2026九年级数学中考专题复习专题09特殊三角形(含勾股定理)(4大模块知识梳理+11个考点+5个重难点+3个易错点)(解析版)

这是一份2026九年级数学中考专题复习专题09特殊三角形(含勾股定理)(4大模块知识梳理+11个考点+5个重难点+3个易错点)(解析版)，共15页。学案主要包含了易错易混，补充说明，模型定义，模型探究，模型应用，拓展提高等内容，欢迎下载使用。

知识模块一：等腰三角形
知识点一：等腰三角形的定义
定义：有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.
知识点二：等腰三角形的性质
等腰三角形性质：
1）等腰三角形是轴对称图形，它有1条或3条对称轴，
①当腰和底边不相等的等腰三角形只有1条对称轴，
②当腰和底边不相等的等腰三角形只有3条对称轴.
2）等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）.
3）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.（简称“三线合一”）.
【注意】“三线合一”的前提是等腰三角形，且必须是顶角的角平分线，底边上的高和底边上的中线.
知识点三：等腰三角形的判定
等腰三角形的判定：
1）定义法：两边相等的三角形是等腰三角形；
2）定理法：有两个角相等的三角形是等腰三角形，即这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）.
【总结】证明两个角相等的方法：
1）如果角在同一个三角形中，先考虑“等边对等角”来证明.
2）如果角不在同一个三角形中，可证明两个三角形全等来解决.
【易错易混】
1）底角为顶角的2倍的等腰三角形非常特殊，其底角平分线将原等腰三角形分成两个等腰三角形．（即顶角36°，底角72°）.
2）等腰三角形的判定定理是证明两条线段相等的重要依据，是把三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据．
3）等腰三角形的边有腰、底之分,角有顶角、底角之分,若题目中的边没有明确是底还是腰,角没有明是顶角还是底角，需要分类讨论.
知识模块二：等边三角形
知识点一：等边三角形的定义
定义：三条边都相等的三角形叫等边三角形，它是特殊的等腰三角形.
知识点二：等边三角形的性质
1）等边三角形是轴对称图形，并且有3条对称轴；
2）等边三角形的三条边相等；
3）三个内角都相等，并且每个内角都是60°.
知识点三：等边三角形的判定
等边三角形的判定：
1）定义法：三边相等的三角形是等边三角形；
2）三个角都相等的三角形是等边三角形.
3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
【补充】
1）等边三角形具有等腰三角形的一切性质.
2）等边三角形的内心、外心、重心和垂心重合．
3）在等腰三角形中，只要有一个角是60°，无论这个角是顶角还是底角，这个三角形就是等边三角形．
4）等边三角形面积的求解方法：S正三角形=34边长2
知识模块三：直角三角形
知识点一：直角三角形的定义
定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形．
知识点二：直角三角形的性质
面积公式：S=12ab=12cm (其中：c为斜边上的高，m为斜边长)
知识点二：直角三角形的判定
判定：1）两个内角互余的三角形是直角三角形.
2）三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．
3）有一个角是直角的三角形叫做直角三角形．
4）勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形是直角三角形.
知识模块四：勾股定理
知识点一：勾股定理的内容
文字语言：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.
符号语言：如果直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2=c2.
变式：a2=c2−b2，b2=c2−a2，
c=a2+b2,a=c2−b2,b=c2−b2.
【易错点】
1）勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形；
2）如果已知的两边没有指明边的类型，那么它们可能都是直角边，也可能是一条直角边、一条斜边，求解时必须进行分类讨论，以免漏解．
3）应用勾股定理时，要分清直角边和斜边，尤其在记忆a2+b2=c2时，斜边只能是c．若b为斜边，则关系式是a2+c2=b2；若a为斜边，则关系式是b2+c2=a2．
知识点二：勾股定理的证明
方法一：如图一，用4个全等的直角三角形，可以得到一个以为边长的小正方形和一个以c为边长的大正方形.即 4SΔ+S正方形EFGH=S正方形ABCD ，所以4×12ab+(b−a)2=c2，化简可证．
方法二（图二）：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．
四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为S=4×12ab+c2=2ab+c2
大正方形面积为S=(a+b)2=a2+2ab+b2，所以a2+b2=c2
方法三：如图三，用两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形，可以得到一个直角梯形.
