2026年广东省初中学业水平考试（数学）模拟含答案（二）

这是一份2026年广东省初中学业水平考试（数学）模拟含答案（二）试卷主要包含了在平面直角坐标系中，点A象限，下列运算正确的是等内容，欢迎下载使用。
一．选择题（共10小题）
一．选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．下列选项记录了我国四个直辖市某年一月份的平均气温，其中气温最低的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】0℃以下记为负数，0℃以上记为正数，温度都小于0℃时，绝对值最大的，温度最低．
【解答】解：∵|﹣4.6|＝4.6，|﹣3.2|＝3.2，4.6＞3.2，
∴﹣4.6＜﹣3.2＜5.8＜8.1，
∴气温最低的是北京．
故选：A．
【点评】本题考查了温度的比较以及正负数的概念，掌握比较有理数大小的方法是解决本题的关键．
2．查询DeepSeek，2026年元旦当天整个珠三角铁路发送旅客量达到2492000人次，创下了历年元旦假期客流量的新高．为读写方便，可将2492000用科学记数法表示为（ ）
A．24.92×107B．2.492×106
C．2.492×105D．0.2492×107
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：2492000用科学记数法表示为2.492×106．
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．在平面直角坐标系中，点A（﹣a2﹣3，2）在第（ ）象限．
A．一B．二C．三D．四
【分析】由非负数的性质判断点A的横纵坐标的符号，从而确定象限．
【解答】解∵a2≥0，
∴﹣a2≤0，
∴﹣a2﹣3＜0，
∵xA＜0，yA＞0，
∴点A在第二象限．
故选：B．
【点评】本题考查的是点的坐标，熟练掌握各象限内点的坐标特点是解题的关键．
4．若a＞b，则下列不等式不正确的是（ ）
A．a+2＞b+2B．8a＞8bC．﹣2a＞﹣2bD．a﹣1＞b﹣2
【分析】根据不等式的性质逐项计算即可．
【解答】解：A、∵a＞b，
∴a+2＞b+2，故本选项不符合题意；
B、∵a＞b，
∴8a＞8b，故本选项不符合题意；
C、∵a＞b，
∴﹣2a＜﹣2b，故本选项符合题意；
D、∵a＞b，
∴a﹣1＞b﹣1＞b﹣2，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查不等式的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
5．下列运算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6B．（a3）2＝a6
C．a6÷a2＝a3D．（a﹣1）2＝a2﹣1
【分析】需根据同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法、完全平方公式，分别计算各选项判断正误．
【解答】解：根据同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法、完全平方公式逐项分析判断如下：
A、根据同底数幂乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，a2•a3＝a5，故A错误；
B、根据幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘，（a3）2＝a6，故B正确；
C、根据同底数幂除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，a6÷a2＝a4，故C错误；
D、根据完全平方公式展开，（a﹣1）2＝a2﹣2a+1，故D错误．
故选：B．
【点评】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是关键．
6．若一个多边形的内角和等于1260°，则这个多边形是（ ）
A．九边形B．八边形C．六边形D．五边形
【分析】本题利用多边形内角和公式列方程，求解得到多边形的边数，即可选出正确答案．
【解答】解：设这个多边形的边数为n，
根据题意得：（n﹣2）×180°＝1260°，
解得：n＝9．
故选：A．
【点评】本题考查多边形的内角和外角，正确进行计算是解题关键．
7．小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理如图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（ ）
A．（1）处可填∠A＝90°B．（2）处可填AD＝AB
C．（3）处可填DC＝CBD．（4）处可填∠B＝∠D
【分析】根据正方形、矩形、菱形的判定定理判断即可．
【解答】解：A、有一个角是直角的平行四边形是矩形，
∴（1）处可填∠A＝90°是正确的，故该选项不符合题意；
B、一组邻边相等的矩形是正方形，
∴（2）处可填AD＝AB是正确的，故该选项不符合题意；
C、一组邻边相等的平行四边形是菱形，
∴（3）处可填DC＝CB是正确的，故该选项不符合题意；
D、有一个角是直角的菱形是正方形，
∴∠B＝∠D无法判定两角是不是直角，故该选项不符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查了矩形的判定，正方形的判定和菱形的判定，熟练掌握特殊四边形的关系是解题的关键．
8．若方程x2﹣3x+1＝0的两个实数根分别是x1，x2，则x12+x22的值为（ ）
A．7B．9C．11D．13
