切点为 直线 距离为 ，
即 的最小值是 .
故答案为： .
四、解答题：本题共 3 小题，共 47 分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤.
15. 如图，在三棱柱 中， ， 为 上的点，且 .
（1）证明： 平面 ；
（2）若底面 是等边三角形，侧面 是菱形， ，且平面 平面 ，求
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二面角 的正弦值.
【答案】（1）证明见解析；
（2） .
【解析】
【分析】（1）通过作辅助线证明 ，再通过线面平行的判定定理即可证明；
（2）先证 平面 ，再建立空间直角坐标系求出平面 的法向量和平面 的法向量，最
后求解二面角的正弦值即可.
【小问 1 详解】
如图，连接 交 于点 ，连接 ，
因为 是平行四边形，故 为 的中点，
又 ，故 为 的中位线，所以 .
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 .
【小问 2 详解】
设 的中点为 ，因为底面 是等边三角形，侧面 是菱形， ，且平面
平面 ，连接 ， ，则 ，
又 ，且平面 平面 ， 平面 ，故 平面 .
以 为坐标原点， 的方向为 轴正方向， 的方向为 轴正方向， 的方向为 轴正方向建立空间
直角坐标系.
设 ，则由几何关系可知 ， ， ， ，
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故 ， ， .
设平面 的法向量为 ，平面 的法向量为 ，则有
及
不妨取 ， ，则 ， .
故 .
故二面角 的正弦值为 .
16. 已知 和 为双曲线 上两点.
（1）求 的离心率；
（2）在 上是否存在点 ，使得 的面积为 ？若存在，求所有满足要求的点 的坐标；若不存在，
说明理由.
【答案】（1）2 （2）存在， ， ， ， .
【解析】
【分析】（1）根据题意，列出关于 的方程组，求得 的值，结合离心率的计算公式，即可求解；
（2）方法 1：假设存在满足条件的点 ，当 垂直于 轴时，求得 ，满足题意；当 不垂直于 轴
时，设直线 的方程为 ，联立方程组，求得 ，结合弦长公式和点到直线的距离公式，列
出方程求得 的值，进而得到点 的坐标；
方法 2：求得 ，且 的方程为 ，根据题意，得到点 到直线 的距离
，利用点到直线的距离公式，求得 或 ，联立方程组，进而求得点 的坐标.
【小问 1 详解】
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解：由点 和 为双曲线 上两点，
可得 ，解得 ，此时双曲线 的方程为 ，
所以双曲线 的离心率 .
【小问 2 详解】
解：方法 1：假设存在满足条件的点 ，且设 为直线 ，
当 垂直于 轴时， ，此时 ，满足题意；
当 不垂直于 轴时，设直线 的方程为 ，
联立方程组 ，整理得 ，
则 且 ，可得 且 ，
设 ，可得 ，所以 ，
则 ，
又因为 到 的距离为 ，所以 的面积为 ，
令 ，可得 或 ，
解得 或 或 ，
因为 ，故当 时， ，
又因为 ，可得 ，故 ；
同理可得，当 时， ；当 时， ，
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综上，所有满足要求的点 的坐标为 ， ， ， .
方法 2：因为点 和 ，可得 ，
且直线 的方程为 ，
假设存在满足条件的点 ，设点 到直线 的距离为 ，
若 的面积为 3，则 ，解得 ，
设过 且平行于直线 的直线为 ，则 ，
解得 或 ，
当 时，可得 ，联立方程组 ，解得 ， ，
代入 的方程，可得 或 ；
当 时，可得 ，联立方程组 ，解得 ， ，
代入 的方程，可得 或 ，
综上可得，所有满足要求的点 的坐标为 ， ， ， .
17. 已知函数 .
（1）讨论 在 的单调性；
（2）证明：当 时， ；
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（3）设 ， 为正数，若点 关于直线 的对称点在曲线 上，证明：
.
【答案】（1） 在 单调递增
（2）证明见解析 （3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用函数导数判断函数的单调性；
（2）设 ，结合导数判断函数的单调性证得不等式；
（3）根据对称性结合函数的导数证得函数的不等关系；
【小问 1 详解】
根据题意有 .
当 时， ；
当 时， ， ，故 ，
所以 在 单调递增.
【小问 2 详解】
设 ，则 ，
设 ，则 ，
当 时， ， 单调递增，
故 ，
故 单调递增，
故当 时， ，即 .
