湖南省郴州市2025-2026学年高二上学期期末考试数学试卷（Word版附解析）

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时间 120 分钟．
2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡上，并将准考证条形码粘贴在答题卡
的指定位置．
3.考生作答时，选择题和非选择题均须作答在答题卡上，在本试题卷上答题无效．考生在答题
卡上按答题卡中注意事项的要求答题．
4.考试结束后，将答题卡小号在上，大号在下，装袋密封上交．
一、单选题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
符合题目要求）
1. 已知等差数列 ，则 （ ）
A. 7 B. 9 C. 11 D. -9
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，利用等差数列性质求解.
【详解】等差数列 ，则 .
故选：B
2. 曲线 在点 处的切线倾斜角为（ ）
A. B. C. 或 D.
【答案】A
【解析】
【分析】对 进行求导得，再利用导数的几何意义求得切线的斜率，即可得到倾斜角.
【详解】由于 ，所以 ,
则曲线 在点 处的切线斜率为 1，则倾斜角为 ,
故选：A
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3. 圆 的圆心坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】直接根据圆的标准方程得到答案即可.
【详解】由题意得圆 ，
化简可得 ，则圆心坐标为 ,
故选：C
4. 已知方程 表示双曲线，则 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用双曲线方程的特征列式求解.
【详解】由方程 表示双曲线，得 ，解得 或 ，
所以 的取值范围为 .
故选：A
5. 如图，在正三棱柱 中，若 ，则 与 所成角的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
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【分析】取向量 为空间向量的一组基底向量，表示出 与 ，再借助空间向量运算即可
计算作答.
【详解】在正三棱柱 中，向量 不共面， ， ，
令 ，则 ，而 ， ，
于是得
，
因此， ，
所以 与 所成角的大小为 .
故选：B
6. 在空间直角坐标系 Oxyz 中，点 是点 在坐标平面 Oxy 内的射影，则 （ ）
A. 5 B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据射影的定义求出点 的坐标，再根据向量模的计算公式计算 .
【详解】因为点 是点 在坐标平面 Oxy 内的射影，所以点 的坐标为 ，
所以 .
故选：A
7. 已知双曲线 的渐近线与直线 的夹角为 ，则此双曲线的离心率为
（ ）
A. 2 B. 2 或 C. 或 D. 2 或
【答案】D
【解析】
【分析】先求出双曲线的渐近线及渐近线与 轴的夹角，得到 之间的关系进而求出离心率.
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【详解】双曲线 的渐近线为 ，
由题意得渐近线 与 轴的夹角为 ，即 或 .
所以 或 .
所以离心率为 或
故选：D.
8. 若函数 在 上单调递增，则实数 的最大值为（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D.
【答案】C
【解析】
【分析】令 ，分析可知 在 上恒成立，根据端点效应可得 ，解得
，并把 代入检验即可.
【详解】因 ，则 ，
若函数 在 上单调递增，则 在 上恒成立，
令 ，则 ,
即 在 上恒成立，且 ，
可得 ，解得 ，
若 ，则 ，
因为 ，当且仅当 时，等号成立，
则 ，
可知函数 在 上单调递增，则 ，符合题意；
综上所述：实数 的最大值为 2.
故选：C.
二、多项选择题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的四个选项中，有多
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项符合题目要求．全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错的得 0 分）
9. 已知数列 为等比数列，公比 ，则下列选项中正确的是（ ）（参考数
据： ）
A. 数列 的通项公式为 .
B. 构成等比数列.
C. 数列 为等差数列.
D. 数列 的通项公式为 ，则当 时， 取得最大值.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据条件可求出 ， ，求得通项 ，可判断 A，B；求得 进而判断 C；
通过分析数列 的单调性可判断 D.
【详解】对于 A，由公比 得 ，∴ ，
又 ，∴ ， ， ， ，∴ ，故 A 正确；
对于 B，由选项 A 得， , ，∴ 不构成等比数列，故 B 不正确；
对于 C，由选项 A 得， ，数列 为等差数列，故 C 正确；
对于 D，由选项 A 得， ， ，
当 时, ；当 时, .
又 可知 ，
因为 ，所以 ，即当 时， 取得最大值.故 D 正确.
故选：ACD.
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10. 关于空间向量，下列说法正确的是（ ）
A. “ ”是“ 为锐角”的必要不充分条件.
B. 若空间中任意一点 ，有 ，则 P，A，B，C 四点共面.
C. 已知向量 是空间的一个基底，若 ，则 也是空间的一个基底.
D. 若分别表示空间两向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不共面.
【答案】ABC
【解析】
【分析】利用必要不充分条件的定义，结合向量夹角公式判断 A；利用共面向量定理的推论判断 B；利用空
间基底的意义判断 C；利用共面向量的意义判断 D.