【分析】由根与系数的关系求出x1+x2和x1x2的值，再根据x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2列式求解即可．
【解答】解：由条件可知x1+x2＝3，x1x2＝1，
∴x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2=32−2×1=9−2=7．
故选：A．
【点评】本题考查了故系数的关系，熟练掌握该知识点是关键．
9．如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，∠AOB＝2∠BOC，连接AB，AC，BC，若∠OBA＝50°，则∠BAC的度数为（ ）
A．40°B．20°C．30°D．10°
【分析】由OA＝OB，得∠OAB＝∠OBA＝50°，由三角形内角和定理求得∠AOB＝80°，因为∠AOB＝2∠BOC，所以∠BOC=12∠AOB＝40°，由圆周角定理得∠BAC=12∠BOC＝20°，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA＝50°，
∴∠AOB＝180°﹣∠OAB﹣∠OBA＝80°，
∵∠AOB＝2∠BOC，
∴∠BOC=12∠AOB＝40°，
∴∠BAC=12∠BOC＝20°，
故选：B．
【点评】此题重点考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理、圆周角定理等知识，正确理解和应用三角形内角和定理及圆周角定理是解题的关键．
10．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则一次函数y＝ax+bc的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】首先根据二次函数图象得出a，b，c的符号，进而利用一次函数性质得出图象经过的象限．
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵对称轴在y轴右侧，
∴−b2a＞0，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴交点在正半轴，
∴c＞0，
∴bc＞0，
∴一次函数y＝ax+bc的图象过一、二、四象限，只有D选项符合要求．
故选：D．
【点评】本题考查二次函数图象和一次函数图象和性质，掌握它们的性质是解题的关键．
二．填空题:本大题共5小题，每小题3分，共15分.
11．分解因式：3xy2﹣6xy+3x＝ 3x（y﹣1）2 ．
【分析】先提公因式，再利用完全平方公式分解因式即可．
【解答】解：3xy2﹣6xy+3x
＝3x（y2﹣2y+1）
＝3x（y﹣1）2，
故答案为：3x（y﹣1）2．
【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握这两种因式分解的方法是解题的关键．
12．一副直角三角板如图所示放置，点E在BC的延长线上，BC∥DF，则∠CDE的度数为 15° ．
【分析】由平行线的性质推出∠CDF＝∠ACB＝45°，即可求出∠CDE＝∠CDF﹣∠EDF＝15°．
【解答】解：∵BC∥DF，
∴∠CDF＝∠ACB＝45°，
∵∠EDF＝30°，
∴∠CDE＝∠CDF﹣∠EDF＝15°．
故答案为：15°．
【点评】本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出∠CDF＝∠ACB．
13．若x＝2y+1，则3x﹣6y+5＝ 8 ．
【分析】根据已知条件将要求代数式变形，然后整体代入求值即可．
【解答】解：∵x＝2y+1，
∴x﹣2y＝1，
∴当x﹣2y＝1时，原式＝3（x﹣2y）+5＝3×1+5＝8．
故答案为：8．
【点评】本题考查代数式求值，按照代数式规定的运算，计算的结果就是代数式的值．
14．有五张背面完全相同的卡片，正面分别标有数字−2，−5，0，2，π，现将卡片背面朝上并洗匀，从中抽取两张，两张卡片上的数字之和为正数的概率为 35 ．
【分析】先列出所有等可能的抽取结果，再找出数字之和为正数的结果，根据概率公式计算即可．
【解答】解：列表得出所有等可能结果如下：
由表可知，共有20种等可能的结果，其中两张卡片上的数字之和为正数的结果有12种，
根据概率公式，得所求概率为1220=35
故答案为：35．
【点评】本题主要考查了列表法与树状图法，概率公式，掌握其相关知识点是解题的关键．
15．如图，△ABC是边长为1的等边三角形，取BC边中点E，作ED∥AB，EF∥AC，得到四边形EDAF，它的周长记作C1；取BE中点E1，作E1D1∥FB，E1F1∥EF，得到四边形E1D1FF1，它的周长记作C2，⋯，照此规律作下去，则C2027＝ 122025 ．
【分析】根据三角形的中位线求解C1=4×12，找规律可得Cn=4×12n，据此规律可求解．
【解答】解：∵△ABC是边长为1的等边三角形，
∴AB＝BC＝AC＝1，
∵E是BC边中点，ED∥AB，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE=12AB=12，AD=12AC=12，
∵EF∥AC，
∴四边形EDAF是菱形，
∴C1=4×12，
同理：以此方法得到的四边形都为菱形，且边长为前一个菱形边长的12，
即C2=4×12×12=4×122，C3=4×12×12×12=4×123，……，Cn=4×12n，
∴C2027=4×122027=22×122027=122025．
【点评】本题主要考查了三角形中位线定理，解题的关键是找到规律．
三．解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分.