【小问 3 详解】
因为点 关于直线 的对称点为 ，且在 上，故 .
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由（1）可知 在 单调递增，且由（2）可知 ，
故 .
由 可知， 等价于 .
设 ，
则 .
设 ，
则当 时， ，
故当 时， 单调递增， ，
所以当 时， ， 单调递增.
又由（1）及（2）可知， ，所以 ，即 .
综上， .
18. 某零件厂销售部以箱为单位销售某种零件，每箱零件的定价为 500 元，低于 200 箱按原价销售，不低于
200 箱有两种优惠方案．方案一：以 200 箱为基准，每多 100 箱免 12 箱的金额．方案二：通过双方议价，
买方能以每箱优惠 的价格成交的概率为 0.3，以每箱优惠 的价格成交的概率为 0.4，以每箱优惠
的价格成交的概率为 0.3．
（1）买方甲要在该厂购买 200 箱这种零件，并选择方案二，求甲以低于 万元的金额购买这 200 箱零件
的概率．
（2）买方乙要在该厂购买 400 箱这种零件，以购买总价的数学期望为决策依据，试问乙选择哪种优惠方案
更划算？请说明你的理由．
（3）买方丙要在该厂购买 960 箱这种零件，由于购买的箱数超过 500，该厂的销售部让丙综合使用这两种
方案作为第三种方案，即一部分用方案一（箱数必须是 100 的正整数倍），另一部分使用方案二（箱数不限），
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试问丙应该如何使用方案三，才能获得最多的优惠？说明你的理由．
【答案】（1）0.7 （2）方案二更优惠，理由见解析
（3）应该选择 900 箱使用方案一，60 箱使用方案二，这样才能获得最多的优惠，理由见解析
【解析】
【分析】（1）分别计算买方甲以每箱优惠 ， ， 的价格成交的金额，再与 万元比较即可求解；
（2）先计算乙选择方案一的成交金额，再计算乙选择方案二的成交金额的数学期望，比较大小即可判断；
（3）设丙用方案一购买 箱，表示出丙购买的金额的期望为 万元，
利用 为减函数即可做出决策.
【小问 1 详解】
买方甲要在该厂购买 200 箱这种零件，并选择方案二，
若甲以每箱优惠 的价格成交，则成交的金额为 万元;
若甲以每箱优惠 的价格成交，则成交的金额为 万元;
若甲以每箱优惠 的价格成交，则成交的金额为 万元
故甲以低于 万元的金额购买这 200 箱零件的概率为 ；
【小问 2 详解】
买方乙要在该厂购买 400 箱这种零件，
若乙选择方案一，则成交的金额为 万元
若乙选择方案二，设成交的金额为 万元，则 ，
所以买方乙按方案二在该厂购买 400 箱这种零件的成交金额的数学期望为
万元
因为 ，所以方案二更优惠；
【小问 3 详解】
设丙用方案一购买 箱，
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则丙用方案一需要支付的金额为 元，
方案二需要支付的金额的期望为 元，
所以丙购买的金额的期望为 万元
因为 为减函数，所以 越大， 越小，
故应该选择 箱使用方案一， 箱使用方案二，这样才能获得最多的优惠.
19. 已知函数 .
（1）若 ，求函数 的极值；
（2）讨论函数 的单调性；
（3）若函数 的最小值为 0，求 的值.
【答案】（1） 有极小值 ，无极大值；
（2）答案见详解； （3）
【解析】
【分析】（1）利用导数讨论函数单调性，根据单调性可得极值；
（2）求得 ，分 、 、 、 四种情况讨论，分析导数的符号变
换，由此可得出函数 的增区间和减区间；
（3）分 ， 两种情况分类求出最小值即可列式求参.
【小问 1 详解】
当 时， ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
所以， 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以，当 时， 有极小值 ，无极大值.
【小问 2 详解】
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若 ，则 时 单调递减， 时 单调递增；
若 ，则 时 单调递增，
时 单调递减， 时 单调递增；
若 ，则 时 单调递增；
若 ，则 时 单调递增， 时 单调递减， 时
单调递增
【小问 3 详解】
令 ，
当 时， ，函数 在 上单调递增，故无最小值
所以 ，由 得 ，
所以 时 单调递减， 时 单调递增，
所以 ，
所以 .
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