贵州省遵义市汇川区九年级上学期12月期末数学试题（解析版）

这是一份贵州省遵义市汇川区九年级上学期12月期末数学试题（解析版），共11页。试卷主要包含了所有题目必须在答题卡上作答等内容，欢迎下载使用。
（满分150分，考试时间120分钟）
考试范围：全册
注意事项：
1．答题时，务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。
3．答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4．所有题目必须在答题卡上作答。
一、选择题（本大题共12题，每题3分，共36分．每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置填涂）
1. 我国民间建筑装饰图案中，蕴含着丰富的数学之美．下列图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】直接根据轴对称图形的定义和中心对称图形的定义逐项判断即可．
【详解】解：A．该图形是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；
B．该图形不是轴对称图形，但是中心对称图形，故此选项错误；
C．该图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项错误；
D．该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项错误．
故选：A．
【点睛】本题考查了对称图形的定义和中心对称图形的定义，在平面内，一个图形绕某点旋转180°后能与原来的图形重合，这个图形叫做中心对称图形；一个图形沿某条直线对折后，直线两旁的部分能重合，这样的图形叫做轴对称图形．理解这两个概念是关键．
2. 用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程是解题的关键．
根据配方法解一元二次方程求解作答即可．
【详解】解：，
，
，
，
故选：D．
3. 下列关于二次函数的说法，正确的是（ ）
A. 图象开口向上B. 图象的对称轴为直线
C. 图象的顶点坐标为D. 函数的最大值是
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象的性质，根据解析式得出开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，当时，最大值是，即可求解．
【详解】解：A、二次函数的，开口向下，故A选项错误，不符合题意；
B、图象的对称轴为直线，故B选项错误，不符合题意；
C、图象顶点坐标为，故C选项错误，不符合题意；
D、函数的最大值是，D选项正确，符合题意．
故选：D．
4. 如图，在扇形纸扇中，若，，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了弧长的计算，熟练掌握弧长计算公式是解题的关键．
根据弧长公式计算即可．
【详解】解：，，
的长为，
故选：C ．
5. 已知关于x的一元二次方程有一个根为，则a的值为（ ）
A. 0B. C. 1D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查一元二次方程的解，将代入关于x的一元二次方程得到关于的一元二次方程求解即可．
【详解】解：将代入关于x的一元二次方程，
得，
解得，
故选B．
6. 下列事件为随机事件的是（ ）
A. 抛掷一枚普通的正方体骰子，掷得的数是7
B. 打开电视，正在播放2025跨年晚会
C. 直径是圆中最长的弦
D. 一个图形旋转后所得的图形与原图形全等
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不可能事件指在一定条件下一定不发生的事件；随机事件即不确定事件指在一定条件下可能发生也可能不发生的事件；熟练掌握其相关概念是解题的关键．根据事件发生的可能性大小逐项判断即可．
【详解】解：A、是不可能事件，不符合题意；
B、是随机事件，符合题意；
C、是必然事件，不符合题意；
D、是必然事件，不符合题意；
故选：B．
7. 如图，将直角三角板绕顶点顺时针旋转得到，点恰好落在的延长线上．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查直角三角形的性质以及图形的旋转的性质，找出旋转前后的对应角是解答本题的关键．根据直角三角形两锐角互余，求出的度数，由旋转可知，在根据平角的定义求出的度数即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵由旋转可知，
∴，
故选：A．
8. 如图，四边形为的内接四边形，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据圆内接四边形的对角互补可知，得到，再根据圆周角定理，一条弧所对的圆周角等于圆心角的一半可知，即可得到答案．
【详解】解：四边形为的内接四边形
所对圆周角是，所对圆心角是
故选：B．
9. 在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，所得抛物线的函数解析式为（ ）
A. B.
C D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象的平移，熟练掌握抛物线的平移规律．
根据平移规律“左加右减，上加下减”即可求解．
【详解】解：将二次函数的图象向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，
，
，
故选：D．
10. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）
A. 且B.
C. 且D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式以及一元二次方程的定义，掌握以上知识点是解答本题的关键．
根据一元二次方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于，根据一元二次方程的定义得到二次项系数不等于，解两个不等式即可得到的取值范围．
【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
解得：且，
的取值范围是且，
故选：A．
11. 如图，正六边形内接于，若的周长是，则正六边形的周长是（ ）
A. 18B. 36C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据圆周长的公式可算出直径，由正六边形内接于可知正六边形的半径为6，，又正六边形的中心角为，所以正六边形的边长也为6，即可求出正六边形的边长．
【详解】∵，
∴，
即，
∵正六边形内接于，
∴边长= ，
∴周长=．
故选B．
【点睛】本题考查了圆内接正六边形的相关性质，解决本题的关键是正六边形的边长和它的半径相等．
12. 如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，对称轴为直线．若点的坐标为，则下列结论正确的是（ ）
A.
