湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校2025~2026学年高二上册期中联考数学试卷（含答案）

这是一份湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校2025~2026学年高二上册期中联考数学试卷（含答案），共29页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．若复数，则（ ）
A．2B．C．D．
2．数据6.0，7.4，8.0，8.4，8.6，8.7，9.0，9.1的50百分位数为（ ）
A．8.4B．8.5C．8.6D．8.7
3．已知直线与圆交于A，B两点，且为等边三角形，则m的值为（ ）
A．B．C．D．
4．如图所示，为测量一树的高度，在地面上选取两点，从两点测得树尖的仰角分别为和，且两点之间的距离为，则树的高度为（ ）
A．B．C．D．
5．设A为直线上一点，P，Q分别在圆与圆上运动，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
6．在棱长为1的正四面体中，点满足，点满足，当最短时，（ ）
A．B．C．D．
7．如果，那么复数的三角形式是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．如图，四边形，现将沿折起，当二面角的大小在时，直线和所成角为，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．在棱长均为1的三棱柱中，，点满足，其中，则下列说法一定正确的有（ ）
A．当点为三角形的重心时，
B．当时，的最小值为
C．当点在平面内时，的最大值为2
D．当时，点到的距离的最小值为
10．如图，正方体的棱长为2，E是棱的中点，F是侧面上的动点，且满足平面，则下列结论中正确的是（ ）
A．平面截正方体所得截面面积为
B．点F的轨迹长度为
C．存在点F，使得
D．平面与平面所成二面角的正弦值为
11．瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心､重心､垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.若满足，顶点，且其“欧拉线”与圆相切，则下列结论正确的是（ ）
A．圆上的点到原点的最大距离为
B．圆上存在三个点到直线的距离为
C．若点在圆上，则的最小值是
D．若圆与圆有公共点，则
三、填空题
12．已知点，向量，过点作以向量为方向向量的直线，则点到直线的距离为__________．
13．若对任意实数，直线与圆至少有一个交点，则实数的取值范围是______．
14．已知A为圆上的动点，B为圆上的动点，P为直线上的动点，则的最小值为_______．
四、解答题
15．为了调查疫情期间数学网课学习情况，某校组织了高一年级学生进行了数学测试.根据测试成绩（总分100分），将所得数据按照，，，，，分成6组，其频率分布直方图如图所示.
(1)求图中的值；为了更全面地了解疫情对网课的影响，求该样本的60百分位数；
(2)试估计本次数学测试成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.
16．在平面直角坐标系中，已知点，圆.
（1）过点M作圆C的切线，求切线的方程；
（2）判断直线：与圆C是否相交；如果相交，求直线m被圆C截得的弦长.
17．如图，在直三棱柱中，，，为中点，为中点，为中点.

（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）求平面与平面的夹角的余弦值.
18．已知圆，点，点为圆上的动点，线段的中点的轨迹为曲线C．
(1)求曲线的方程；
(2)设点，过点作与轴不重合的直线交曲线于，两点．
（ⅰ）若直线的斜率为1，且过点作与直线垂直的直线交曲线于，两点，求四边形的面积；
（ⅱ）设曲线与轴交于，两点，直线与直线相交于点，试讨论点是否在定直线上，若是，求出该直线的方程；若不是，请说明理由．
19．球面几何学是非欧几何的例子，是在球表面上的几何学.对于半径为的球，过球面上一点作两条大圆的弧，，它们构成的图形叫做球面角，记作（或），其值为二面角的大小，其中点称为球面角的顶点，大圆弧称为球面角的边.不在同一大圆上的三点，可以得到经过这三点中任意两点的大圆的劣弧，这三条劣弧组成的图形称为球面，这三条劣弧称为球面的边，三点称为球面的顶点；三个球面角称为球面的三个内角.
已知球心为的单位球面上有不同在一个大圆上的三点.
(1)球面的三条边相等（称为等边球面三角形），若，请直接写出球面的内角和（无需证明）；
(2)与二面角类比，我们称从点出发的三条射线组成的图形为三面角，记为.其中点称为三面角的顶点，称为它的棱，称为它的面角.若三面角的三个面角的余弦值分别为.
