数学-广东省金太阳2025-2026学年高三下学期2月开学考试试卷含答案

这是一份数学-广东省金太阳2025-2026学年高三下学期2月开学考试试卷含答案，共9页。试卷主要包含了 本试卷主要考试内容， 1， 设复数 z=γ+3ii ，则等内容，欢迎下载使用。
1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考生母、考场号、座位号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。
4. 本试卷主要考试内容:高考全部内容。
一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的.
1. 已知向量 a=t+1,−2,b=4,t ，且 a⊥b ，则 t=
A. -3
B. 23 C. -2 D. 2
2. 设集合 A={x∣xb>0 的左、右焦点. M 为 C 上一点、 MF1=5 , MF2=10 ,且 MF1⊥MF2 ,则 C 的离心率为
A. 23 C. B. 53 C. 266 D. 56
5. 某元宇宙平台举办“星际文明探索”虚拟文化节，参与者通过完成“星球解谜”“文明共建”“跨服协作”等任务获得互动积分(单位:分). 为筛选“核心探索者”(享受专属虚拟道具与后续活动优先资格)，平台将所有参与者积分的第 80 百分位数定为核心资格门槛线. 活动结束后，平台从 10 万参与者中随机抽取 100 人的积分数据,将所得数据按照 [40,50) , [50,60),[60,70),[70,80),80,90),90,100 分成 6 组,其频率分布直方图如图所示. 据此, 以样本估计总体参与者的积分分布，可知此次“核心探索者”的核心资格门槛线约为

A. 84 分 B. 85 分 C. 86 分 D. 82 分
6. J已知数列 a0 满足 a2=6,an+1−2=an+2n ,则 1a1+1a2+⋯+1a19=
A. 89 B. 910 C. 1819 D. 1920
7. 已知函数 f,x 对任意的 x∈R,fx+y=fx+fy+2xy−8 恒成立， f1=11 ,则
A. f−1=10 B. f0=18
C. fx 为偶函数 D. y=fx2−x2−8 为奇函数
8. 在高为 5 的正三棱台 ABC−A1B1C1 中， AB=2A1B1=43,D,E,F 分别为侧棱 AA1,BB1 ， CC1 的中点,记平面 ABF 、平面 BCD 、平面 ACE 交于点 O ,则三棱台 ABC−A1B1C1 与三棱能 O−ABC 的体积之差为
A. 323 B. 283 C. 313 D. 273
二、选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要 求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 设复数 z=γ+3ii ，则
A. z+5−3i=22 A B. z 的虚部是 -3
C. 3+z 为纯虚数 D. z 在复平面内对应的点位于第一象限
10. 已知函数 fx=2sinωx+π6sinπ3−ωxω>0 . 则
A. 当 fx 的最小正周期为 π 时, ω=2
B. 当 fx 在 0,π 上单调时, 00 上的点与坐标原点 O 之间距离的最小值为 2,点 P22,t 在 C 上，且 OP1=13 .
(1)求 C 的标准方程.
(2)过点 T−3,0 的直线 l 交 C 于异于顶点的 Ax1,y1 ， Bx2,y2 两点，且 x1>0,x2< 0. 设 C 的左、右顶点分别为 D ， E ，直线 AD 与 BE 交于点 H .
(I)证明: 点 H 在定直线上.
(ii) 证明: ∠HTE=∠BTH .
19.(17分)
已知函数 fx=tax−x−12a>0且a≠1 .
(1)当 a=e,t=1 时,求曲线 y=fx 在 x=0 处的切线方程.
(2)当 a=67,t=1 时,记 bn=fn+n2+ln1+1n,Sn 为数列 bn 的前 n 项和,证明: S100 2k .
高三数学参考答案
15.
解: (1) 根据正弦定理可得 b2+c2−a2=bc4csA−1 , 1 分
根据余弦定理可得 4csA−1=b2+c2−a2bc=2csA . 3 分
所以 csA=12 5 分
因为 A∈0,π ,所以 A=π3 . 6 分
(2)由(1)易得 b2+c2−a2=bc ，即 b2+c2−a2=bc≥2bc−a2 ， 8 分所以 bc≤32 ，当且仅当 b=c=42 时，等号成立， 9 分所以 △ABC 的面积 S=12bcsinA≤12×32×32=83 , 12 分即 △ABC 面积的最大值为 83 . 13 分
16.(1)证明:因为 M ， N 分别是 ΛP,ΛC 的中点. 所以 MN//PC . 1 分
因为 E 为 BP 上靠近点 B 的四等分点, F 为 BC 上靠近点 B 的四等分点,所以 EF//PC ,2 分
所以 MN//EF ,所以 M,N,E,F 四点共面. 4 分
(2)证明:因为 PA=25,AB=4,PB=6 ，所以 PA2+AB2=PB2 ，所以 PA⊥AB . 6 分
因为 AB⊥AC,PA∩AC=A ,所以 AB⊥ 平面 PAC . 7 分
因为 AB⊂ 平面 ABC ,所以平面 PAC⊥ 平面 ABC . 8 分
(3)解:连接 PN . 因为 PA=PC ,所以 PN⊥AC ,则由 (2) 得平面 PAC⊥ 平面 ABC ,所以 PN⊥ 平面 ABC . 以 Λ 为坐标原点,以 AB,AC 所在直线分别为 x,y 轴. 以过点 A 且平行于 PN 的直线为 z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则 A0,0,0,E3,12 , 1) ,F3,1,0,AE=3,12,1,AF=3,1,0 . 9 分设平面 AEF 的法向量为 n=x,y,z ,

