浙江省杭州市学军中学2025-2026学年高一下学期月考一数学试卷（Word版附解析）

这是一份浙江省杭州市学军中学2025-2026学年高一下学期月考一数学试卷（Word版附解析），共6页。试卷主要包含了AC，ABD等内容，欢迎下载使用。
【详解】令 ，解得 ，则 ，
而 ，则 .
故选：B
2．D
【详解】因为 ，因此复数 的共轭复数是 .
故选：D.
3．A
【详解】当 时， ，所以 ，
当 时， ，即 ，所以 或
，则 或 ，
故“ ”是“ ”的充分不必要条件.
4．B
【详解】因为 是直角三角形， ，
所以 ，
画出 如图所示，
，
所以 .
故选：B.
5．A
【详解】因为任意 ，都有 成立，
所以 在 上单调递减，
故 ，解得 ，
故实数 的取值范围为 .
故选：A
6．C
【详解】由侧棱 底面 ，则 ，
由题意，知 为直三棱柱，则 为矩形，
根据其对角线相互平分，且 平面 ，
所以点 到平面 的距离，即为点 到平面 的距离 ，
由 ，则 ，得
故选：C
7．D
【详解】由已知，
；
；
联立可得 .
设 ， .
则 .
因为 ，所以 ，解得 .
所以 ，点 是 上靠近点 的三等分点，
所以 ；
8．B
【详解】设 ， ，
则 ， ，
，
则
，
同理可得： ，
所以
，
所以 ，
因为对任意 ，都存在 ，使得 成立，
即 ，所以 ，即实数 的取值范围为 .
故选：B.
9．AC
【详解】对 A， ，则 ，故 A 正确；
对 B， 在 上的投影向量为 ，故 B 错误；
对 C， 与 夹角的余弦值为 ，故 C 正确；
对 D， ，若 与 垂直，
则 ，解得 ，故 D 错误.
10．ABD
【详解】对于 A：因为周期 ，所以 ，故 A 正确；
对于 B：代入 得 ，所以 ，
则 ，因为 ，所以 ，则 ，其对称轴为
，所以 是 的对称轴，故 B 正确；
对于 C：因为 ，所以 ，所以 ，故
C 错误；
对于 D： ，
令 ，所以 ．
所以当 时取到最大值，此时 ，
故 D 正确．
11．ACD
【详解】对于 A，因为底面 为边长是 的正方形，所以 ，
又半圆面 底面 ，半圆面 底面 ， 底面 ，所以
半圆面 ；
又 半圆面 ，所以 ， ，所以 是直角三角形；
因为 是圆的直径，所以 ，所以 是直角三角形；
因为 ，所以 是直角三角形；
因为 ， ， ， 底面 ，所以 平面 ；
又 平面 ，所以 ，所以 是直角三角形；
所以三棱锥 的每个侧面三角形都是直角三角形，故 A 正确；
对于 B，在三棱锥 中， 半圆面 ，所以 是三棱锥 的高；
当点 是半圆弧 的中点时，三棱锥 的底面积 取得最大值 ，此时
三棱锥 的体积取得最大值 ，即三棱锥 的体积的最大值为 ，
故 B 错误；
对于 C，如图，取 的中点 ，由 A 选项知 ，所以点
为三棱锥 外接球的球心，所以三棱锥 外接球的表面积为
，故 C 正确；
对于 D，如图，过点 作 于 ，连接 ，
因为半圆面 底面 ，半圆面 底面 ， 半圆面 ，所
以 面 ；
所以 为 在面 内的射影，所以 为直线 与平面 所成角的平面角；
设 ，则 ， ，则在直角三角形 中，
， ，
所以 ；
所以 ；
令 ，则 ，且 ，所以
；
又 ，当且仅当 ，即 时，取等号；
所以 ，所以
，
所以 ，即直线 与平面 所成最大角的正弦值为 ，故 D 正确.
故选：ACD.
12．
【详解】设水面升高了 cm，由题意知 ，解得： .
13．
【详解】由 是 边上靠近 的三等分点，
可得： ，
又因为 ，所以 ，
又因为 三点共线，所以
又因为 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时取得等号，
所以 的最小值为 ．
14．
【详解】由题设，两圆半径相等，设内切圆半径为 .
设圆 为 的内切圆，该圆与 的切点为 ，
圆 为 的内切圆，该圆与 的切点为 ，则 为 的平分线.
因为 ，故 ，
故 ，故 （负值舍去），
同理 ，
设 ，则 ， ，
故 且 ，
所以 ，即 ，
故 ，故 （负值舍去）.
故 ，而 为锐角，
故 ，而 ，因 为锐角，
故 ， ，
所以
，
在 中，由正弦定理可得 ，
故 ，故 ，故 .