【数学】辽宁省鞍山市部分高中2025-2026学年高一上学期1月期末考试试题（学生版+解析版）

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一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 命题“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
2. 下列各图中，一定不是函数图象的是（ ）
A. B.
C. D.
3. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4. 设，则的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
5. 已知函数，在下列区间中，一定包含零点的区间是（ ）
A. B. C. D.
6. 已知是定义在上的偶函数，且在上单调递减，若，则不等式的解集是（ ）
A. B.
C. D.
7. 下列说法错误的是（ ）
A. 一组数据的众数和中位数相同
B. 对A，B，C三种个体按的比例分层随机抽样调查，如果抽取A的个体数为9，则样本容量为18
C. 一组数据为，则这组数据的分位数为10
D. 若样本数据，，，的标准差和平均数均为8，则数据，，…，的标准差为16，平均数为15
8. 纯电动汽车现阶段使用的锂离子电池有“日历寿命”，即电池使用随着时间的增长其容量会发生衰减．某品牌某型号的锂离子电池使用时长数x（每单位代表4年）与剩余电池容量占比在某阶段（剩余电池容量占比）近似满足如下函数关系式：．依此，理论上当剩余电池容量占比为时，该电池大约使用了（ ）（参考数据：，，）
A. 48年B. 68年C. 76年D. 80年
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 抛掷一枚质地均匀的骰子，观察向上的面的点数，“点数为奇数”记为事件A，“点数小于5”记为事件B，“点数大于5”记为事件C．下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. 与对立D.
10. 下列说法错误的是（ ）
A. 不等式的解集为
B. 不等式的解集为
C. 不等式的解集为
D. 若，则函数的最小值为2
11. 下列说法正确的是（ ）
A. 当时，不等式恒成立，则实数k的取值范围是
B. 幂函数在上是减函数的充要条件是
C. 已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围为
D. 若，设函数的零点为m，的零点为，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知向量，．若，则______．
13. 甲、乙两人进行投篮比赛，甲每次投中的概率为，乙每次投中的概率为，且甲、乙两人投中与否互不影响．若甲、乙各投一次，则两人至少有一人投中的概率是______．
14. 对于实数x，符号表示不超过x的最大整数，例如，．若函数，则函数的值域为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知集合，．
（1）若，求；
（2）若，求实数的取值范围．
16. 如图，在平行四边形ABCD中，，，设，．注：本小题几何方法求解不得分．
（1）用，表示，；
（2）用平面向量证明：E，F，C三点共线．
17. 某校某次数学考试全体学生的成绩都在内．某个数学兴趣小组对成绩分布进行统计研究，随机抽取100位学生的成绩作为样本，并作出样本的频率分布直方图如下，其中成绩分组区间是：，，，，．

（1）求图中的值；
（2）根据样本的频率分布直方图，估计该校该次考试全体学生成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代替）和分位数；
（3）从成绩区间是，的两组中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，求在成绩区间是的这组中恰好抽到1人的概率．
18. 已知函数是定义域为的奇函数，且.
（1）求的解析式；
（2）判断在区间上的单调性，并用定义证明；
（3）求关于x的不等式的解集.
19. 已知函数．
（1）若函数的图象过点，求的值；
（2）当时，存在使不等式成立，求实数的取值范围；
（3）是否存在实数，使得函数在上的最大值为，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．