2025-2026学年河南省周口第一高级中学等校高二（下）第一次月考数学试卷（3月份）-自定义类型

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1.在等比数列{an}中，若a2a7=6a4，则a5=（ ）
A. 3B. ±3C. 6D. ±6
2.现有4名同学去听同时进行的5个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是（ ）
A. 45B. 54C. 20D. 9
3.若数列{an}满足，则a996=（ ）
A. -3B. 3C. -6D. 6
4.已知函数f（x）在x=x0处可导，若，则f′（x0）=（ ）
A. 4B. 8C. 12D. 16
5.设等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若，则=（ ）
A. B. C. D.
6.为保障某村举办的活动秩序，村委会需从报名的10名大学生（含甲、乙、丙3人）中选出6人组成志愿者团队，并分配到安检、引导、后勤三个岗位，每个岗位至少1人.已知大学生甲、乙、丙因熟悉流程必须参与且分别安排在三个岗位上，则所有不同的分配方案种数为（ ）
A. 960B. 1260C. 2180D. 5670
7.已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的准线为l,过焦点F的直线与C相交于A，B两点，分别过A，B作准线l的垂线，垂足分别为A′，B′.记△AFA′与△BFB′的面积分别为S1，S2，若S1S2=6，则△A′FB′的面积为（ ）
A. 6B. 12C. D.
8.定义：若函数f（x）与g（x）在公共定义域内存在x0，使得f（x0）+g（x0）=0，则称f（x）与g（x）为“契合函数”，x0为“契合点”.已知f（x）=-xe2x与g（x）=lnx+ax+1为“契合函数”，则a的取值范围是（ ）
A. [2，+∞）B. （-∞，0）C. [1，+∞）D. （0，2]
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知直线l1：ax+3y+3-a=0与直线l2：5x+（a-2）y-10=0，则下列选项正确的是（ ）
A. l1恒过定点（1，-1）B. 若a=-3，则l2与圆x2+y2=2相切
C. 若l1∥l2，则a=-3或a=5D. 若l1⊥l2，则
10.已知函数f（x）=x3-2x2-4x+3，过点（1，a）且与f（x）图象相切的直线有且只有一条，则a的值可以为（ ）
A. -3B. -2C. -1D. 0
11.设数列{an}的前n项和为Sn，已知，则（ ）
A. 为等比数列B.
C. S2026＞2025D. S2026＜2026
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数（f′（x）是f（x）的导函数），则= .
13.已知椭圆的左焦点为F，右顶点为A，点B在该椭圆上，且BF⊥x轴，直线AB与y轴交于点P.若，则该椭圆的离心率为 .
14.已知，则= ；= .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知数列{an}满足.
（1）求{an}的通项公式；
（2）设数列的前n项和为Tn，证明：.
16.(本小题15分)
如图，在三棱锥P-ABC中，为PC的中点.
（1）求直线PC与平面ABM所成角的大小；
（2）求平面ABM与平面PAC夹角的余弦值.
17.(本小题15分)
已知的展开式中仅第5项的二项式系数最大，且第4项、第5项、第6项的系数成等差数列.
（1）求a和n的值；
（2）若a＜1，求的展开式中系数最大的项；
（3）若a＞1，且x=2，求被5除的余数.
18.(本小题17分)
已知函数f（x）=aex-x.
（1）讨论f（x）的单调性.
（2）已知函数g（x）=f（x-lnx）.
①判断g（x）的极值点个数；
②若g（x）有3个极值点x1，x2，x3，证明：x1，x2，x3不构成等差数列.
19.(本小题17分)
已知双曲线，过点D（1，0）的直线l与圆O：x2+y2=a2交于A，B两点，且|AB|的最小值为，当直线l平行于双曲线C的渐近线时，双曲线C的左顶点到直线l的距离为.
（1）求双曲线C的方程；
（2）过双曲线C上一点R作两条渐近线的垂线，垂足分别为G，H，证明：；
（3）已知点，两个不重合的动点M，N均在双曲线C上，直线PM，PN分别与y轴交于点E，F，点Q在直线MN上，且PQ⊥MN.试问：是否存在定点T，使得|QT|为定值？若存在，求出该定点T和|QT|；若不存在，请说明理由.
1.【答案】C
2.【答案】B
3.【答案】D
4.【答案】A
5.【答案】C
6.【答案】D
7.【答案】C
8.【答案】A
9.【答案】ABD
10.【答案】ACD
11.【答案】BCD
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】0
-1

15.【答案】 因为，
所以，
所以
=，
又因为n∈N*，所以，所以
16.【答案】60°
17.【答案】n=8，或a=2 7 x4，7x2 1
18.【答案】当a≤0时，函数f（x）在R上单调递减，当a＞0时，f（x）在（-∞，-lna）上单调递减，在（-lna，+∞）上单调递增 ①函数，定义域为（0，+∞），
，令g'（x）=0，则x=1或f（x）=aex-x=0，
当a=0时，方程g′（x）=0只有1个根1，g（x）有一个极值点；当a≠0时，方程aex-x=0等价于，
设h（x）=ex，，
当a＜0时，由于h（0）=1，t（0）=0，且h（x）单调递增，而t（x）单调递减，
故两函数图象在（0，+∞）上没有交点，g（x）有一个极值点；当a＞0时，因为h′（x）=ex，设h（x）图象的一条过原点的切线方程为，
其中切点为.故，解得x0=1，即该切线方程为y=ex，
因此，当时，即，函数与h（x）=ex的图象有两个交点且横坐标不为1，因此g（x）有三个极值点；当时，函数与h（x）=ex的图象有一个交点，即ex-1-x≥0恒成立，因此g（x）有一个极值点；当时，即，函数与h（x）=ex的图象没有交点，因此g（x）有一个极值点；综上，当a≤0或时，g（x）有一个极值点；当时，g（x）有三个极值点；②证明：因为g（x）有三个极值点，因此aex-x=0在（0，+∞）上有两个不同的根x3，x1，且x3，x1≠1，
又g（x）的极值点x2=1，不妨设x1＜1＜x3，
此时，g'（x）=0有三个不等实根x1，1，x3，即g（x）有三个极值点，
因此，两边同时取自然对数，
得x3=-lna+lnx3，x1=-lna+lnx1，
两式相减得x1-x3=lnx1-lnx3，即，
令，构造函数，
求导得，因此函数m（t）在（1，+∞）上单调递增，
于是m（t）＞m（1）=0，因此成立，
于是，因此x3+x1＞2=2x2，
因此x1，x2，x3不构成等差数列
19.【答案】 证明：易知双曲线渐近线为，
设R（x0，y0），
因为点R在双曲线上，
所以，
即
所以点R到渐近线的距离为，，
则 存在定点T，使得|QT|为定值