B.
C. 是关于的一元二次方程的一个根
D. 点，在抛物线上，当时，
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查的是二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的特征、抛物线与x轴的焦点情况，根据对称轴判断A，根据图象特征判断B，根据对称轴及抛物线与x轴的交点判断C，根据抛物线的性质判断D．
【详解】解：∵抛物线开口向上，对称轴为直线，
∴，，
∴，
∴，故A错误；
∵抛物线与轴交于负半轴，
∴，
∴，即，故B错误．
∵抛物线与轴交于点，对称轴为直线，
∴抛物线与轴的另一个交点的坐标为，
∴是关于的一元二次方程的一个根，故C正确．
∵抛物线开口向上，对称轴为直线，
∴当时，随增大而增大，
∴当时，，故D错误．
故选：C．
二、填空题（本大题共4题，每题4分，共16分）
13. 林业部门要分析一种树苗移植的成活率，对该树苗移植后的成活情况进行了记录，并统计了如下表格：
根据表格信息，可以估计该树苗移植成活的概率是_______．（精确到0.001）
【答案】0.911
【解析】
【分析】此题主要考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
【详解】解：由表格数据可得，随着样本数量不断增加，这种树苗移植成活的频率稳定在0.911左右，
故估计银杏树苗在一定条件下移植成活的概率为0.911．
故答案为：0.911
14. 在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】两点关于原点对称，则两点的横纵坐标互为相反数，由此即可求解．
【详解】解：∵点与点关于原点对称，
∴，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中点的对称，理解“两点关于原点对称，则两点的横纵坐标互为相反数”是解题的关键．
15. 若是关于的方程的解，则的值为________．
【答案】2025
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的解，代数式求值，熟练掌握一元二次方程解的定义是解题的关键．先将代入方程可得，再由即可得到答案．
【详解】解：是关于的方程的解
故答案为：2025．
16. 如图，为半圆的直径，且，半圆绕点顺时针旋转，点旋转到的位置，则图中阴影部分的面积为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查扇形面积的计算、旋转的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
根据图形可知，阴影部分的面积是半圆的面积与扇形的面积之和减去半圆的面积．
【详解】解：由图可得，图中阴影部分的面积为；
故答案为：
三、解答题（本大题共9题，共98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 用适当的方法解下列方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握配方法和因式分解法解一元二次方程是解题的关键．
（1）利用配方法得到，即可得到答案；
（2）移项后提取公因式得到，即可得到答案．
【小问1详解】
解：
∴，
【小问2详解】
解：
或
∴，
18. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，．
（1）画出与关于原点对称的；
（2）画出将绕原点顺时针旋转后得到的，点的坐标是________；
（3）试说明经过怎样的变换可以得到．
【答案】（1）见解析；
（2）见解析，；
（3）将绕原点逆时针旋转后可得到．
【解析】
【分析】本题考查了中心对称，旋转变换作图，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）利用中心对称的性质分别作出，，的对应点，，即可；
（2）利用旋转变换的性质分别作出，，的对应点，，即可，再根据图可知点的坐标；
（3）利用旋转变换的性质判断．
【小问1详解】
解：根据题意，利用网格的特点分别作出，，关于原点对称的对应点，，，再依次连接，如图，即为所求，
【小问2详解】
解：根据题意，利用网格的特点分别作出，，绕原点顺时针旋转后的对应点，，，再依次连接，如图，即为所求，
由图可知点的坐标为，
故答案：．
【小问3详解】
解：如下图，
将绕原点逆时针旋转后可以得到．
19. 如图，为的直径，是弦，且于点E．连接、、．
（1）若，，求弦的长；
（2）求证：．
【答案】（1）
（2）见解析
【解析】
【分析】（1）先求出半径，利用勾股定理求出，再根据垂径定理推出，即可求解；
（2）利用垂径定理得出，根据等弧所对的圆周角相等可得，结合，即可证明．
【小问1详解】
解：，，
，
，，
在中，．
为的直径，是弦，，
，
；
【小问2详解】
解：为的直径，是弦，，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查圆周角定理、垂径定理、勾股定理，解题的关键是牢记：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧．