16．解方程：
解一元二次方程x2﹣2x＝3时，小江同学的解法如表所示：
（1）你认为x1＝1是原方程的解吗？请检验（写出检验过程）；
（2）请选择合适的方法解原方程．
【分析】（1）根据题意，将x＝1代入方程进行计算即可；
（2）利用因式分解法对所给一元二次方程进行求解即可．
【解答】解：（1）x1＝1不是原方程的解，理由如下：
当x＝1时，
左边＝12﹣2×1＝﹣1，右边＝3，
因为左边≠右边，
所以x＝1不是原方程的解；
（2）x2﹣2x＝3，
x2﹣2x﹣3＝0，
（x+1）（x﹣3）＝0，
则x+1＝0或x﹣3＝0，
所以x1＝﹣1，x2＝3．
【点评】本题主要考查了解一元二次方程﹣因式分解法及解一元二次方程﹣配方法，熟知配方法及因式分解法解一元二次方程的步骤是解题的关键．
17．已知蓄电池的电压为定值．使用此蓄电池作为电源时，电流Ⅰ（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．
（1）求这个反比例函数的表达式；
（2）如果以此蓄电池为电源的用电器的电流不能超过8A，那么该用电器的可变电阻至少是多少？
【分析】（1）反比例函数经过点（10，4），代入反比例函数式，即可求得函数解析式．
（2）I≤8时，根据反比例函数的单调递减性质，求电阻R的范围．
【解答】解（1）设反比例函数表达式为I=kR （k≠0）
将点（10，4）代入得4=k10
∴k＝40
∴反比例函数的表达式为I=40R
（2）由题可知，当I＝8时，R＝5，
且I随着R的增大而减小，
∴当I≤8时，R≥5
∴该用电器的可变电阻至少是5Ω．
【点评】本题主要考查反比例函数的应用问题，掌握反比例函数的单调性质是解答本题的关键．
18．为保护青少年视力，某企业研发了可升降夹书阅读架（如图1），将其放置在水平桌面上的侧面示意图（如图2），测得底座高AB为2cm，∠ABC＝150°，支架BC为18cm，面板长DE为24cm，CD为6cm．（厚度忽略不计）
（1）求支点C离桌面l的高度；（结果保留根号）
（2）当面板DE绕点C转动时，面板与桌面的夹角α满足30°≤α≤70°时，保护视力的效果较好．当α从30°变化到70°的过程中，面板上端E离桌面l的高度增加还是减少？面板上端E离桌面l的高度增加或减少了多少？（结果精确到0.1cm，参考数据：sin70°≈0.94，cs70°≈0.34，tan70°≈2.75）
【分析】（1）过点C作CF⊥l于点F，过点B作BM⊥CF于点M，易得四边形ABMF为矩形，那么可得MF＝AB＝2cm，∠ABM＝90°，所以∠MBC＝60°，利用60°的三角函数值可得CM长，加上MF长即为支点C离桌面l的高度；
（2）过点C作CN∥l，过点E作EH⊥CN于点H，分别得到CE与CN所成的角为30°和70°时EH的值，相减即可得到面板上端E离桌面l的高度增加或减少了．
【解答】解：（1）过点C作CF⊥l于点F，过点B作BM⊥CF于点M，
∴∠CFA＝∠BMC＝∠BMF＝90°．
由题意得：∠BAF＝90°，
∴四边形ABMF为矩形，
∴MF＝AB＝2cm，∠ABM＝90°．
∵∠ABC＝150°，
∴∠MBC＝60°．
∵BC＝18cm，
∴CM＝BC•sin60°＝18×32=93（cm）．
∴CF＝CM+MF＝（93+2）cm．
答：支点C离桌面l的高度为（93+2）cm；
（2）过点C作CN∥l，过点E作EH⊥CN于点H，
∴∠EHC＝90°．
∵DE＝24cm，CD＝6cm，
∴CE＝18cm．
当∠ECH＝30°时，EH＝CE•sin30°＝18×12=9（cm）；
当∠ECH＝70°时，EH＝CE•sin70°≈18×0.94＝16.92（cm）；
∴16.92﹣9＝7.92≈7.9（cm）
∴当α从30°变化到70°的过程中，面板上端E离桌面l的高度是增加了，增加了约7.9cm．
【点评】本题考查解直角三角形的应用．把所求线段和所给角放在合适的直角三角形中是解决本题的关键．用到的知识点为：sinA=∠A的对边斜边．
四．解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分.
