江苏省南通市通州区2026届高三下学期期初测试数学试卷含解析（word版+pdf版）

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求
1. 已知复数，则
A．1B．C．2D．
【答案】A
【解析】复数，则.
2. 已知集合，，则集合
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为，则，又，则.
3.设直线，的倾斜角分别为，，斜率分别为，，则“”是“”的
A．充分且不必要条件B．必要且不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】举反例：取，，满足，
但，，此时，
举反例：取（对应），（对应），
满足，但，
因此“”是“”的既不充分也不必要条件 .
4.已知向量，满足，在上的投影向量为，在上的投影向量为，则与的夹角为
A．30°B．45°C．60°D．90°
【答案】B
【解析】设向量与的夹角为.
因为，所以.
因为在上的投影向量为，所以①.
在上的投影向量为，所以，即②.
将①代入②中，，即，
所以，因为，所以，所以.
5.已知，则
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由.
又.
所以.
6.已知是定义域为的偶函数，且是奇函数，，则
A．B．2C．D．4
【答案】B
【解析】因为是上的奇函数，所以关于中心对称，
所以，，
又因为为偶函数，所以，
所以，则，
所以，即4是函数的一个周期.
由关于中心对称知，，
由知，，，
又，，
所以，
所以，
所以
.
7.已知三棱柱的棱长均为2，在底面内的射影为的中心，则到平面的距离为
A．1B．C．D．2
【答案】B
【解析】由三棱柱的所有棱长均为，
可得为边长为的等边三角形，侧棱.
设在底面内的投影为，则平面，
由的边长，可得高，
则到顶点的距离.
在中，.
如图所示，取的中点为原点，以直线为轴，直线为轴，
过点且垂直于底面的直线为轴建立空间直角坐标系，
可得，，，，
故，，.
设平面的法向量为，
则，令，得，
所以到平面的距离.
8.已知，，，成等比数列，且，，则
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设等比数列的公比为，
则.
设，
则
.
因为，，
，，
所以在上恒成立.所以函数在上单调递增.
又，.
所以函数只有1个零点，且该零点在.
所以公比.
因为，，所以，故A错误；
因为，又，所以，所以，故B错误；
因为，，所以，故C错误；
因为，且，由，，所以，所以，故D正确.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.已知双曲线的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与的一个交点为，且，则
A．
B．的离心率为
C．的渐近线方程为
D．分别以，为直径的圆的公共弦长为
【答案】ABD
【解析】由题意得的焦点在轴上，且，如图：
对于A，所以，因为，
代入得，则，故A正确；
对于B，由题意得为圆的直径，在圆上，
则有，即，所以，
所以，则，
则，故B正确；
对于C，渐近线方程为，故C错误；
对于D，如图：
设点，由题意得，
则有，解得，即，
则以为直径的圆的圆心为，即，半径，
所以方程为，
则以为直径的圆的圆心为，即，半径为，
所以方程为，
两圆方程相减，
整理得，即两圆公共弦的方程为，
易得到的距离，
则公共弦长，故D正确.
10.设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则
A．，是相互独立事件B．事件，互斥
C．D．
【答案】AC
【解析】根据概率加法公式可知，即，
所以.
选项A：因为，所以，相互独立，故A正确.
选项B：若，互斥，则，但，故B错误.
选项C：，，
，故C正确.
选项D：，，故D错误.
11.已知函数，则
A．B．
C．的值域为D．在上单调递增
【答案】BC
【解析】对于A选项，
，故A错误；
对于B选项，
，故B正确；
对于C选项，，
令，则，
，令，，
当时，，则单调递减；
当时，，则单调递增；
当时，，则单调递减；
当时，取得极小值，当时，取得极大值，
又，，，，
的值域为.故C正确；
对于D选项，由C选项可知是由和复合而成，
，，，
在上单调递增，
又在上单调递增，
下面证明与的大小：
设顶角为的等腰，，，
作的平分线交于，得，，
设，，则，
由相似得，，，解得，
，，，
，
将和分别平方再作差得，，，
则在上存在递减部分，
则由复合函数的单调性可知，在上不单调递增.故D错误.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12.若的方差为4，则的方差为________.
【答案】16
【解析】由题意得，则 .
13.已知的面积为1，，，则_______.
【答案】
【解析】，，，.
，，，.
，
设的外接圆半径为，则由正弦定理得，，，
，
即，化简得，.
.
14.已知斜率为的直线与曲线，分别相交于，两点，则的最小值为________.
【答案】
【解析】设斜率为的直线方程为，与交于，
则有，化简得，即
因为，所以，
又与交于，
，化简得，即.
则，
构造函数，
求导得： ，可知，
又由，
构造函数，求导得，
由，
在上单调递增，
由，
可得在上单调递减，
又因为，，
所以结合单调性可知：
当时，，即，
当时，，即，
所以在上单调递减，在上单调递增，
因此在处取最小值，即 ，
所以的最小值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15.某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间,需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.
