江苏省苏州中学、扬州中学、盐城中学、常州中学四校2026届高三上册12月联考（G4联考）数学检测试卷【附答案】

这是一份江苏省苏州中学、扬州中学、盐城中学、常州中学四校2026届高三上册12月联考（G4联考）数学检测试卷【附答案】，共9页。试卷主要包含了单选，多选，填空，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合，下列式子错误的是（ ）
A. B. C. D.
2. 在复平面内对应的点位于第几象限（ ）
A. 一B. 二C. 三D. 四
3. 已知平面向量，，且，则（ ）
A. B. 4C. D. 24
4. 已知，两点到直线的距离相等，则（ ）
A. 0B. 2C. 0或2D. 或2
5. 正三棱台上底面边长为2，下底面边长为3，侧棱长为，则该棱台的体积为（ ）
A. B. C. D.
6. 二氧化碳是空气的组成部分，对维持人体正常生理功能有重要作用.但是当二氧化碳浓度过高时，会对人体产生危害.经测定，刚下课时，空气中含有的二氧化碳，若开窗通风后教室内的二氧化碳浓度为，且y随时间t（单位：分钟）的变化规律可以用函数描述．则教室内的二氧化碳浓度降到需要至少多少整数分钟（参考：）（ ）
A. 21B. 20C. 19D. 18
7. ，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
8. 关于对称，则其最小值为（ ）
A. B. C. D.
二、多选
9. 设，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 的最小值为
D. 若，则的最小值为1
10. 已知的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，且的外接圆半径为1，的面积等于，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
11. 棱长为1的正方体中，M，N，P分别为棱，，的中点，Q为平面PMN上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A. 平面PMN截正方体表面所得截面为五边形
B. 平面与平面所成锐二面角的余弦值为
C. 若与的夹角为，则Q点的轨迹长度为
D. 若，交于，正方形的四个顶点绕着在上底面逆时针旋转45°得到一个十面体（如图），则该十面体的体积为
三、填空
12. 写出与圆和都相切的一条直线的方程______．
13. 已知正项等比数列中，，，则数列的前20项和为______．
14. 已知函数，若存在实数，使得关于x的方程恰有四个不同的实数根，则实数a的取值范围是______．
四、解答题
15. 设的内角所对应的边分别是，且．
（1）求角的值．
（2），，求的面积．
16. 在平面直角坐标系xOy中，椭圆的右焦点，上顶点，短轴长2，直线与椭圆的另一个交点为，的面积是的面积的3倍，
（1）求椭圆的方程．
（2）直线与椭圆交于点，若椭圆上存在点使得四边形为平行四边形．
（i）求的取值范围；（ii）若，求的值．
17. 已知数列的前n项和为，其中，．
（1）求数列的通项公式．
（2）若数列的通项，其前n项和为，求（用n表示）．
18. 在三棱锥中，，，．
（1）若平面平面，
①证明：．
②三棱锥的各个顶点都在球的表面上，求直线与平面所成角的正弦值．
（2）若二面角的正切值为，求的长．
19. 已知函数．
（1）若直线是曲线的切线，求a的值；
（2）令．
①若，是的两个极值点，当时，求的值；
②设曲线在处的切线为l，若直线l上的点都不在图象的下方，求的取值范围．
答案
一、单选
1. D 2. B 3. C 4. C 5. C 6. B 7. D 8. B
二、多选
9. BD 10. ACD 11. BCD.
三、填空
12.（或，）
13.
14..
四、解答题
15. （1）；
（2）
16. （1）
（2）（i）；（ii）
17. （1）；
（2）
18. （1）①证明：因为，平面平面，平面平面，平面，所以平面，
因为平面，
所以
②根据题意，如图，建立空间直角坐标系，，，，，
设三棱锥外接球球心，则球心到的距离相等，
所以，即，解方程得：，
所以，
又因为平面的法向量为，
设与平面所成角为，则
所以与平面夹角的正弦值为.
（2）解：过点作棱交的延长线于，
因为，，．
所以，故点在以为圆心，为半径的圆上动，
故以点为坐标原点，如图建立空间直角坐标系，
则，，，，
设，则，
所以，，
设平面的法向量为，
则，即，则
平面的法向量为
则，即，令，则，，，
因为二面角的正切值为，
所以二面角的余弦值的绝对值为
所以
又因为，将其代入整理得，
解得，
所以，，此时
故二面角的正切值为，
19. （1）
（2）；