20. 甲骨文是迄今为止中国发现的年代最早的成熟文字系统，是汉字的源头和中华优秀传统文化的根脉．小明在了解了甲骨文后，制作了如图所示的四张卡片（这四张卡片分别用字母表示，正面文字依次是文､明､自､由，这四张卡片除正面内容不同外，其余均相同），现将四张卡片背面朝上，洗匀放好．
（1）小明从中随机抽取一张卡片，抽取的卡片上的文字是“文”的概率为 ；
（2）小明从中随机抽取一张卡片不放回，小亮再从中随机抽取一张卡片，请用列表或画树状图的方法，求两人抽取的卡片恰好组成“文明”一词的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率：
（1）根据概率计算公式求解即可；
（2）先列表或画树状图得到所有等可能性的结果数，再找到两人抽取的卡片恰好组成“文明”一词的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
【小问1详解】
解：∵一共有4张卡片，卡片上的文字是“文”的卡片有1张，且每张卡片被抽到的概率相同，
∴小明从中随机抽取一张卡片，抽取的卡片上的文字是“文”的概率为，
故答案为：
【小问2详解】
解：解法一：画树状图下：
由树状图可知，共有12种等可能的结果，两人抽取的卡片恰好组成“文明”一词的结果有2种，
两人抽取的卡片恰好组成“文明”一词．
解法二：列表如下：
由表可知，共有12种等可能的结果，两人抽取的卡片恰好组成“文明”一词的结果有2种，两人抽取的卡片恰好组成“文明”一词．
21. 我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现：如果关于的方程的两个根是，，那么由求根公式可推出，．请根据这一结论，解决下列问题：
（1）若，是方程的两根，则________，________；
（2）若，是方程的两根，求，的值；
（3）已知两个不同的实数，满足，，求的值．
【答案】（1）
（2），
（3）的值为
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的知识，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系，根据，，进行解答，即可．
（1）根据一元二次方程根与系数的关系，，进行解答，即可；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系，，进行解答，即可；
（3）根据一元二次方程根与系数的关系，，可得，，再通分，可得，进行解答，即可
【小问1详解】
解：∵关于的方程的两个根是，，那么由求根公式可推出，，
∴，是方程的两根，；；
故答案为：；．
【小问2详解】
解：∵，是方程的两根
∴，
∴，．
【小问3详解】
解：∵两个不同的实数，满足，，
∴，，，可看作方程的两根，
∴，，
∴，
即的值为．
22. 某超市以每件10元的价格购进一种文具，销售时该文具的销售单价不低于进价且不高于19元．经过市场调查发现，该文具每天的销售量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示：
（1）求与之间的函数关系式；
（2）若该超市每天销售这种文具获利192元，则销售单价为多少元？
（3）该超市要使每天销售这种文具的利润最大，销售单价应为多少元？最大利润是多少元？
【答案】（1）与之间的函数关系式为
（2）销售单价为18元
（3）该超市要使每天销售这种文具的利润最大，销售单价应为19元，最大利润是198元
【解析】
【分析】本题考查了一次函数与二次函数的应用、一元二次方程的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．
（1）设与之间的函数关系式为，利用待定系数法求解即可得；
（2）设销售单价为元，则每天的销售量为件，根据利润（销售单价购进单价）销售量建立方程，解方程可得的值，再根据确定的值即可得；
（3）设该超市每天销售这种文具的利润为元，根据利润（销售单价购进单价）销售量可得关于的函数关系式，再利用二次函数的性质求解即可得．
【小问1详解】
解：设与之间的函数关系式为，
将点和代入得：，
解得，
所以与之间的函数关系式为．
【小问2详解】
解：设销售单价为元，则每天的销售量为件，
由题意得：，
解得或，
∵该文具购进的价格是每件10元，销售时该文具的销售单价不低于进价且不高于19元，
∴，
∴，
答：销售单价为18元．
【小问3详解】
解：设该超市每天销售这种文具的利润为元，
由题意得：
，
∵该文具购进的价格是每件10元，销售时该文具的销售单价不低于进价且不高于19元，
∴，
又∵二次函数的对称轴为直线，且，
∴当时，随的增大而增大，
∴当时，取得最大值，最大值为，
答：该超市要使每天销售这种文具的利润最大，销售单价应为19元，最大利润是198元．
23. 如图1，在中，，D、E是边上的两点，且满足，以点B为旋转中心，将按逆时针方向旋转得到，连接．
（1）求证：；
（2）如图2，若，其他条件不变，探究之间的关系，并证明．
【答案】（1）证明见解析