19．安全使用电瓶车可以大幅度减少交通事故造成人身伤害，为此交警部门在全市范围开展了安全使用电瓶车专项宣传活动，在活动前和活动后分别随机抽取了部分使用电瓶车的市民，就骑电瓶车戴安全头盔情况进行问卷调查，将收集的数据制成如下统计表．
（1）表中a的值是 245 ．
（2）小星认为：宣传活动后骑电瓶车“从不戴”安全头盔的有178人，比宣传前增加了1人，因此交警部门宣传活动没有效果，小星分析数据的方法合理吗？结合统计表谈谈你的看法．
（3）宣传活动后，交警在一家有4名成员的家中，有2男2女，从4名成员中随机抽取2人进行问卷调查，请用树状图或列表法求恰好抽到一男一女的概率．
【分析】（1）由总人数减去A，C，D情况的人数即可；
（2）从统计表中综合分析；
（3）先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
【解答】解：（1）由题意得，a＝1000﹣68﹣510﹣177＝245，
故答案为：245；
（2）不合理，
虽然“从不戴”安全头盔的有178人，比宣传前增加了1人，但是之前“每次戴”的人数68人，现在已经896人了，之前“经常戴”的人数245人，现在已经702人，增加更加明显；而之前“偶尔戴”的人数510人，现在降为224人，减少明显，说明宣传有效果，不能仅仅凭“从不戴”安全头盔的人数分析，需要综合分析才可以；
（3）画树状图如下：
由树状图可知其中恰好抽到一男一女的结果数有8种，一共有12种等可能性的结果数，
∴812=23．
【点评】本题主要考查了树状图或列表法求解概率，统计表与条形统计图，正确画出树状图或列出表格是解题的关键．
20．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点D是OA上一点，DE⊥AB交BC的延长线于点E，点F是DE上一点，连接CF，CF＝EF．
（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）若AB＝DE＝8，点D是OA的中点，求BC的长．
【分析】（1）连接OC，则OC＝OB，所以∠OCB＝∠B，由DE⊥AB交BC的延长线于点E，得∠EDB＝90°，由CF＝EF，得∠FCE＝∠E，则∠OCB+∠FCE＝∠B+∠E＝90°，所以∠OCF＝90°，即可证明CF是⊙O的切线．
（2）因为AB＝DE＝8，所以OA＝OB＝4，则OD＝AD＝2，求得BD＝6，可证明△ABC∽△EBD，则BCBD=ABEB，而EB=BD2+DE2=10，所以BC=AB⋅BDEB=245．
【解答】（1）证明：连接OC，则OC＝OB，
∴∠OCB＝∠B，
∵DE⊥AB交BC的延长线于点E，
∴∠EDB＝90°，
∵CF＝EF，
∴∠FCE＝∠E，
∴∠OCB+∠FCE＝∠B+∠E＝90°，
∴∠OCF＝180°﹣（∠OCB+∠FCE）＝90°，
∵OC是⊙O的半径，且CF⊥OC，
∴CF是⊙O的切线．
（2）解：∵AB＝DE＝8，
∴OA＝OB=12AB＝4，
∵点D是OA的中点，
∴OD＝AD=12OA＝2，
∴BD＝OB+OD＝6，
∵∠ACB＝∠EDB＝90°，∠B＝∠B，
∴△ABC∽△EBD，
∴BCBD=ABEB，
∵EB=BD2+DE2=62+82=10，
∴BC=AB⋅BDEB=8×610=245，
∴BC的长是245．
【点评】此题重点考查等腰三角形的性质、直角三角形的两个锐角互余、切线的判定、直径所对的圆周角是直角、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，正确地添加辅助线是解题的关键．
21．综合与实践
【问题情境】
在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的剪拼”为主题开展数学活动．
