河南省三门峡市2026届高三上学期期末检测数学试卷（Word版附解析）

这是一份河南省三门峡市2026届高三上学期期末检测数学试卷（Word版附解析），共19页。试卷主要包含了考试结束后，将答题卡交回等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色墨水签字笔书写，字体工整、笔迹清楚．
3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．
4．考试结束后，将答题卡交回．
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
解析：因为，
所以，
故选：B
2. 复数在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】C
解析：，其对应的点为
故其在复平面内对应点位于第三象限.
故选：C
3. 在的展开式中，含项的系数是（ ）
A. 21B. 84C. -21D. -84
【答案】B
解析：展开式的通项为：，
令，则，系数为
故选:B.
4. 已知的外接圆圆心为，且，则在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
解析：由知，即，
又三点构成，所以，所以四边形是平行四边形，如图：
又的外接圆圆心为，所以，
所以平行四边形是菱形，且，即与的夹角为，
设菱形的边长为.
则在上的投影向量为.
故选：D.
5. 已知数列满足，，(，，)，则“”是“数列为等差数列”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
解析：当时，，所以数列为公差为1的等差数列，即充分性成立；
，所以若数列为等差数列，则或，即必要性不成立，
综上，“”是“数列为等差数列”的充分不必要条件，
故选A
6. Sigmid函数是神经网络中最常用的激活函数之一，其解析式为，记为函数的导函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 函数单调减函数B.
C. 函数的最大值是D.
【答案】B
解析：对于选项A：因为的定义域为，且，
所以函数在定义域内单调递增，故A错误；
对于选项B：因为，故B正确；
对于选项C：因为，
当且仅当，即时，等号成立，
所以函数的最大值是，故C错误；
对于选项D：因为，
所以，故D错误；
故选：B.
7. 在平面直角坐标系中，过点作圆的两条切线，切点为，已知是圆上的动点，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
解析：由圆,得,
则圆心,半径,
过点作圆的两条切线,切点为、 ，
根据切线的性质,可得点在以为直径的圆上,如图:
圆心为，半径为 1，所以其方程为 ，
所以为两圆的交点，联立，
解得，设圆上的动点 ，
则，
所以,
又是圆上的动点，所以，即，
则 ，
又 在圆上，所以,
所以，即 ，
所以的最大值为 ．
故选：C ．
8. 已知函数在 处取到最小值，且在区间上存在极大值，的最小整数解是（ ）
A. 2B. 8C. 10D. 14
【答案】B
解析：因为在处取到最小值，所以，
所以，所以，
又，所以.
当，所以，
又因为在区间上存在极大值，所以,
所以，所以，即，解得，
所以且，
当时，，所以的最小整数解是8.
故选：B.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 记等差数列的公差为，前项和为，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】AD
解析：由题意可得：，解得，故A正确；
因为，，
所以，故D正确；
且，，故BC错误.
故选：AD
10. 近年来，中国新能源汽车产业实现跨越式发展，连续多年产销量位居全球第一．某国产新能源汽车企业为提高自动驾驶安全性，自主研发了一款智能控制芯片．若该企业生产的芯片优秀率为，现从生产流水线上随机抽取5件，其中优秀产品的件数为，另一随机变量，则（ ）
A. B.
C. D. 随的增大先增加后减小
【答案】ABD
解析：由题意知，
所以，
所以，故A正确；
因为，所以，
所以，故B正确；
因为，
而，，
所以，
由知，所以，故C错误；
因为，
，
，
，
由上知，，
所以随的增大先增加后减小，故D正确．
故选：ABD.
11. 在正方体中，点在线段上运动，则下列判断中正确的是（ ）
A. 平面
B. 平面
C. 三棱锥的体积不变
D. 直线与平面所成角的正弦值的取值范围是
【答案】BCD
解析：对于选项A：在正方体中，，，
所以四边形是平行四边形，所以，
同理可证，
因为平面，平面，则平面，
因为平面，平面，则平面，
因为，且平面，所以平面平面，
因为平面，所以平面，故A错误；
对于选项B：由选项A可知：，
且平面，平面，则平面，
在正方体中，，，
所以四边形是平行四边形，所以，
且平面，平面，则平面，
又因为，且平面，所以平面平面，
因为平面，所以平面，故B正确；
对于选项C：因为平面，且点在线段上运动，
可知点到平面的距离为定值，
且的面积为定值，所以三棱锥的体积不变，故C正确；
对于选项D：不妨设正方体的边长为2，
因为是边长为的等边三角形，则，
设点到平面的距离为，
则，解得，
设直线与平面所成角为，则，
当点与点重合时，取最小值，此时取最大值；
当点与点重合时，取最大值，此时取最小值；
且正弦值具有连续性，所以直线与平面所成角的正弦值的取值范围是，故D正确；
故选：BCD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知为抛物线上一点，若到抛物线焦点的距离是到轴的距离的2倍，则点的纵坐标为___________．
【答案】1
解析：由抛物线得其焦点，准线方程为：，
设．由题意得，
解得或（舍去），
故答案为：1
13. 已知函数，若方程有且仅有3个根，则实数的取值范围为______.