S梯形=12(a+b)⋅(a+b)，S梯形=2SΔADE+SΔABE=2×12ab+12c2，化简得证a2+b2=c2
图一 图二 图三
知识点三：勾股数
勾股数：能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即满足关系a2+b2=c2的3个正整数a，b，c称为勾股数.
勾股数需要满足的两个条件：1）这三个数均是正整数；
2）两个较小数的平方和等于最大数的平方.
常见的勾股数：1）3，4，5；2）6，8，10；3）5，12，13等.
知识点四：勾股定理逆定理
内容：如果三角形三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边.
【补充说明】
1）勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法；
2）勾股定理的逆定理通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和a2+b2与较长边的平方c2作比较，①若a2+b2=c2时，以a，b，c为三边的三角形是直角三角形；
②若a2+b2c2时，以a，b，c为三边的三角形是锐角三角形
考点一： 分类讨论思想在特殊三角形中的应用
1．（2024·江苏镇江·中考真题）等腰三角形的两边长分别为6和2，则第三边长为 ．
【答案】6
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系，熟练掌握分类讨论思想是解题的关键．分两种情况讨论：当6为一腰长时；当2为一腰长时；分别求出第三条边长，并根据三角形三边关系判断是否能构成三角形，即可得出答案．
【详解】解：当6为一腰长时，则另一腰长为6，底边长为2，
∵6+6>2，
∴能构成三角形，
∴第三边长为6；
当2为一腰长时，则另一腰长为2，底边长为6，
∵2+21)
∴AB=AE+BE=AE(k+1)
∴AEAB=1BN=AGAN=1k+1
∴BN=1+k
由题意可知，△ABN≌△DAM
∴BN=AM=1+k
∴AG=AM−GM=1+k−1=k
∴AGAN=AGAM+MN=kk+1+a=1k+1
∴a=k2−1
∴AN=AG+GM+MN=k+1+k2−1=k2+k
∴正方形ABCD的面积S1=AB2=BN2+AN2=(k+1)2+(k2+k)2=(k+1)2(k2+1)，
正方形MNPQ的面积S2=MN2=a2=(k2−1)2=(k+1)2(k−1)2
∴S1S2=(k+1)2(k2+1)(k+1)2(k−1)2
∵k>1
∴(k+1)2≠0
∴S1S2=k2+1(k−1)2；
故答案为：k2+1k−12.
【点睛】本题考查了弦图，正方形的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，正方形的面积，勾股定理，熟练掌握以上知识点并能画出合适的辅助线构造相似三角形是解题的关键．
2．（2020·湖北孝感·中考真题）如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．在此图形中连接四条线段得到如图2的图案，记阴影部分的面积为S1，空白部分的面积为S2，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，若S1=S2，则nm的值为 ．
【答案】3−12
【分析】如图（见解析），设AB=CD=a，先根据直角三角形的面积公式、正方形的面积公式求出S1,S2的值，再根据S1=S2建立等式，然后根据S1+S2=m2建立等式求出a的值，最后代入求解即可．
【详解】如图，由题意得：AC=m，BD=n，AB=CD，△ABC是直角三角形，且m,n均为正数
则大正方形的面积为AC2=m2
小正方形的面积为BD2=n2
设AB=CD=a(a>0)
则S1=4SRt△ABD+n2=4×12AB⋅BD+n2=2an+n2
S2=4S△ACD=4×12CD⋅AB=2a2
∵S1=S2
∴2an+n2=2a2
又∵S1+S2=m2，即2S2=m2
∴4a2=m2
解得a=m2或a=−m2（不符题意，舍去）
