山东省淄博市淄博中学2025~2026学年高二上册期中模块检测数学试卷（含答案）

这是一份山东省淄博市淄博中学2025~2026学年高二上册期中模块检测数学试卷（含答案），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．直线的一个方向向量是（ ）
A．B．C．D．
2．圆的圆心坐标和半径分别是（ ）
A．（2，3），3B．（-2，3），C．（-2，-3），13D．（2，-3），
3．“”是方程“表示椭圆”的（ ）．
A．必要不充分条件B．充分不必要条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
4．已知直线：与：平行，则m=（ ）
A．或3B．3C．D．
5．直线的方程为，则直线的倾斜角α的范围是（ ）
A．（0，π）B．C．D．
6．直线和圆的位置关系为（ ）
A．相交B．相切或相交C．相离D．相切
7．若圆上仅有4个点到直线的距离为1，则实数r的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
8．我们通常所说的ABO血型系统是由A，B，O三个等位基因决定的，每个人的基因型由这三个等位基因中的任意两个组合在一起构成，且两个等位基因分别来自父亲和母亲，其中AA，AO为A型血，BB，BO为B型血，AB为AB型血，OO为O型血.比如：父亲和母亲的基因型分别为AO，AB，则孩子的基因型等可能的出现AA，AB，AO，BO四种结果，已知小明的爷爷、奶奶和母亲的血型均为AB型，不考虑基因突变，则小明是A型血的概率为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．抛掷一颗质地均匀的骰子一次，记事件M为“向上的点数为1或4”，事件N为“向上的点数为奇数”，则下列说法正确的是（ ）
A．M与N互斥但不对立B．M与N对立
C．D．
三、单选题
10．已知在平面直角坐标系Oxy中，，.点P满足，设点P所构成的曲线为C，下列结论正确的是（ ）
A．曲线C的方程为
B．曲线C上存在点D，使得D到点的距离为10
C．曲线C上存在点M，使得
D．曲线C上的点到直线的最大距离为9
四、多选题
11．如图，在棱长为1的正方体中，分别为棱的中点. 为面对角线上任一点，则下列说法正确的是（ ）
A．平面内存在直线与平行
B．平面截正方体所得截面面积为
C．直线和所成角可能为60°
D．直线和所成角可能为30°
五、填空题
12．已知，则在上的投影向量是
13．设直线l经过点，且在两坐标轴上的截距相等，则直线l的一般式方程为________________
14．已知直线过定点A，直线过定点B，与的交点为C，则的最大值为___________.
六、解答题
15．已知向量a＝(1，－3,2)，b＝(－2,1,1)，点A(－3，－1,4)，B(－2，－2,2)．
（1）求|2a＋b|；
（2）在直线AB上，是否存在一点E，使得⊥b？(O为原点)
16．溺水、校园欺凌等与学生安全有关的问题越来越受到社会的关注和重视，为了普及安全教育，某市组织了一次学生安全知识竞赛，规定每队3人，每人回答一个问题，答对得1分，答错得0分．在竞赛中，甲、乙两个中学代表队狭路相逢，假设甲队每人回答问题正确的概率均为，乙队每人回答问题正确的概率分别为，且两队各人回答问题正确与否相互之间没有影响．
（1）分别求甲队总得分为3分与1分的概率；
（2）求甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率．
17．过点引圆C：的切线
（1）求切线方程
（2）设两个切点为，求切点弦所在的直线方程及线段的长．
18．如图,为保护河上古桥OA,规划建一座新桥BC,同时设立一个圆形保护区.规划要求:新桥BC与河岸AB垂直;保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆,且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80 m.经测量，点A位于点O正北方向60 m处,点C位于点O正东方向170 m处(OC为河岸),tan∠BCO=.
（1）求新桥BC的长;
（2）当OM多长时,圆形保护区的面积最大?
19．如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PBC⊥平面ABCD．是等腰三角形，且．在梯形ABCD中，，，，，．
（1）求证：平面PCD；
（2）求平面APB与平面PBC夹角的余弦值；
（3）棱BC上是否存在点Q到平面PBA的距离为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
答案
1．【正确答案】B
【详解】由直线可知，直线的方向向量为，则直线的方向向量为.
故选B
2．【正确答案】D
【详解】由圆可知，
所以，，
所以圆心坐标为，半径为，
故选D
3．【正确答案】A
【详解】当方程表示椭圆时，必有，所以且；
当时，该方程不一定表示椭圆，例如当时，方程变为，它表示一个圆．
即“”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件．
故选A．
4．【正确答案】B
【详解】由题意可知，解之得.
故选B
5．【正确答案】C
【详解】设直线l的倾斜角为
当时，直线的斜率不存在，则直线的倾斜角；
当时，直线的斜率，
当，即时，则；
当，即时，则；
所以直线的倾斜角的范围为.
故选C.
6．【正确答案】A
【详解】由，得，
所以圆心为，半径为.
因为圆心到直线的距离为
，
所以直线和圆相交.
故选A
7．【正确答案】A
【详解】
作出到直线的距离为1的点的轨迹，得到与直线平行，
且到直线的距离等于1的两条直线，
圆的圆心为原点，
原点到直线的距离为，
两条平行线中与圆心O距离较远的一条到原点的距离为，
又圆上有4个点到直线的距离为1，
两条平行线与圆有4个公共点，即它们都与圆相交.
