山东省实验中学2026届高三下学期第四次诊断性考试数学试卷含解析（word版）

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注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知全集，集合，则集合元素的个数是（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
2. 若复数满足，则（ ）
A. B. C. D.
3. “”是“曲线为椭圆”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
4. 已知函数奇函数，则（ ）
A. 2B. 1C. D.
5. 我国古代著作《庄子氏·天下篇》引用过一句话:“一尺之棰，日取其半，万世不竭.” 其含义是:一尺长的木棍，每天截去它的一半，永远也截不完.在这个问题中，记第n 天后剩余木棍的长度为，数列 的前 项和为，则使得不等式 成立的正整数 的最小值为（ ）
A. 6B. 5C. 4D.
6. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
7. 直线与圆交于，两点，且的面积为2，已知是圆上的动点，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知随机变量所有可能的取值为，若，则（ ）
A. 存在B. 任意
C. 存在D. 任意
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 将函数的图象向左平移个单位长度，得到的函数图象关于轴对称，则的值可能为（ ）
A. B. C. D.
10. 已知正四面体棱长为2，点分别为的中点，则（ ）
A. B. 直线与所成角的余弦值为
C. D. 该正四面体的内切球体积为
11. 已知函数定义域为，则（ ）
A. B. 存在，使得
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若曲线在点处的切线与直线垂直，则的值为_____．
13. 小李银行卡的六位密码由组成，如果数字1与2不相邻，则小李可以设置的不同的密码个数为_____．
14. 已知分别为双曲线的左、右焦点，点在的右支上，且与的一条渐近线垂直，若，则的离心率为_____．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 如图，在多面体中，平面平面，四边形为直角梯形，四边形为平行四边形，．
（1）证明：；
（2）若点是中点，求点到平面的距离．
16. 随着全国新能源汽车推广力度的加大，新能源汽车消费迎来了前所未有的新机遇．
（1）为了更好了解大众对新能源汽车的接受程度，某城市汽车行业协会依据年龄采用分层随机抽样的方式，从40岁以下和40岁及以上两个年龄层中各抽取100名市民进行调查，并对他们选择新能源汽车还是选择传统汽车进行意向调查，得到了以下统计数据．完成列联表，根据小概率值的独立性检验，能否认为选择新能源汽车与年龄有关；
（2）某新能源汽车公司根据市场调研得到若干组数据，用最小二乘法得到该产品利润（单位：亿元）与研发投入（单位：亿元）的线性回归方程，且产品利润的方差为，研发投入的方差为．求与间的样本相关系数，并据此判断产品利润与研发投入的线性相关性强弱．
附：（ⅰ）在线性回归方程中，，；
（ⅱ）样本相关系数，若，可认为与线性相关程度较强；
（ⅲ），其中．
17. 在中，内角的对边分别为，且．
（1）若，求的值；
（2）若均为锐角，求的最小值．
18. 已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若对恒成立，求的取值范围；
（3）当且时，证明：．
19. 已知动圆过点，且与相切，记该动圆的圆心轨迹为曲线．
（1）求的方程；
（2）若，直线与交于两点（点在点的右侧），直线与交于两点，在第一象限，记直线与的交点为，直线与的交点为，线段的中点为．
（ⅰ）证明：三点共线；
（ⅱ）若，过点作的平行线，分别交线段于点，记与的面积分别为和，求的最大值．
选择新能源汽车
选择传统汽车
总计
40岁以下
70
40岁及以上
60
100
总计
200
0.100
0.050
0.010
0.001
2.706
3841
6.635
10.828