将a=m2代入2an+n2=2a2得：mn+n2=m22
两边同除以m22得：2nm+2(nm)2=1
令nm=x>0
则2x+2x2=1
解得x=3−12或x=−3−125>19，
∴小虫爬行的最短路程等于19．
故答案为：19．
【点睛】本题考查的是三棱柱的展开图，矩形的判定与性质，勾股定理的应用，等边三角形的性质，含30°的直角三角形的性质，最短路径的理解，清晰的分类讨论是解本题的关键．
2．（2023·内蒙古赤峰·中考真题）某班学生表演课本剧，要制作一顶圆锥形的小丑帽．如图，这个圆锥的底面圆周长为20π cm，母线AB长为30cm，为了使帽子更美观，要粘贴彩带进行装饰，其中需要粘贴一条从点A处开始，绕侧面一周又回到点A的彩带（彩带宽度忽略不计），这条彩带的最短长度是（ ）
v
A．30 cmB．303 cmC．60 cmD．20π cm
【答案】B
【分析】根据圆锥的底面圆周长求得半径为10，根据母线长求得展开后的扇形的圆心角为120°，进而即可求解．
【详解】解：∵这个圆锥的底面圆周长为20π cm，
∴2πr=20π
解得：r=10
∵nπ×30180=20π
解得：n=120
∴侧面展开图的圆心角为120°
如图所示，AC即为所求，过点B作BD⊥AC，
∵∠ABC=120°，BA=BC，则∠BAC=30°
∵AB=30，则BD=15
∴AD=153，AC=2AD=303，

故选：B．
【点睛】本题考查了圆锥侧面展开图的圆心角的度数，勾股定理解直角三角形，求得侧面展开图的圆心角为120°解题的关键．
3．（2023·四川广安·中考真题）如图，圆柱形玻璃杯的杯高为9cm，底面周长为16cm，在杯内壁离杯底4cm的点A处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿1cm，且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所走的最短路程为 cm．（杯壁厚度不计）

【答案】10
【分析】如图（见解析），将玻璃杯侧面展开，作B关于EF的对称点B'，根据两点之间线段最短可知AB'的长度即为所求，利用勾股定理求解即可得．
【详解】解：如图，将玻璃杯侧面展开，作B关于EF的对称点B'，作B'D⊥AE，交AE延长线于点D，连接AB'，

由题意得：DE=12BB'=1cm,AE=9−4=5cm，
∴AD=AE+DE=6cm，
∵底面周长为16cm，
∴B'D=12×16=8cm，
∴AB'=AD2+B'D2=10cm，
由两点之间线段最短可知，蚂蚁从外壁B处到内壁A处所走的最短路程为AB'=10cm，
故答案为：10．
【点睛】本题考查了平面展开——最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．
重难点五： 勾股树模型
1．（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图①，直角三角形的两个锐角分别是40°和50°，其三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为40°和50°的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是1次操作后的图形．图③是重复上述步骤若干次后得到的图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”．若图①中的直角三角形斜边长为2，则10次操作后图形中所有正方形的面积和为 ．
【答案】48
【分析】本题主要考查了图形规律，直角三角形的性质、勾股定理、正方形的性质等知识．根据题意分别计算出图①、图②和图③的面积，得出规律即可求解．
【详解】解：图①中，∵∠ACB=90°，
根据勾股定理得，AC2+BC2=AB2=22=4，
∴图①中所有正方形面积和为：4+4=8，
图②中所有正方形面积和，即1次操作后的图形中所有正方形的面积和为：
8+4=12，
图③中所有正方形面积和，即2次操作后的图形中所有正方形的面积和为：
8+4×2=16，
⋯
∴n次操作后的图形中所有正方形的面积和为8+4n，
∴10次操作后的图形中所有正方形的面积和为8+4×10=48，