如图1，将：矩形纸片ABCD沿对角线AC剪开，得到△ABC和△ACD．并且量得AB＝2cm，AC＝4cm．
【操作发现】
（1）将图1中的△ACD以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转∠α，使∠α＝∠BAC，得到如图2所示的△AC′D，过点C作AC′的平行线，与DC′的延长线交于点E，则四边形ACEC′的形状是 菱形 ．
（2）创新小组将图1中的△ACD以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转，使B、A、D三点在同一条直线上，得到如图3所示的△AC′D，连接CC′，取CC′的中点F，连接AF并延长至点G，使FG＝AF，连接CG、C′G，得到四边形ACGC′，请你判断四边形ACGC′的形状，并证明你的结论．
【实践探究】
（3）缜密小组在创新小组发现结论的基础上，进行如下操作：将△ABC沿着BD方向平移，使点B与点A重合，此时A点平移至A′点，A′C与BC′相交于点H，如图4所示，连接CC′，试求tan∠C′CH的值．
【分析】（1）先证∠ACD＝∠BAC，再证∠BAC＝∠AC'D，则∠CAC'＝∠AC'D，得AC∥C'E，然后证四边形ACEC'是平行四边形，即可得结论；
（2）先证∠CAC'＝90°，再证AG⊥CC'，CF＝C'F，进而证四边形ACGC'是菱形，即可得出结论；
（3）先证∠ACB＝30°，再求出BH、AH的长，然后求出CH、C'H的长，即可求解．
【解答】解：（1）在图1中，
∵AC是矩形ABCD的对角线，
∴∠B＝∠D＝90°，AB∥CD，
∴∠ACD＝∠BAC，
在图2中，由旋转知，AC'＝AC，∠AC'D＝∠ACD，
∴∠BAC＝∠AC'D，
∵∠CAC'＝∠α＝∠BAC，
∴∠CAC'＝∠AC'D，
∴AC∥C'E，
∵AC'∥CE，
∴四边形ACEC'是平行四边形，
又∵AC＝AC'，
∴▱ACEC'是菱形，
故答案为：菱形；
（2）四边形ACGC′是正方形，证明如下：
在图1中，∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠CAD＝∠ACB，∠B＝90°，
∴∠BAC+∠ACB＝90°
在图3中，由旋转知，∠DAC'＝∠DAC，
∴∠ACB＝∠DAC'，
∴∠BAC+∠DAC'＝90°，
∵点D，A，B在同一条直线上，
∴∠CAC'＝90°，
由旋转知，AC＝AC'，
∵点F是CC'的中点，
∴AG⊥CC'，CF＝C'F，
∵AF＝FG，
∴四边形ACGC'是平行四边形，
∵AG⊥CC'，
∴▱ACGC'是菱形，
又∵∠CAC'＝90°，
∴菱形ACGC'是正方形；
（3）在Rt△ABC中，AB＝2cm，AC＝4cm，
∴AC'＝AC＝4cm，
∴AD＝BC=42−22=23（cm），sin∠ACB=ABAC=12，
∴∠ACB＝30°，
由（2）结合平移知，∠CHC'＝90°，
在Rt△BCH中，∠ACB＝30°，
∴BH＝BC•sin30°＝23×12=3（cm），
∴C'H＝BC'﹣BH＝（4−3）cm，
在Rt△ABH中，AH=12AB＝2（cm），
∴CH＝AC﹣AH＝4﹣1＝3（cm），
在Rt△CHC'中，tan∠C′CH=C′HCH=4−33．
【点评】此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定，正方形的判定与性质，勾股定理，锐角三角函数定义，旋转的性质等知识；本题综合性强，熟练掌握旋转的性质和平行四边形的判定与性质，证明∠CAC'＝90°是解题的关键，属于中考常考题型．
五．解答题（三）：本大题共2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分.