(1)求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位:瓶)的分布列.
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:元),当六月份这种酸奶一天的进货量n(单位:瓶)为多少时,Y的数学期望达到最大值?
【解析】（1）由题意知，X所有的可能取值为200，300，500，由表格数据知
X的分布列为
（2）由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为 500 ，至少为 200 ，因此只需考虑
当时，若最高气温不低于 25 ，则；
若最高气温位于区间[20,25)，则；
若最高气温低于 20 ，则
因此
当时，若最高气温不低于 20 ，则，
若最高气温低于 20 ，则，
因此
所以时，的数学期望达到最大值，最大值为 520 元．
16.如图1，在正三角形中，，，分别是，上的点，，为的中点．将沿折起，得到如图2所示的四棱锥，使得．
(1)证明：平面；
(2)求二面角的正弦值.
【解析】（1）证明：正三角形中，，，为的中点，
所以，在图1中，，
所以，在中，，即，
同理，
因为，在图1中，，
所以，在图2中，，
因为，
所以，，
所以，，
因为，平面
所以平面.
（2）如图，建立空间直角坐标系，
则，，，，
所以，
设平面的一个法向量为，
所以，即，令，则，
因为平面的一个法向量为，
设二面角为，，
所以，
所以
所以二面角的正弦值为.
17.已知点，，，都在抛物线上，且，线段，的中点分别为，．
(1)证明：直线垂直于轴；
(2)直线经过曲线的焦点，直线与相交于点，求面积的最小值.
【解析】
（1）设，
则，，
因为，则，又易知，
所以向量也共线，
所以，得到，
又线段，的中点分别为，，所以，则直线垂直于轴.
（2）易知，由题知直线的斜率存在，设，
由，消得，则，，
因为，则直线的方程为①，
又，则直线的方程为②，
联立①②，消得，
整理得到，
由（1）知，又，即，
所以，由，得到，
将代入，得到，
将代入，整理得到，
所以，则，所以到直线的距离为，
又，
所以，又，所以，
故面积的最小值为 .
18.设函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若有两个零点，，且．
①求实数的取值范围；
②证明：.
【解析】（1），
（ⅰ）当时，，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增；
（ⅱ）当时，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增；
（ⅲ）当时，，在上单调递增；
（ⅳ）当时，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增；
综上所述，当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递增；
当时 ，在上单调递减，在上单调递增.
（2）①，
（ⅰ）当时，，令，解得，
此时函数只有一个零点，不符合题意，舍去；
（ⅱ）时 ，在上单调递减，在上单调递增，
则，
又，
取且，
则，
所以有两个零点，其中，，符合题意；
（ⅲ）当时，
在上单调递增，
当时，，
所以不可能有两个零点，不符合题意，舍去；
（ⅳ）当时，在上单调递增，不可能有两个零点，不符合题意，舍去；
（ⅴ）当时，
当时，，
又在上单调递减，在上单调递增，，
所以不可能有两个零点，不符合题意，舍去.
综上所述，实数的取值范围为.
②由①知，，，所以，
要证，即证，
令，
则，
当时，，在上单调递增，
因为，所以，
即，即，
又因为，所以，
又因为且在上单调递减，
所以，即，
原命题得证.
19.设无穷数列的前项和为，若，，，则称数列为“型”数列．
(1)若数列为“型”数列，且，求，，的值；
(2)若数列为“型”数列，且，求数列的通项公式；
(3)若“型”数列中可以存在无穷多项为0，求的取值集合.
【解析】（1）因为数列为“型”数列，且，
所以，，
当时，，解得；
当时，，解得；
当时，，解得；
所以，，.
（2）因为数列为“型”数列，且，故，
当时，，，
所以，即，，
当时，，即，
因为，所以，
所以，，
以此类推，对任意的恒成立，
所以，，
所以数列的偶数项是以为首项，为公差的等差数列，
奇数项是以为首项，为公差的等差数列，
所以，当为偶数时，，
当为奇数时，，
综上，数列的通项公式为
（3）当时，，由（2）知，数列中没有0项，
当时，且不是整数时，，则，，
以此类推，恒成立，不满足题意；
当时，且是整数时，假设是数列中的第一个为0的项，
则当时，，
所以，即，为偶数
因为，，
为使数列中存在无穷多项为0，可令对所有成立，
下面验证此种情况满足题设条件，
当时，
，
所以，当时，数列中可以存在从开始的项都为0，
所以的取值集合为正整数集 .最高
气温
[10,15)
[15,20)
[20,25)
[25,30)
[30,35)
[35,40)
天数
2
16
36
25
7
4
X
200
300
500
P
0.2
0.4
0.4