①求球面的三个内角的余弦值；
②求球面的面积.
答案
1．【正确答案】C
【详解】因为，
所以.
故选C.
2．【正确答案】B
【分析】根据给定条件，利用第50百分位数的定义计算即得.
【详解】依题意，一组数据的第50百分位数即为该组数据的中位数，
所以数据6.0，7.4，8.0，8.4，8.6，8.7，9.0，9.1的第50百分位数为.
故选B.
3．【正确答案】D
【详解】圆的圆心为，半径，
若直线与圆交于A，B两点，且为等边三角形，
则圆心到直线的距离，
又由点到直线的距离公式可得，解得，
故选D.
4．【正确答案】A
【详解】方法一：在中，，
又，
，
由正弦定理得：，
所以，
所以树的高度为，
方法二：设树高为，则，则，
故选A.
5．【正确答案】A
【详解】设关于直线对称的点的坐标为，
则，解得，，
即，由对称性可知，
对于圆，圆心，半径，，
当且仅当A，C，三点共线时等号成立，
由于，，
则.
故选A．
6．【正确答案】A
【详解】，，
∴ ，，
即:，；
平面，直线，
所以当、最短时，平面，，
为的中心，为线段的中点，
如图：
又正四面体的棱长为1，
，
平面，
，
．
故选A．
7．【正确答案】A
【详解】因为，，
所以.
故选A.
8．【正确答案】B
【详解】取BD中点O，连接AO，CO，，
则，且，于是是二面角的平面角，
显然平面，在平面内过点作，则，
直线两两垂直，以O为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
，设二面角的大小为，，
因此，，，
于是，
显然，则当时，，
所以的最大值为.
故选B
9．【正确答案】BCD
【分析】将用表示，再结合求出，即可判断A；将平方，将代入，再结合基本不等式即可判断B；当点在平面内时，则存在唯一实数对使得，再根据，求出，再根据即可判断C；求出在方向上的投影，再利用勾股定理结合基本不等式即可判断D.
【详解】对于A：当点为三角形的重心时，，
所以，又因为，
所以，所以，故A错误；
对于B：
，
因为，所以，
则
，
当且仅当时取等号，
所以，
所以，所以的最小值为，故B正确；
对于C：当点在平面内时，
则存在唯一实数对使得，
则，又因为，
所以，所以，
因为，所以，所以的最大值为2，故C正确；
对于D：当时，由A选项知，
，
在方向上的投影为，
所以点到的距离，
因为，所以，当且仅当时，取等号，
所以点到的距离的最小值为，故D正确.
故选BCD.
【关键点拨】当点在平面内时，则存在唯一实数对使得，再根据，求出，是解决C选项的关键.
10．【正确答案】AC
【详解】取CD中点G，连接BG、EG，则等腰梯形为截面，
而，，
故梯形面积为，A正确；
取中点M，中点N，连接，
则，故四边形为平行四边形，
则得，而平面，平面，
故平面，同理平面，
而，平面，故平面平面，
∴点F的运动轨迹为线段MN，其长度为，B错误；
取MN的中点F，则，
∴，∵，∴，C正确；
因为平面平面且，，
∴即为平面与平面所成二面角，，D错误．
故选AC.
11．【正确答案】BD
【详解】由题意，的欧拉线即的垂直平分线，，，
的中点坐标为，则的垂直平分线方程为，
即“欧拉线”为.由“欧拉线”与圆相切，
到直线的距离，
则圆的方程为，圆心到原点的距离为，
则圆上的点到原点的最大距离为，故A错误；
圆心到直线的距离为，
圆上存在三个点到直线的距离为，故B正确；
的几何意义为圆上的点与定点连线的斜率，
设过与圆相切的直线方程为，即，
由，解得的最小值是，故C错误；
的圆心坐标，半径为，
圆的的圆心坐标为，半径为，
要使圆与圆有公共点，则圆心距的范围为，,解得，故D正确.
故选BD.
