湖北省武昌实验中学2025-2026学年高一上学期2月期末考试 数学试题 Word版含答案

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考试时间：2026年2月2日下午14：00-16：00
试卷满分：150分
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 是第（ ）象限角
A. 一B. 二C. 三D. 四
2. 函数的定义域为（ ）
A. B.
C. D.
3. “”是“”的（ ）
A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4. 设，，，，则（ ）
A. B.
C. D.
5. 在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.英国天文学家普森发现：两个天体的星等是、，其亮度分别表示为、，它们满足关系式，这就是著名的普森公式.已知太阳的星等是，月亮（满月时）的星等是，则太阳与月亮（满月时）的亮度的比值为（ ）
A. B.
C. D.
6. 设是定义在上的函数，若是偶函数，是奇函数，则的值为（ ）
A. B.
C. 0D.
7. 已知函数，，的零点分别为，，，则，，的大小顺序为（ ）
A. B.
C D.
8. 对，，都有恒成立，则最大值为（ ）
A. 4B. 3C. 2D. 1
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）
9. 已知，，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C D.
10. 下列命题中，正确的有（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，，则D. 若，则
11. 设、、是定义域为的三个函数，下列说法正确的是（ ）
A. 若函数、、的值域都为，则函数的值域为
B. 若、、都是以为周期函数，则、、均是以为周期的函数
C. 若、、都是奇函数，则、、都是奇函数
D. 若、、都是增函数，那么、、中至少存在一个增函数
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 已知，则__________.
13. 已知，，，则的最小值为__________.
14. 设函数，若存在最小值，则最大值为__________.
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 求下列各式的值：
（1）；
（2）.
16. 已知幂函数在上单调递增.
（1）求的值及函数的解析式；
（2）设函数在区间上的最小值为5，求实数的值.
17. 已知函数的图象关于直线对称.
（1）求的值；
（2）若存在使得成立，求的取值范围.
18. 已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）判断函数在上的单调性并用定义证明；
（3）若方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围.
19. 已知函数的定义域为.对于正实数，定义集合.
（1）若，判断是否是中的元素，请说明理由；
（2）若，，求的取值范围；
（3）若是偶函数，且对任意，均有.已知当时，.请求出函数在时的解析式；并求函数在上至多有多少个零点.
参考答案
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. C.
2. B.
3. A
4. B
5. B.
6. C.
7. A.
8. B.
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）
9. ACD
10. BCD
11. BC
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12.
13. 25.
14. .
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15. （1）4 （2）
16. （1）因为是幂函数，所以.
解得或.
当时，，在上单调递减，不合题意，舍去.
当时，，在上单调递增，符合题意.
所以，
（2）已知，
其图象是开口向上的抛物线，对称轴为.
，
①当，即时，在上单调递增，
则，解得，不满足，舍去；
②当，即时，在处取得最小值，
即，
整理得，解得，因，故；
③当，即时，在上单调递减，
则，解得，不满足，舍去.
综上可得，.
17. （1）
，
而，
，
函数的图象关于直线对称，，
，
，
即
因不恒为0，故需使，即.
（2），
，
，
故等价于（*），
，，
故（*）即存在，使得成立，
令，，
函数和函数在上均单调递减，
在上单调递减，的最小值在处取得，
故，即的取值范围为.
18. （1）由，即，
所以.
（2）在上，单调递减，证明如下：
任取，，且，
则
，
因为，，且，所以，且.
所以，即，则函数在上单调递减.
（3）令，作出函数的图象，如图：
由图象知时，有两解，时，有一解，
方程有三个不同的实数解，
等价于关于的方程有两个不等的根，其中一个根大于或等于1，另一根大于0且小于1，
由，得，
化简得.
设，
若，则，
此时方程有两个相等实根1，不合题意，舍去.
因此方程的两根分别介于和，
则，解得，
则实数的取值范围为.
19. （1），，则不是中的元素.
（2）因为，则存在实数使得，且，
当时，，其在上严格单调递增，
当时，，其在上严格单调递增，
当且时，在上严格单调递增，
故不存在这样的；
当且时，上严格单调递增，
故不存在这样的；
，，
当时，，，
，，
，，，
.
（3）对任意，均有，，
是偶函数，，
，，
，
对任意，，，
，，
，，，
，，，
当时，，，，
，，
，，
，，
当时，，
为偶函数，其中，，，
但其对应的值均未知，画出函数图象如下：
首先说明，
设，则，，
则，
则，所以，所以.
继续说明，
若，则，
当时，，是偶函数，
则当时，，，即，
则，则，
而当时，，与矛盾，
即，
令，则，
当时，若，此时有4个零点，故此时最多4个零点；
当时，若，而，
此时有2个零点，
同时在，，，，，之间取得6个零点，
故此时最多有8个零点.
当时，若，
故此时最多7个零点.
当时，若，此时有4个零点，
故此时最多4个零点.
综上可知，最多有8个零点.