【答案】
解析：方程即，
显然为方程的一个根，
由题意方程有2个非零根，则函数与有两个交点，
画出函数的图象，如图所示：
由图可知，故实数的取值范围为.
故答案为：
14. 一个箱子里有5个相同的球，分别标有数字，从中有放回地随机取3次，每次取出1个球，并记录其号码．设这三次的号码之和为，若为偶数，则三次号码都是偶数的概率为___________．
【答案】
解析：数字中有2个偶数，3个奇数，
记事件A：三次的号码之和为偶数，事件B：三次号码都是偶数，
则事件B就是积事件，事件A即三次号码都为偶数或2奇1偶:
当三次号码都为偶数时，每次都有2种取法，所以共有种取法；
当三次号码为2奇1偶时，从三次取球中选一次取偶数，有种选法，
这一次取到偶数有2种取法，另外两次取奇数，每次都有3种取法，
根据分步乘法计数原理，这种情况共有种取法.
方法一：所以.
所以,
故答案为：.
方法二：所以，
由条件概率公式知，
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知的内角的对边分别为，且，
（1）求的大小；
（2）已知，为边上的高，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
解析：
（1）
由，
用正弦定理得，
化简得：，
又,
从而，，
得又.
（2）
由正弦定理得: ,
所以 ,
在 中，
因为 ，所以 ，
所以 ，即 ．
16. 已知各项均不为零的等差数列的前项和为，且满足．
（1）求的值；
（2）若，数列前项和为，求证：．
【答案】（1）1 （2）证明见解析
解析：
（1）
当时，由，得，
两式相减得，则，
即，因为，
所以，解得，
当时，，解得，
；
（2）
由（1）知：，
则，
所以，
所以，
，
.
17. 如图，四棱锥中，平面，，，，，，，是的中点.
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面所成角的余弦值；
（3）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明见详解；
（2）；
（3）存在，.
解析：
（1）
取中点，连接、，
又是的中点，所以，且，
又，，，所以，且，
所以四边形为平行四边形，所以，
又平面，平面，
所以平面；
（2）
因为平面，平面，平面，
所以，，
又，所以以为坐标原点，以为轴，以为轴，以为轴，
建立空间直角坐标系，如图所示，
则，，，，，
所以，，，，
令平面的法向量为，则，即，
令，则，，所以平面的法向量为，
令平面的法向量为，则，即，
令，则，，所以平面的法向量为，
设平面与平面所成角为，
所以，
所以平面与平面所成角的余弦值为；
（3）
设且，则，由（2）可得，，，，
所以，
设平面的法向量为，则，即，
令，则，，所以平面法向量为，
又，点到平面的距离为，
所以，即，解得，
所以在线段上存在点，使得点到平面的距离为，且.
18. 已知椭圆的短轴长为2，椭圆上的点到一个焦点的距离的最大值为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点作斜率为的直线与椭圆相交于两点，轴上存在点使得直线与直线的斜率之和为0．
（i）求点的坐标；
（ii）求的面积的最大值．
【答案】（1）
（2）（i）；（ii）
解析：
（1）
短轴长，椭圆上点到一焦点最大距离，
又，
解得，
椭圆方程为
（2）
（i）设过的直线方程为，设、，

代入椭圆方程得，
由可得，即;
依据韦达定理可得，；
设，由可得，
将和代入，化简后得，
将和代入，解得，故．
（ii）到直线的距离为，
弦长，其中；
则，
令，则，，
代入面积公式，
由基本不等式，得，
当且仅当(即符合题意)时取等号，所以三角形面积的最大值为.
19. 已知函数．
（1）求极值；
（2）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，求；
（3）若函数有且只有两个零点，求的取值范围．
【答案】（1）极小值，无极大值
（2）
（3）答案见解析
解析：
（1）
，令，
则当时，；当时，；
故在上单调递减，在上单调递增，
故有极小值，无极大值；
（2）
，则，又，
则曲线在点处的切线为，
设该切线在曲线上的切点为，
，则且，
由可得，则，故，则；
（3）
，令，则，
因为有且只有两个零点，
所以直线与的图象有且只有两个公共点，
设函数，则．当时，，单调递减，
当0时，，单调递增，则，
所以，当且仅当时，等号成立，
因为在上单调递增，，，
所以存在，使得．
，
当且仅当时，等号成立，
当时，，当时，，所以，