22．【定义】
在平面直角坐标系xOy中：
【1】对于两点P（x1，y1）和Q（x2，y2），若|x1﹣x2|＝|y1﹣y2|，则称点Q是点P的“等距点”．
【2】对于一点M（x，y），则称点N（2k﹣x，y）为点M的“k对称点”，例如，点N（2﹣x，﹣y）为点M（x，y）的“1对称点”．
【运用】
（1）在平面直角坐标系xOy中，已知点P1（2，1），P2（3，1）．
在点Q1（﹣1，4），Q2（2，0），Q3（2，﹣1），Q4（1，﹣1）．
①点Q1 是点P1的“等距点”；
②点Q3 是点P1的“2对称点”；
③点Q4 既是点P2的“等距点”又是点P2的“2对称点”；
（2）已知点P是直线y＝2x+1上的点，记点P的“1对称点”为点Q．若点Q恰好是点P的“等距点”，求此时点P的坐标；
（3）已知点A是射线y＝2x+1（x≥0）上的点，点B的横坐标与点A的纵坐标相等且点B在直线y＝x+2上，点B是点A的“等距点”．点A的“k对称点”为点C．求线段BC的最小值．
【分析】（1）①利用“等距点”的定义解答即可；
②利用“2对称点”的定义解答即可；
③利用“等距点”和“2对称点”定义解答即可；
（2）利用“等距点”和“2对称点”定义列式解答即可；
（3）设点A（a，2a+1），则B（2a+1，2a+3），利用“等距点”的定义求得a值，再利用点的 坐标的特征解答即可．
【解答】解：（1）①∵点P1（2，1），Q1（﹣1，4）中，|2﹣（﹣1）|＝3，|1﹣4|＝3，
∴点P1（2，1）的“等距点”为Q1．
故答案为：Q1；
②∵点P1（2，1），2×2﹣2＝2，Q3（2，﹣1），
∴点P1的“2对称点”为Q3（2，﹣1）．
故答案为：Q3；
③∵P2（3，1），2×2﹣3＝1，
∴点P2的“2对称点”为（1，﹣1），
∵|3﹣1|＝2，|1﹣（﹣1）|＝2，
∴点P2的“等距点”为（1，﹣1），
∴Q4（1，﹣1）既是点P2的“等距点”又是点P2的“2对称点”．
故答案为：Q4；
（2）∵点P是直线y＝2x+1上的点，
∴P（m，2m+1），
∴点P的“1对称点”点Q为（2﹣m，﹣2m﹣1），
∵点Q恰好是点P的“等距点”，
∴|m﹣（2﹣m）|＝|2m+1﹣（﹣2m﹣1）|，
∴|2m﹣2）＝|4m+2|，
∴2m﹣2＝4m+2或2m﹣2＝﹣（4m+2），
∴m＝﹣2或m＝0，
∴P（﹣2，﹣3）或（0，1）．
（3）∵点A是射线y＝2x+1（x≥0）上的点，
∴A（a，2a+1），
∵点B的横坐标与点A的纵坐标相等，
∴点B的横坐标为2a+1，
∵点B在直线y＝x+2上，
∴B（2a+1，2a+3），
∵点B是点A的“等距点”．
∴|a﹣（2a+1）|＝|2a+1﹣（2a+3）|，
∴|﹣a﹣1|＝|﹣2|，
∵a＞0，
∴a+1＝2，
∴a＝1．
∴A（1，3），B（3，5），
∴点A的“k对称点”点C的坐标为（2k﹣1，﹣3），
∴点C在直线y＝﹣3上，
∴线段BC的最小值为点B到直线y＝﹣3的垂线段的长度，
∴线段BC的最小值为|5﹣（﹣3）|＝8．
【点评】本题主要考查了平面直角坐标系，点的坐标的特征，一次函数的图象与性质，几何图形的变换，绝对值的意义，本题是新定义型，准确理解新定义的规定病熟练运用是解题的关键．
23．已知菱形ABCD的边长为1．∠ADC＝60°，等边△AEF两边分别交边DC、CB于点E、F．
（1）特殊发现：如图1，若点E、F分别是边DC、CB的中点．求证：菱形ABCD对角线AC、BD交点O即为等边△AEF的外心；
（2）若点E、F始终分别在边DC、CB上移动．记等边△AEF的外心为点P．
①猜想验证：如图2．猜想△AEF的外心P落在哪一直线上，并加以证明；
