江苏省无锡市第一中学2025-2026学年高一上学期期末考试数学试卷含解析（word版）

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1. 已知命题p：，，则是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
2. 已知集合，，则的子集个数为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 8
3. 已知角的始边与x轴非负半轴重合，终边经过，若，则（ ）
A. B. C. D.
4. 若，则有（ ）
A. B. C. D.
5. “”是“”的（ ）
A 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
6. 已知x，y为正实数，且，若存在这样的x，y，使得不等式有解，则实数m的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
7. 有一块半径为1 cm的半圆形钢板，计划裁剪成等腰梯形形状，它的下底是半圆的直径，上底的端点在圆周上，则该等腰梯形的周长最大时，上底所对圆弧长为（ ）
A. B. C. D.
8. 设函数（且）满足以下条件：①，均有；②，，且，则关于x的不等式的最小正整数解为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列说法正确的有（ ）
A.
B.
C. 将函数的图象向左平移单位得到函数的图象
D. 若函数在上有且仅有4个最值，则的范围是
10. 已知，分别是定义在R上奇函数和偶函数，且，则下列说法正确的有（ ）
A.
B.
C. 若，则
D. 若函数存在两个零点，则
11. 已知定义在R上函数满足，且，当时，，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. 函数是偶函数D. 若，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知，，，，则________.
13. 已知△ABC是单位圆O的内接三角形，若，且，则向量在向量上的投影向量为________.
14. 已知函数若，则函数值域为________；若函数有两个零点，则实数a的取值范围是________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知向量与向量的夹角为，且，.
（1）求；
（2）若，求实数的值.
16 已知函数.
（1）若，且，求和的值；
（2）若，求的值.
17. 图1是古书《天工开物》中记载筒车图.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，在农业上得到广泛应用.在图2中，一个半径为3 m的筒车按逆时针方向每60 s转1.5圈，筒车的轴心O距水面的高度为.筒车上有24个均匀安装的盛水筒，设某个盛水筒P到水面的距离为d（单位：m，若在水面下，则d为负数），若以盛水筒P刚浮出水面时开始计时，d与时间t（单位：s）之间的关系为.
（1）求的表达式；
（2）盛水筒P出水后经过多长时间就可以到达最高点；
（3）盛水筒P与盛水筒Q之间间隔了三个盛水筒，从计时起运行一周的过程中，求P、Q两点距离水面的高度差的表达式，并求哪个时刻高度差最大.
（参考公式：
，）
18. 已知函数.
（1）求函数的单调减区间；
（2）若，，求的值；
（3）当时，函数的最大值为，求m的值.
19. 定义在区间I上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有成立，则称函数是I上的有界函数.
已知函数，，.
（1）若函数为奇函数，求m的值；
（2）设（且），当时，若对任意的，均存在，使得，求实数a的取值范围；
（3）是否存在正数T，使得函数是区间上的有界函数？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由.