由此可得圆的半径，
即，实数r的取值范围是.
故选A.
8．【正确答案】C
【详解】因小明的爷爷、奶奶的血型均为AB型，则小明父亲的血型可能是AA，AB，BB，它们对应的概率分别为，
当小明父亲的血型是AA时，因其母亲的血型为AB，则小明的血型可能是AA，AB，它们的概率均为，
此时小明是A型血的概率为，
当小明父亲的血型是AB时，因其母亲的血型为AB，则小明的血型是AA的概率为，此时小明是A型血的概率为，
当小明父亲的血型是BB时，因其母亲的血型为AB，则小明的血型不可能是AA，
所以小明是A型血的概率为，即C正确.
故选C
9．【正确答案】CD
【详解】选项A：，故事件与事件不互斥，A错误；
选项B：，故事件与事件不对立，B错误；
选项C：表示事件M与事件N同时发生的概率，此时向上的点数为1，此时；C正确
选项D：表示事件向上的点数为1,3,4,5的概率，，故D正确
故选CD
10．【正确答案】D
【详解】对于A，由题意可设点，
由，，，得，
化简得，即，故A错误；
对于B，点到圆上的点的最大距离，
故不存在点D符合题意，故B错误；
对于C，设，由，
得，又，
联立方程消去得，得无解，故C错误；
对于D，C的圆心到直线的距离为，
且曲线C的半径为4，则C上的点到直线的最大距离，故D正确.
故选D.
11．【正确答案】BC
【详解】对于选项A，在正方体中，，
在平面中，直线相交，所以直线与平交，
故直线与平交，则平面内不存在直线与平行，所以选项A错误；
对于选项B，连接分别为棱的中点，所以，在正方体中，，所以，连，则梯形为所求的截面，，所以等腰梯形的高为，
所以梯形的面积为，选项B正确；
对于选项C,D，以为坐标原点，所在直线分别为轴，
建立空间直角坐标系，
设
，
，令，
，，,
，而，
直线和所成角可能为60°，但不可能为30°，
选项C正确，选项D错误.
故选BC.
12．【正确答案】
【详解】因为，
所以，
所以，，
所以在上的投影向量是.
13．【正确答案】或
【详解】当截距为0时，设l方程为，代入点，可得，解得，
所以方程为，即；
当截距不为0时，因为截距相等，所以设方程为，
代入点，可得，解得，
所以方程为，即，
综上，直线l的一般方程为或.
14．【正确答案】
【详解】由，则过定点，
由，则过定点，
显然，即、相互垂直，而与的交点为C，
所以的轨迹是以为直径的圆，且圆心为、半径为，
令，则，且，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最大为.
15．【正确答案】（1）；（2）
【详解】（1）2a＋b＝(2，－6,4)＋(－2,1,1)＝(0，－5,5)，
故.
（2）．
若⊥b，则·b＝0.
所以－2(－3＋t)＋(－1－t)＋(4－2t)＝0，解得t＝.
因此存在点E，使得⊥b，E点坐标为.
16．【正确答案】（1），；（2）
【详解】解：（1）记“甲队总得分为3分”为事件，记“甲队总得分为1分”为事件，
甲队得3分，即三人都回答正确，其概率为，
甲队得1分，即三人中只有1人回答正确，其余两人都答错，
其概率为．
甲队总得分为3分与1分的概率分别为，．
（2）记“甲队得分为2分”为事件，记“乙队得分为1分”为事件，
事件即甲队三人中有2人答对，其余1人答错，
则，
事件即乙队3人中只有1人答对，其余2人答错，
则，
由题意得事件与事件相互独立，
甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率：
．
17．【正确答案】（1）与
（2），
【详解】（1）圆的圆心为，半径，
过的直线与圆相切，则圆心到直线的距离为1，
若直线斜率不存在，则过的直线方程为，则圆心到直线的距离为，
符合题意，故是圆的切线方程；
若直线斜率存在，设为，则直线方程为，圆心到直线的距离为，
即，解得，则直线方程为，
切线方程为与．
（2）
联立切线与圆的方程，解得，故点，
点位于圆外，连接交于点，
，
，，
，为等腰三角形，为中点，
，
，解得，
直线的方程为，一般方程为：，
圆心到直线的距离为，
．
18．【正确答案】（1） 150 m （2） |OM|=10 m
19．【正确答案】（1）见详解
（2）
（3）棱BC上存在点Q到平面PBA的距离为，且
【详解】（1）因为，平面PCD，平面PCD，
所以平面PCD.
（2）取BC中点E，连接PE，
因为，E为BC中点，
所以，
因为平面PBC⊥平面ABCD，且平面平面，平面，
所以平面ABCD，
因为平面ABCD，所以，
过C作，交AB于F，则，
所以，则，则，
在中，.
以D为原点，DA、DC及平面ABCD过点D的垂线分别为x，y，z轴正方向建系，如图所示，
则，
所以，
设平面APB的法向量，
则，即，
令，则，所以，
设平面PBC的法向量，
则，即，
令，则，所以，
由图象可得平面APB与平面PBC夹角为锐二面角，
所以，
所以平面APB与平面PBC夹角的余弦值为.
（3）假设BC上存在点Q到平面PBA的距离为，设，，
所以，
由（2）得，平面PBA的法向量，
所以点Q到平面PBA的距离，
解得或（舍），
所以棱BC上存在点Q到平面PBA的距离为，且