12．【正确答案】
【详解】以向量为方向向量的直线的斜率为，
则过点的直线的方程为，
即，
则点到直线的距离.
13．【正确答案】
【详解】由题意可知直线经过的定点为
则定点在圆内或者圆上的时候满足题意，
所以，
又表示圆，
所以，解得或；
综上，.
14．【正确答案】
【详解】设关于直线的对称点为，
则圆关于对称的圆的方程为，
要使的值最小，
则（其中为关于直线的对称圆上的点）三点共线，
且该直线过两点，其最小值为．
15．【正确答案】(1)，60百分位数为
(2)
【分析】（1）由频率分布直方图区间频率和为求参数；设该样本的60百分位数为，由题意可得，即可求得该样本的60百分位数；
（2）根据频率分布直方图求数学测试成绩的平均分即可.
【详解】（1）由，解得；
设该样本的60百分位数为，
因为，，，，对应的频率分别为，
所以60百分位数在这组数据内，
由题意可得，解得，
所以该样本的60百分位数为；
（2）数学测试成绩的平均值为分.
16．【正确答案】（1）或
（2）相交，
【详解】（1）解：很明显，直线斜率不存在时，直线满足题意，
当直线斜率存在时，设直线方程为：，即，
圆心到直线的距离，
满足题意时有：，解得：，
则此时的直线方程为：，即，
综上可得，直线方程为：或.
（2）解：圆心到直线的距离：，
则直线与圆相交，此时直线被圆截得的弦长为.
17．【正确答案】（1）见详解
（2）
（3）.
【详解】（1）如图，以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系.

则，，，，，，，，.
证明：（Ⅰ），平面的一个法向量为，
，所以，
又因为平面，所以平面.
（2），，
设平面的法向量为，
则令，则，故，
因为，
设直线与平面所成角为，
则.
所以直线与平面所成角的正弦值为.
（3），，
设平面的法向量为，
则令，，，故，
设平面与平面的夹角为，则
，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
18．【正确答案】(1)
(2)（ⅰ）7；（ⅱ）是，交点在定直线上
【详解】（1）设Mx,y，，因为点在圆上，所以①，
因为为中点，所以，整理得，
代入①式中，得，整理得，
所以曲线的方程为；
（2）（ⅰ）当直线的斜率为1时，直线的方程为，即，
则直线方程为，
设曲线的圆心到直线和直线的距离分别为，，
则，
所以，，
所以，
所以四边形的面积为；
（ⅱ）设直线的方程为，即，
设，，
联立，得，
则，，，
因为曲线与轴交于，两点，所以，，
则直线的方程为，
直线的方程为，
联立两直线方程得，
故直线与直线的交点在定直线上.
19．【正确答案】(1)
(2)①，，；②
【详解】（1）由可知在两个互相垂直（即交点处切线垂直）的大圆上，
从而，故，
设，则，
从而，注意到到直线的距离均为，故，
所以由知，所以，即，
这得到，
从而，又在两个互相垂直的大圆上，
故，
从而两两垂直，
从而由在平面内交于点，可知垂直于平面，
而在平面和平面内，
故平面垂直于平面，同理平面垂直于平面，
平面垂直于平面，所以三个平面两两垂直，
故由球面角的定义知，
所以球面的内角和是.
（2）①由已知条件，可设，
如图，以为原点，构建空间直角坐标系，则O0,0,0，不妨设，
设，则由可知：
；
；
，
故，
不妨设，则，所以有，
设平面的法向量分别为，并设，
则即，
从而，故可以取
所以我们有
，
，
，
故球面的三个内角的余弦值分别为.
②先证明一个引理.
引理：若球面的三个球面角，
设该球面的面积为，则，
引理的证明：
记球的表面积为，则，
设的对径点分别为，
则所在的大圆和所在的大圆，
它们将球面分成了四个部分，
其中面积较小的两个部分的面积之和等于球的表面积的倍，
即，类似可定义，且同理有，
而根据球面被这三个大圆的划分情况，又有，
所以，
故，
引理得证，
回到原题，根据①的结论，有，
再由引理知球面的面积.