则 n⋅AE=3x+12y+z=0,n⋅AF=3x+y=0,
令 y=6 ,则 n=−2,6,3 . 11 分
易得 m=0,0,1 为平面 ABC 的一个法向量. 13 分
设平面 ABC 与平面 AEF 的夹角为 θ ,则 csθ=cs⟨m,n⟩=m⋅nmn=34+36+9=37 , 所以平面 ABC 与平面 AEF 夹角的余弦值为 37 . 15 分
17.
解:(1)设成员 M 在一次挑战中调试第一段代码成功为事件 A ，调试第二段代码成功为事件
B ,由题意得 PB=PB∣APA+PB∣APA=23×13+12×23=59 . 5 分
(2)成员 M 一次“代码调试挑战”挑战成功的概率为 13×23=29 ， 6 分
只调试成功两段代码中的一段的概率为 13×13+23×12=49 , 7 分
两段代码均未调试成功的概率为 23×12=13 . 8 分
由题意得,随机变量 X 的所有可能取值为0,50,100,150,200. 9 分
PX=0=13×13=19, 10 分
PX=50=49×13×2=827, 11 分
PX=100=29×13×2+49×49=2881, 12 分
PX=150=29×49×2=1681, 13 分
PX=200=29×29=481. 14 分
所以 EX=0×19+50×827+100×2881+150×1681+200×481=8009 . 15 分
18.本题考查双曲线性质的综合, 考查逻辑推理与数学运算的核心素养.
(1)解:依题意可得 a=2 . 1 分
由 OP=8+t2=13 ,得 t2=5 . 2 分
将点 P 的坐标代入 C 的方程,得 84−5b2=1 ,解得 b2=5 , 3 分
故 C 的标准方程为 x24−y25=1 . 4 分
(2)证明:(i)根据题意可设直线 l 的方程为 x=my−3 ，
由 x=my−3,x24−y25=1, 得 5m2−4y2−30my+25=0 , 5 分
Δ=900m2−1005m2−4=400m2+400>0 ,且 5m2−4≠0,y1+y2=30m5m2−4,y1y2= 255m2−4 6 分
因为 y1+y2y1y2=6m5 ,所以 my1y2=56y1+y2 . 7 分
直线 AD 的方程为 y=y1x1+2x+2 ,直线 BE 的方程为 y=y2x2−2x−2 ,
所以 x+2x−2=y2x1+2y1x2−2=y2my1−1y1my2−5=my1y2−y2my1y2−5y1=56y1+y2−y256y1+y2−5y1=5y1−y2−25y1+5y2 =−15 , 10 分
则 x=−43 ,即 H 在定直线 x=−43 上. 11 分
(ii) 由 (i) 知 H−43,2y13x1+2 , 12 分则 kAT=tan∠BTE=y1x1+3=1m , 13 分 tan∠HTE=kTH=2y13x1+253=2y15x1+2 ， 14 分 tan2∠HTE=2tan∠HTE1−tan∠HTE=4y15x1+21−4y125x1+22−20y1x1+225x1+22−4y12 15 分 =20y1x1+225x1+2−5x12+20=y1x1+3=1m, 16 分
即 tan∠BTE=tan2∠HTE ,所以 ∠BTE=2∠HTE ,则 ∠HTE=∠BTH . 17 分
19.
(1)解:依题意， fx=ex−x−12,f′x=ex−2x−1 , 1 分
所以 f0=e0−0−12=0,f′0=e0−20−1=3 . 2 分
所以曲线 y=fx 在 x=0 处的切线方程为 y=3x . 3 分
(2)证明:由题意可知 a=67,t=1 时， bn=67n+2n−1+lnn+1n , 4 分
所以 S100=671+672+⋯+67100+21+2+⋯+100−100+ln21×32×⋯×
101100 5 分
=671−671001−67+2×1+100×1002−100+ln101 6 分
=10006+ln101−6×671001,φ′x