【详解】对于 A，由 ，得 ，反之，由 为锐角，得 ，
因此“ ”是“ 为锐角”的必要不充分条件，A 正确；
对于 B，在 中， ，则 P，A，B，C 四点共面，B 正确；
对于 C，假设向量 共面，则 ，而 ，
则 ，即 ，向量 与 共面，与 是空间 一个基底矛盾，
因此向量 不共面， 也是空间的一个基底，C 正确；
对于 D，异面直线的方向向量可以平移到同一平面内，
因此分别表示空间两向量的有向线段所在的直线是异面直线时，这两个向量共面，D 错误.
故选：ABC
11. 已知 为坐标原点，点 在抛物线 上，过点 的直线交抛物线 于 P，
Q 两点，则（ ）
A. 抛物线 C 的焦点为 B. 直线 AB 与抛物线 相切
C. D.
【答案】ABD
【解析】
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【分析】根据给定条件，求出抛物线方程及直线 方程，求出焦点坐标判断 A；联立直线 与抛物线方
程，由解的情况判断 B；设出直线 方程并与抛物线方程联立，利用韦达定理及弦长公式、两点间距离公
式求解判断 CD.
【详解】由点 抛物线 上，得 ，解得 ，抛物线 ，
对于 A，抛物线 C 的焦点为 ，A 正确；
对于 B，直线 方程为 ，即 ，由
消去 得 ，此方程有两个相等的根 2，直线 AB 与抛物线 相切，B 正确；
对于 C，设直线 方程为 ，由 消去 得 ，
，即 ，设 ，则 ， ，
，C 错误；
对于 D，
，D 正确.
故选：ABD
三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分）
12. 已知点 和 ，点 在 轴上，且 为直角，则点 的坐标为________．
【答案】 或
【解析】
【分析】由题可得 ，由两点间的斜率公式求解即可.
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【详解】设 ,且 为直角，则直线 的斜率存在，
则 ，所以 ,解得： 或 ,
所以点 的坐标为 或 ，
故答案为： 或
13. 已知函数 ，则 的解集______．
【答案】
【解析】
【分析】根据导数的运算规则，写出函数导数，根据定义域，求解不等式.
【详解】已知 ，定义域为 ，可知 ，
则 ，即 ，因为 ，化简得 ，解得 ，
故答案为： .
14. 空间直线与平面也有方程.教材中有如下阐述：
在空间直角坐标系中，已知点 ，向量 不全为 0 ，过点
且一个法向量为 的平面 的方程为 .
请利用教材给出的材料，解决下面的问题：已知平面 的方程为 ，直线 是平面
与 的交线，则直线 与平面 所成角的正弦值为__________．
【答案】 ##
【解析】
【分析】根据给定的材料求出平面 的法向量 ，利用另外两个平面的法向量求出它们交线的方向向量，
再利用线面角的向量法求解.
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【详解】由平面 的方程为 ，得平面 的法向量 ，
平面 的法向量 ，平面 的法向量 ，
设直线 l 的方向向量为 ，由直线 l 是两平面的交线，得向量 与向量 、 都垂直，
则 ，解得 ，得 ，设直线 l 与平面 所成角为 ，
则 ，
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .
故答案为：
四、解答题（本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 给定函数
（1）判断函数 的单调性，并求 的极值.
（2）若 有两个解，求 的取值范围.
【答案】（1）答案见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）求导，利用导函数的符号分析函数的单调性，求函数的极值.
（2）根据函数的单调性，结合函数值的符号，可求实数 的取值范围.
【小问 1 详解】
因为 ，
所以 .
由 ；由 .
所以 在 上单调递减，在 上单调递增.
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在 处，函数取得极小值， .
无极大值.
【小问 2 详解】
当 时， ；
当 时， ；
当 时， .
作函数 草图如下：
所以 有两个解，可得 .
即所求 的取值范围为：
16. 如图，在四棱锥 中，底面 满足 ， 底面 ，且
.
（1）求证： 平面 ；
（2）求平面 与平面 的夹角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；
（2） .
【解析】
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【分析】（1）应用线面垂直的性质有 ，结合已知及线面垂直的判定证明结论；
（2）构建合适空间直角坐标系，应用向量法求面面角的余弦值.