故答案为：48．
2．（2023·武汉模拟预测）问题再现：
数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观， 从而可以帮助我们快速解题，初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形积的方法进行直 观推导和解释．
1如图 1，是一个重要公式的几何解释，请你写出这个公式：
2如图 2，在RtΔABC中，∠ACB=90°,BC=a,AC=b,AB=c，以RtΔABC的三边长向外作正方形的面积分别为S1,S2,S3，试猜想S1,S2,S3之间存在的等量关系，直接写出结论 ．
3如图 3，如果以RtΔABC的三边长a,b,c为直径向外作半圆，那么第2问的结论 是否成立？请说明理由．
4如图 4，在RtΔABC中，∠ACB＝90°，三边分别为5,12,13，分别以它的三边为直 径向上作半圆，求图 4 中阴影部分的面积．
【答案】（1）(a+b)2=a2+b2+2ab；（2）S1+S2=S3；（3）结论仍成立，理由见详解；（4）30
【分析】（1）根据大正方形的面积等于两个小正方形的面积加两个长方形的面积即可得出答案；
（2）分别求出三个正方形的面积，再用勾股定理求解即可；
（3）分别求出三个半圆的面积，计算即可；
（4）阴影部分的面积为两个小半圆的面积减去大的半圆的面积再加上三角形的面积．
【详解】解：（1）由正方形的面积可得出：(a+b)2=a2+b2+2ab；
故答案为：(a+b)2=a2+b2+2ab ；
（2）由图可得：S1=AC2,S2=BC2,S3=AB2,
在直角三角形中有：AC2+BC2=AB2
∴S1+S2=S3；
故答案为：S1+S2=S3；
（3）结论仍成立，理由如下：
由图可得出：S1=12π(AC2)2=π⋅AC24,S2=12π(BC2)2=π⋅BC24,S3=12π(AB2)2=π⋅AB24
∴S1+S2=π⋅(BC2+AC2)4
在直角三角形中有：AC2+BC2=AB2
∴S1+S2=S3．
因此，结论仍成立．
（4）由图可知：
阴影部分的面积为两个小半圆的面积减去大的半圆的面积再加上三角形的面积，由（3）可知为两个小半圆的面积等于大的半圆的面积，因此，阴影部分的面积等于三角形的面积，
∵S阴=12×5×12=30．
【点睛】本题考查的知识点是勾股定理的拓展，巧妙利用数形结合思想方法，借助这种方法将抽象的数学知识变得直观是解此题的关键．
易错点1： 等腰三角形腰上的高，中线误用三线合一定理
1. 如图1，已知ΔABC中，AB=AC，BD⊥AC，垂足为D，∠A=40°，则∠DBC=___°.

【详解】(1)∵ AB=AC，∠A=40°
∴∠C=180°−∠A2=70°
又∵BD⊥AC
∴∠BDC=90°
∴∠DBC=90°-70°=20°
易错点2： 机械的运用勾股定理逆定理求解
1. 在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b，若a:b:c=9:15:12．试判断△ABC是不是直角三角形．
【答案】△ABC是直角三角形，理由见解析
【分析】本题考查勾股定理的逆定理，假设a=9k，b=15k，c=12k，根据勾股定理的逆定理即可得到结论．
【详解】解：△ABC是直角三角形，理由如下：
∵a:b:c=9:15:12，
∴可以假设a=9k，b=15k，c=12k，
∴a2+c2=9k2+12k2=15k2=b2，
∴△ABC是直角三角形．
易错点3： 等腰三角形中未利用分类讨论思想求解
1．（2023·内蒙古通辽·模拟预测）一个等腰三角形，一腰上的高与另一腰所成的夹角为45°，则顶角的度数为 ．
【答案】45°或135°
【分析】本题主要考查了直角三角形的性质、等腰三角形的性质．此题难度适中，解题的关键在于正确的画出图形，结合图形，利用数形结合思想求解．首先根据题意画出图形，一种情况等腰三角形为锐角三角形，即可推出顶角的度数为45°．另一种情况等腰三角形为钝角三角形，由题意，即可推出顶角的度数为135°．
【详解】解：①如图，等腰三角形为锐角三角形，
∵BD⊥AC，∠ABD=45°，
∴∠A=90°−45°=45°，
