【数学】山东德州市2025-2026学年高二上学期期末试题（学生版+解析版）

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1. 抛物线的焦点坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】抛物线化为标准方程可得，
故，焦点坐标为.
故选：A.
2. 若随机变量服从两点分布，其中，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为随机变量服从两点分布，，
所以，
所以，
所以，
故选：B.
3. 的展开式中，常数项是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】的展开式通项为，
令，可得，故展开式中的常数项为.
故选：C.
4. 已知随机变量服从正态分布，且，则（ ）
A. 0.2B. 0.3C. 0.5D. 0.6
【答案】D
【解析】因为服从正态分布，所以对称轴，
因为，所以，
由对称性得，
所以.
故选：D.
5. 世界第三届无人驾驶智能大赛在天津召开，现在要从小张､小赵､小李､小罗､小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译､安保､礼仪､服务四项不同工作，若小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同选派方案共有（ ）种.
A. 120B. 60C. 24D. 36
【答案】D
【解析】根据题意可分为2种情况讨论：
（i）若小张或小赵只有一人入选，则有种不同的选派方案；
（ii）若小张，小赵都入选则有种不同的选派方案，
综上可得，共有种不同的选派方案.
故选：D.
6. 如图，一个地区分为4个区域，现给该地区着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有3种颜色可供选择，则不同的着色方法共有（ ）种.
A. 12B. 18C. 24D. 30
【答案】B
【解析】若用3种颜色，则需AD同色，或BC同色，则有种选择，
若用2种颜色，则需AD同色并且BC同色，则有种选择，
综上，不同的着色方法共有种.
故选：B.
7. 如图，已知抛物线的焦点为，过且斜率为2的直线交于两点，线段的中点为，其垂直平分线交轴于点轴于点.若四边形的面积等于8，则的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】易知，直线AB的方程为，
设，，，则，
所以，所以，，所以.
所以MC直线方程为，令，得，所以.
因为，所以四边形的面积为，所以，
故抛物线E的方程为.
故选：D.
8. 已知实数满足，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】当时，方程为，为焦点在y轴的椭圆的一部分，
当时，方程为，为双曲线右支的一部分，渐近线方程为，
当，方程为，为双曲线上支的一部分，渐近线方程为，
当，方程为，不存在，
作出的图象，如下图所示，
点到直线距离，
所以表示点到直线的距离的倍，
设与平行的直线方程为，
当其与在第一象限相切时，两平行线间的距离的倍为所求的最小值，
联立，得，
令判别式，解得，
显然当时，直线与椭圆在第一象限相切，
此时两平行线与的距离为，
则的最小值为；
又与的渐近线均为，
此时与的距离，
则的最大值为，
所以的取值范围是.
故选：C.
二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9. 已知，则（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】ABD
【解析】对于A，令，则，故A正确；
对于B，令，则，
所以，故B正确；
对于C，令，则，
由B可知，
所以，
即，，所以，故C错误；
对于D，令，则，
所以，故D正确；
故选：ABD.
10. 在边长为的正方体中，、分别为、的中点，则（ ）
A.
B. 与所成角的余弦值为
C. 三棱锥的体积是
D. 平面截正方体所得截面的面积为
【答案】BC
【解析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、、、、、，
对于A选项，，，
所以，故与不垂直，A错；
对于B选项，，，
所以，即与所成角的余弦值为，B对；
对于C选项，，
，C对；
对于D选项，因为，，故，
所以，故平面截正方体所得截面为梯形，
，则点到直线的距离为，
故截面面积为，D错.
故选：BC.
11. 造型可以做成美丽的丝带，将其看作图中曲线的一部分.已知过坐标原点，且上的点满足横坐标大于，到点的距离与到定直线的距离之积为9，则（ ）
A.
B. 曲线上存在点，使得
C. 若点在上，则
D. 当点在上时，不等式恒成立
【答案】ACD
【解析】对于A，因为在曲线上，所以到的距离为，
而，所以有，故，故A正确；
对于B，由题意可知，曲线的方程为，
因为，
所以，
又，所以，故C正确；
若点在上，
则，
故曲线上不存在点，使得，故B错误；
由可得，
因为，所以，则，故D正确.
故选：ACD.
三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 将10本不同的书分成三组，一组4本，其它两组各3本，共有__________种不同分法.（用数字作答）
【答案】2100
【解析】10本不同的书分成三组，一组4本，其它两组各3本，共有种不同分法.
故答案为：2100.
13. 已知双曲线的左､右焦点分别为，过作轴的垂线与渐近线交于两点，，则双曲线的离心率为__________.
【答案】
【解析】由题可知，渐近线方程为，，所以的横坐标为，
又在双曲线的渐近线上，所以不妨设，
在中，，即，
所以，所以，
所以，
故答案为：.
