2026届高考数学二轮复习解答题题型之八：概率与统计讲义及解析（word版）

这是一份2026届高考数学二轮复习解答题题型之八：概率与统计讲义及解析（word版），共46页。学案主要包含了例1-1，例1-2，变式1-1，变式1-2，变式1-3，例2-1，例2-2，变式2-1等内容，欢迎下载使用。
题型01 求概率及随机变量的分布列与期望
【例1-1】(2025·广西·模拟)不透明的盒中有五个大小形状相同的小球．它们分别标有数字，0，1，1，2，现从中随机取出2个小球．
(1)求取出的2个小球上的数字不同的概率；
(2)记取出的2个小球上的数字之积为X，求X的分布列及数学期望．
【详解】（1）总取法数目，考虑全部的取出的2个小球上的数字不同的情况，
2个小球上的数字可能是，0或，1或，2或0，1或0，2或2，1
分别有1，2，1，2，1，2种情况，故所求概率.
（2）如果取出的2个小球上的数字包含0，此时取出的2个小球上的数字之积为0，
总的情况数有种；
如果取出的2个小球上的数字为，1，此时取出的2个小球上的数字之积为，总的情况数有2种；
如果取出的2个小球上的数字为， 2，此时取出的2个小球上的数字之积为，总的情况数有1种；
如果取出的2个小球上的数字为1， 2，此时取出的2个小球上的数字之积为2，总的情况数有2种；
如果取出的2个小球上的数字为，1，此时取出的2个小球上的数字之积为，总的情况数有1种；
而总的情况有种，
故，，，
，，
所以分布列为
数学期望.
【例1-2】(2025·湖南·模拟)错题重做是一种有效的学习策略，它可以帮助学生更好地理解和掌握知识.某班级数学老师利用DeepSeek设计了一个错题重做网页小游戏.并在班级发起错题重做挑战赛.甲和乙两人组成“郴队”参加挑战赛.每轮比赛中，甲和乙各抽取一道错题，他们做对与否互不影响，且各轮结果也互不影响.
(1)若甲每轮做对的概率为，乙每轮做对的概率为.求“郴队”在两轮比赛中做对2题的概率；
(2)若甲和乙第一轮做对的概率分别为，，第二轮做对的概率分别为，.求“郴队”在两轮比赛中做对3题的概率.
【详解】（1）设“甲第轮做对”为事件，“乙第轮做对”为事件，，
已知，，且与相互独立，各轮之间也相互独立.
“郴队”在两轮比赛中做对2题有三种情况：
情况一：甲做对2题，乙做对0题的概率为.
情况二：甲做对0题，乙做对2题的概率为.
情况三：甲做对1题，乙做对1题
甲做对1题的概率为
乙做对1题的概率为
所以甲做对0题，乙做对2题的概率为.
因为这三种情况互斥，所以“郴队”在两轮比赛中做对2题.
（2）设“甲第轮做对”为事件，“乙第轮做对”为事件，.
已知，，，，且各事件相互独立.
“郴队”在两轮比赛中做对3题有两种情况：
情况一：甲做对2题，乙做对1题
甲做对2题的概率为
乙做对1题的概率为
所以甲做对2题，乙做对1题的概率为.
情况二：甲做对1题，乙做对2题
甲做对1题的概率为
乙做对2题的概率为
所以甲做对1题，乙做对2题的概率为.
由于这两种情况互斥，所以“郴队”在两轮比赛中做对3题的概率为.

求离散型随机变量的分布列及期望的一般步骤：
（1）根据题中条件确定随机变量的可能取值；
（2）求出随机变量所有可能取值对应的概率，即可得出分布列；
（3）根据期望的概念，结合分布列，即可得出期望（在计算时，要注意随机变量是否服从特殊的分布，如超几何分布或二项分布等，可结合其对应的概率计算公式及期望计算公式，简化计算）.
【变式1-1】(2024·云南·二模)袋子中有大小相同的2个白球､3个黑球，每次从袋子中随机摸出一个球.
(1)若摸出的球不再放回，求在第一次摸到白球的条件下，第二次摸到白球的概率；
(2)若对摸出的球看完颜色后就放回，这样连续摸了3次，求3次摸球中摸到白球的次数的分布列和均值.
【详解】（1）方法一：
第一次摸到白球，第二次摸球时袋子中有1个白球，3个黑球，
所求概率.
方法二：
设“第一次摸到白球”，“第二次摸到白球”，则，,
所求概率；
（2）的所有可能取值为.
，，
，，
的分布列为：
,的均值.
【变式1-2】（2023·广州·三模）某学校开展“争做文明学生，共创文明城市”的创文知识问答竞赛活动，现从全校参与该活动的学生中随机抽取100名学生的竞赛成绩（单位：分），并以此为样本绘制了如下频率分布直方图．
(1)求该100名学生竞赛成绩的第80百分位数；
(2)学校拟对被抽取的100名学生进行奖励，奖励方案如下：用频率估计概率，得分小于或等于70的学生获得1次抽奖机会，得分高于70的学生获得2次抽奖机会．假定每次抽奖抽到价值10元的学习用品的概率为，抽到价值20元的学习用品的概率为．从这100名学生中任取一位，记该同学在抽奖活动中获得学习用品的价值总额为元，求的分布列和数学期望（用分数表示），并估算此次抽奖要准备的学习用品的价值总额．
【详解】（1）由频率分布直方图可得竞赛成绩位于区间的频率分别为：，
又， ，
所以第80百分位数大于，小于，
设第80百分位数为，则，所以，
所以该100名学生竞赛成绩的第80百分位数为；
（2）由已知的取值可能为：，
由已知从人中任取一名同学，该同学成绩不超过的概率为，
又每次抽奖抽到价值10元的学习用品的概率为，抽到价值20元的学习用品的概率为．
，
，
，
；
所以的分布列为：
所以，
所以此次抽奖要准备的学习用品的价值总额估计为元．
【变式1-3】(2024·云南昆明·模拟)某校举行知识竞赛，最后一个名额要在A，B两名同学中产生，测试方案如下：A，B两名学生各自从给定的4个问题中随机抽取3个问题作答，在这4个问题中，已知A能正确作答其中的3个，B能正确作答每个问题的概率都是，A，B两名同学作答问题相互独立．
(1)求A，B两名同学恰好共答对2个问题的概率；
(2)若让你投票决定参赛选手，你会选择哪名学生，简要说明理由．
【详解】（1）设同学答对的题数为，则随机变量的所有可能取值为，.
则，；
设同学答对的题数为，则随机变量的所有可能取值为，，，.
，，
，.
所以，两名同学恰好共答对个问题的概率为.
（2）由（1）知，，；
而，.
因为，