即顶角的度数为45°；
②如图，等腰三角形为钝角三角形，
∵BD⊥AC，∠ABD=45°，
∴∠BAD=90°−45°=45°，
∴∠BAC=180°−45°=135°，
即顶角的度数为135°
综上，顶角的度数为45°或135°
故答案为：45°或135°．
2．（2024·青海·一模）一个等腰（非等边）三角形的三边长均满足一元二次方程x2−6x+8=0，则这个三角形的周长是 ．
【答案】10
【分析】本题考查解一元二次方程，等腰三角形的性质，三角形三边关系，求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长求周长．首先求出方程的根，再根据三角形三边关系判断是否符合题意．利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键．
【详解】解：x2−6x+8=0，
∴x−2x−4=0，
∴x−2=0或x−4=0，
解得：x=2或x=4，
当该等腰三角形的腰为2时，
∵2+2=4，
∴以2、2、4为边不能构成三角形，舍去；
∴该等腰三角形的腰只能为4，
∴这个三角形的周长是：4+4+2=10．
故答案为：10．
目录
01 理·思维导图：呈现教材知识结构，构建学科知识体系。
02 盘·基础知识：甄选核心知识逐项分解，基础不丢分。（4大模块知识梳理）
\l "_Tc182324382" 知识模块一：等腰三角形
\l "_Tc182324386" 知识模块二：等边三角形
\l "_Tc182324392" 知识模块三：直角三角形
\l "_Tc182324395" 知识模块四：勾股定理
03 究·考点考法：对考点考法进行细致剖析和讲解，全面提升。（10大考点）
\l "_考点一：_分类讨论思想在特殊三角形中的应用"考点一： 分类讨论思想在特殊三角形中的应用
\l "_考点二：_利用特殊三角形的性质求解"考点二： 利用特殊三角形的性质求解
\l "_考点三：_特殊三角形的判定"考点三： 特殊三角形的判定
\l "_考点四：_特殊三角形性质与判定综合"考点四： 特殊三角形性质与判定综合
\l "_考点五：_与特殊三角形性质有关的折叠问题"考点五： 与特殊三角形性质有关的折叠问题
\l "_考点六：_与特殊三角形性质有关的多结论问题" 考点六： 与特殊三角形性质有关的多结论问题
\l "_考点七：_与特殊三角形性质有关的规律探究问题"考点七：与特殊三角形性质有关的规律探究问题
\l "_考点八：_利用勾股定理及其逆定理求解"考点八： 利用勾股定理及其逆定理求解
\l "_考点九：_利用勾股定理及其逆定理与网格问题" 考点九： 利用勾股定理及其逆定理与网格问题
\l "_考点十：_用勾股定理逆定理解决实际生活问题"考点十： 用勾股定理逆定理解决实际生活问题
\l "_考点十一：_特殊三角形与函数综合"考点十一： 特殊三角形与函数综合
04 破·重点难点：突破重难点，冲刺高分。（5大重难点）
\l "_重难点一：_手拉手模型"重难点一：手拉手模型
\l "_重难点二：_赵爽弦图"重难点二： 赵爽弦图
\l "_重难点三：_利用等面积法探究线段关系（维维尼亚模型）"重难点三：利用等面积法探究线段关系（维维尼亚模型）
\l "_重难点四：_求最短路径问题"重难点四：求最短路径问题
\l "_重难点五：_勾股树模型"重难点五：勾股树模型
05 辨·易混易错：点拨易混易错知识点，夯实基础。（5大易错点）
\l "_易错点1：_等腰三角形腰上的高，中线误用三线合一定理"易错点一：等腰三角形腰上的高，中线误用三线合一定理
\l "_易错点2：_机械的运用勾股定理逆定理求解"易错点二：机械的运用勾股定理逆定理求解
\l "_易错点3：_等腰三角形中未利用分类讨论思想求解"易错点三：等腰三角形中未利用分类讨论思想求解
性质
直角三角形两个锐角互余.
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半.
图示
几何描述
在△ABC，∠C=90°
∴∠A+∠B=90°
在△ABC，∠C=90°，CD为AB边的中点，∴∠A+∠B=90°
在△ABC，∠C=90°，∠B=30°，
∴AB=2AC