②拓展运用：如图3，当△AEF面积最小时，过点P任作一直线分别交边DA于点M，交边DC的延长线于点N，试判断1DM+1DN是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
【分析】（1）首先分别连接OE、0F，由四边形ABCD是菱形，即可得AC⊥BD，BD平分∠ADC．AD＝DC＝BC，又由E、F分别为DC、CB中点，即可证得0E＝OF＝OA，则可得点O即为△AEF的外心；
（2）①首先分别连接PE、PA，过点P分别作PI⊥CD于I，PJ⊥AD于J，即可求得∠IPJ的度数，又由点P是等边△AEF的外心，易证得△PIE≌△PJA，可得PI＝PJ，即点P在∠ADC的平分线上，即点P落在直线DB上．
②当AE⊥DC时．△AEF面积最小，此时点E、F分别为DC、CB中点．连接BD、AC交于点P，由（1）可得点P即为△AEF的外心．由△GBP∽△MDP，即可1DM+1DN为定值2．
【解答】（1）证明：如图1，分别连接OE、0F，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，BD平分∠ADC．AD＝DC＝BC，
∴∠COD＝∠COB＝∠AOD＝90°．
∠ADO=12∠ADC=12×60°＝30°，
又∵E、F分别为DC、CB中点，
∴OE=12CD，OF=12BC，AO=12AD，
∴0E＝OF＝OA，
∴点O即为△AEF的外心．
（2）解：①猜想：外心P一定落在直线DB上．
证明：如图2，分别连接PE、PA，过点P分别作PI⊥CD于I，PJ⊥AD于J，
∴∠PIE＝∠PJD＝90°，
∵∠ADC＝60°，
∴∠IPJ＝360°﹣∠PIE﹣∠PJD﹣∠JDI＝120°，
∵点P是等边△AEF的外心，
∴∠EPA＝120°，PE＝PA，
∴∠IPJ＝∠EPA，
∴∠IPE＝∠JPA，
∴△PIE≌△PJA，
∴PI＝PJ，
∴点P在∠ADC的平分线上，即点P落在直线DB上．
②1DM+1DN为定值2．
当AE⊥DC时．△AEF面积最小，
此时点E、F分别为DC、CB中点．
连接BD、AC交于点P，由（1）
可得点P在BD上，即为△AEF的外心．
如图3．设MN交BC于点G，
设DM＝x，DN＝y（x≠0．y≠O），则CN＝y﹣1，
∵BC∥DA，
∴△GBP≌△MDP．
∴BG＝DM＝x．
∴CG＝1﹣x
∵BC∥DA，
∴△NCG∽△NDM，
∴CNDN=CGDM，
∴y−1y=1−xx，
∴x+y＝2xy，
∴1x+1y=2，
即1DM+1DN=2．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，三角形的外心的判定与性质，以及菱形的性质等知识．此题综合性很强，图形也比较复杂，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用．
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题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
B
B
C
B
A
D
A
B
D
和
−2
−5
0
2
π
−2
−2−5＜0
−2＜0
−2+2＞0
−2+π＞0
−5
−5−2＜0
−5＜0
−5+2＜0
−5+π＞0
0
−2＜0
−5＜0
2＞0
π＞0
2
2−2＞0
2−5＜0
2＞0
2+π＞0
π
π−2＞0
π−5＞0
π＞0
2+π＞0
小江同学：
解：x（x﹣2）＝3，
所以x＝1或x﹣2＝3，
所以x＝1或x2＝5．