14. 为研究不同性别学生对“deepseek”应用程序的了解情况，某学校进行了一次抽样调查，分别抽取男生和女生各40名作为样本，设事件“了解deepseek”，“学生为女生”，据统计，则__________；将样本的频率视为概率，现从全校的学生中随机抽取20名，设其中了解deepseek的学生人数为，则当取得最大值时，的值为__________.
【答案】 ①. 或 ②.
【解析】对于①：因为，所以，
又，所以，
所以;
对于②：将样本的频率视为概率，
则从全校的学生中随机抽取名，每名学生了解的概率都是，
可知，若取得最大值，
则，即
所以，
即，
解得，又，所以
故答案为：①②.
四､解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.）
15. 已知直线与圆相切.
（1）求实数的值；
（2）已知直线与圆相交于两点，若的面积为8，求直线的方程.
解：（1）由，得，
圆心为，半径为，
因为直线与圆相切，所以，
解得.
（2）设圆心到直线的距离为，则，
所以，解得，即，
可知，得，解得或，
所以直线的方程为：或
16. 乒乓球比赛规则规定：在双方打成10平后，领先两分者获胜，比赛结束.在某校组织的乒乓球比赛中，甲､乙两名同学已经打成了10平.已知下一球甲同学得分的概率为，且对以后的每一球，若甲同学在本球中得分，则他在下一球的得分概率为，若甲同学在本球中未得分，则他在下一球的得分概率为.
（1）求在继续打了两个球后比赛结束的条件下，乙同学获胜的概率；
（2）求再打两个球甲新增的得分的分布列和期望.
解：（1）打了两个球后结束，则甲连胜两球或乙连胜两球，
设事件为“打两球后结束”，事件为“乙赢得比赛”，
则，，
故.
（2）依题意的可能取值是，
所以，，
，
所以的分布列为：
所以.
17. 如图，在中，，点满足，将沿翻折至，使得.
（1）证明：；
（2）求平面与平面所成角的正弦值.
（1）证明：由，得，
又，在中，
由余弦定理得，
所以，则，即，
连接，由，所以，则
在中，，得，
所以，又平面，
所以平面，又平面，
所以
（2）解：由（1）知，两两垂直，建立如图空间直角坐标系，
则，，
所以
设平面和平面的一个法向量分别为，
则，
令，得，
所以，
所以，
设平面和平面所成角为，
则，
所以平面和平面所成角的正弦值为.
18. 有一个装着5个小球的箱子，其中白球3个，红球2个．从箱子里随机取出一个小球，同时抛掷一枚质地均匀的硬币：如果硬币出现正面，小球留在手上；如果硬币出现反面，小球放回箱子．重复该试验，当箱中无小球时停止试验．假设刚开始时手上没有小球，请回答以下问题：
（1）求经过两次试验后，手上有两个白球的概率；
（2）求经过三次试验后，手上正好有1个白球和1个红球的概率；
（3）设第次停止试验的概率为，则当取最大值时，求的值．
解：（1）因“经过两次试验后，手上有两个白球”即第一次和第二次试验都取到了1个白球，
且这两次取出的球都未放回箱子，也即两次抛掷硬币均正面向上，故其概率为：
.
（2）由题意，“经过三次试验后，手上正好有1个白球和1个红球”包括两个事件：
①三次试验取到两个白球和一个红球且有一个白球被放回，其概率为：；
②三次试验取到两个红球和一个白球且有一个红球被放回，其概率为：
.
故由互斥事件概率加法公式，经过三次试验后，
手上正好有1个白球和1个红球的概率为.
（3）依题意，，
由，解得，
即，
故经过8次或9次试验后，停止试验的概率最大，此时或9.
19. 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且点在第一象限，点的纵坐标是.当轴时，.
（1）求抛物线的方程；
（2）直线，设是抛物线上异于的一点，且在第一象限，直线交于是在上的投影，若点满足“对于任意都有”，求的取值范围；
（3）若，为坐标原点，过的直线与抛物线交于，且直线交轴于点，直线交轴于点，若，求证：为定值.
（1）解：当轴时，，此时点横坐标即为焦点的横坐标，
所以，得，
故抛物线方程为.
（2）解：设，根据，则，
所以直线方程为.
令，则，又，
所以，化简得①，
对任意的恒成立.
因此，结合，所以，
当时，因为，即，此时①也成立.
综上所述：.
（3）证明：因为，所以.
设过的直线方程为，
联立，消去，得.
因此，即，
则，所以直线的方程为，
令，故.
同理可得.
因为，所以.
则有.
故.
故为定值2.
0
1
2