（2），证明见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，熟知旋转前后对应角相等，对应线段相等是解题的关键．
（1）先证明，再由旋转的性质得到，，则可证明，进而证明，从而证明；
（2）由垂直的定义得到，根据等边对等角得到，由旋转，得，，则，由勾股定理得到，由（1）得，则．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，
由旋转得，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：，证明如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
由旋转，得，，
∴，
∴，
由（1）得，
∴．
24. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，D是⊙O上一点，且弧CB=弧CD，CE⊥DA交DA的延长线于点E．
（1）求证：∠CAB＝∠CAE；
（2）求证：CE是⊙O的切线；
（3）若AE＝1，BD＝4，求⊙O的半径长．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）．
【解析】
【分析】（1）连接BD，根据圆内接四边形的性质和等弧所对的圆周角相等，可得∠CAB＝∠CAE；
（2）连接OC，由题意可得∠ACB＝90°＝∠AEC，即可证∠BCO＝∠ACE＝∠ABC，可得∠ECO＝∠ACB＝90°，则可证CE是⊙O的切线；
（3）过点C作CF⊥AB于点F，由角平分线性质可得CE＝CF，可证△CED≌△CFB，可得DE＝BF，根据勾股定理可求⊙O的半径长．
【详解】证明：（1）连接BD
∵弧CB=弧CD，
∴∠CDB＝∠CBD，CD＝BC
∵四边形ACBD是圆内接四边形
∴∠CAE＝∠CBD，且∠CAB＝∠CDB，
∴∠CAB＝∠CAE；
（2）连接OC
∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°＝∠AEC，
又∵∠CAB＝∠CAE，
∴∠ABC＝∠ACE，
∵OB＝OC，
∴∠BCO＝∠CBO，
∴∠BCO＝∠ACE，
∴∠ECO＝∠ACE+∠ACO＝∠BCO+∠ACO＝∠ACB＝90°，
∴EC⊥OC，
∵OC是⊙O的半径，
∴CE是⊙O的切线．
（3）过点C作CF⊥AB于点F，
又∵∠CAB＝∠CAE，CE⊥DA，
∴AE＝AF，
在△CED和△CFB中，
∵∠DEC=∠BFC=90°，
∠EDC=∠BFC，
CD=BC，
∴△CED≌△CFB（AAS），
∴ED＝FB，
设AB＝x，则AD＝x﹣2，
在△ABD中，由勾股定理得，x2＝（x﹣2）2+42，
解得，x＝5，
∴⊙O半径的长为．
【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确识别图形是解题的关键．
25. 如图，抛物线经过坐标轴上三点．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）是直线上方抛物线上一动点，连接、，求面积的最大值及此时点的坐标；
（3）是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点，使得四边形是平行四边形？若存在，求出满足条件的点的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）
（2）当时，的面积有最大值4，此时
（3）存在，
【解析】
【分析】（1）求出、点坐标，再用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）过点作轴交于点，设，则，可得，当时，的面积有最大值4，此时；
（3）根据题意，设，结合，，根据平行四边形的对角线交点坐标，利用中点坐标公式列方程组求解即可求点坐标．
【小问1详解】
解：抛物线经过坐标轴上三点，
将代入得，解得，
抛物线的函数解析式为；
【小问2详解】
解：设直线的函数解析式为，
将代入得，解得，
直线的函数解析式为，
过点作轴交于点，如图所示：
设，则，
，
，
由图像开口向下，当时，的面积有最大值4，此时；
【小问3详解】
解：存在点，使得四边形是平行四边形．
，
抛物线的对称轴为直线，
由题知，，
设，
当四边形是平行四边形时，为平行四边形的对角线，则，解得，
．
【点睛】本题考查二次函数的图像及性质，涉及待定系数法确定函数、二次函数最值、平行四边形性质及中点坐标公式等知识，熟练掌握二次函数的图像及性质，平行四边形的性质是解题的关键．
树苗数
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
成活树苗数
1862
3487
5343
7234
9108
10931
12752
成活频率
0.931
0.8718
0.8905
0.9043
0.9108
0.9109
0.9109
文
明
自
由
文
（文，明）
（文，自）
（文，由）
明
（明，文）
（明，自）
（明，由）
自
（自，文）
（自，明）
（自，由）
由
（由，文）
（由，明）
（由，自）
销售单价/元
…
12
13
14
…
每天的销售量/件
…
36
34
32
…