【小问 1 详解】
由 底面 ， 底面 ，则 ，
又 ，且 均在面 内，则 平面 ；
【小问 2 详解】
由题设，构建如下图示空间直角坐标系 ，
则 ，故 ，
若 为面 的一个法向量，则 ，
令 ，则 ，而 是面 的一个法向量，
所以平面 与平面 的夹角的余弦值为 .
17. 已知等比数列 的前 项和为 ，且
（1）求数列 的通项公式；
（2）在 与 之间插入 个数组成一个公差为 的等差数列，在数列 中是否存在 3 项 （其
中 成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的 3 项；若不存在请说明理由.
【答案】（1） ；
（2）不存在，理由见解析.
【解析】
【分析】（1）退位作差得到公比 ，令 求得 ，进而得到数列 的通项公式；
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（2）反证法，假设存在，由等差中项性质得到 ，等比中项性质得到 ，联立解得
，与题设矛盾，假设不成立，则不存在.
【小问 1 详解】
设等比数列 的公比为 ，
， 时， ，两式相减得 ，
即 ，所以 ，
令 得 ，即 ，解得 ，
所以 .
【小问 2 详解】
不存在，理由如下：
由（1）得 ， ，
在 与 之间插入 个数组成一个公差为 的等差数列，则 ，
即 ，则 ，
假设在数列 中存在 3 项 （其中 成等差数列）成等比数列，
则 ， ，即 ，
因为 成等差数列，所以 ，所以 ，
即 ，即 ，
联立 解得 ，与题设矛盾，
故在数列 中不存在 3 项 （其中 成等差数列）成等比数列.
18. 已知数列 满足 ，数列 的前 项和为 ，且满
足 .
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（1）求数列 和 的通项公式.
（2）若 ，求数列 的前 项和 .
【答案】（1） ， ；
（2） .
【解析】
【分析】（1）利用数列前 项和与第 项的关系求出 ；由数列前 项和与第 项的关系建立等式，再利
用等差数列定义求出 ，进而求出 .
（2）由（1）求出 ，再按 分段，结合错位相减法求和并验证即得.
【小问 1 详解】
在数列 中， ，
当 时， ，两式相减得 ，则 ，
当 时， ，解得 不满足上式，因此 ；
在数列 中，当 时， ，则 ，
因此数列 是首项为 ，公差为 1 的等差数列， ，
当 时， ， 满足上式，则 ，
所以数列 和 的通项公式分别为 ， .
【小问 2 详解】
由（1）得 ，
当 时， ，
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，
两式相减得 ，
则 ，当 时， 满足上式，
所以 .
19. 在圆 上任取一点 ，过点 作 轴于点 ，点 在线段 MN 上，且满足
，当点 在圆上运动时，记点 的轨迹为 .
（1）求曲线 E 的方程.
（2）若平行四边形 ABCD 的四个顶点都在 上，其对角线为 AC 与 BD.
（i）证明：AC 与 BD 的交点为原点 .
（ii）求平行四边形 ABCD 面积的最大值.
【答案】（1） ；
（2）（i）证明见解析；（ii）12.
【解析】
【分析】（1）设出点 的坐标，利用向量线性运算的坐标表示求出点 的坐标，再代入圆的方程即得.
（2）（i）按直线 的斜率存在与否分类，设出直线 方程，利用弦长公式及平行四边形性质证得
关于原点对称， 关于原点对称即可；（ii）将平行四边形面积表示为 ，结合（i）中
信息，利用基本不等式求出最大值.
【小问 1 详解】
设点 ，由 轴于点 ， ，得 ， ，
又点 在圆 上运动，因此 ，即 ，
所以曲线 E 的方程为 ，
【小问 2 详解】
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（i）当直线 的斜率存在时，设其方程为 ，设 ，
由 ，消去 得 ，
， ，
则 ，
由 ，得 ，设直线 的方程为 ，
同理得 ，由 ，得 ，
因此 ， ，即直线 的方程为 ，而直线 与 关于原点对称；
当直线 斜率不存在时，设其方程为 ，直线 方程为 ，
由 ，得 ，则 ，同理 ，
由 ，得 ，直线 关于原点对称，
因此 的边 关于原点对称，同理边 关于原点对称，
即 的对称中心为原点，即 AC 与 BD 的交点为原点 ；
所以 AC 与 BD 的交点为原点 .
（ii）当直线 的斜率存在时，原点 到直线 的距离 ，
的面积 ，
当且仅当 ，即 时取等号，
当直线 斜率不存在时，原点 到直线 的距离 ，
的面积 ，
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当且仅当 ，即 时取等号，而 ，符合题意，
所以 面积的最大值为 12.