广西桂林市2025-2026学年高一上学期期末质量检测数学试题（原卷版+解析版）

这是一份广西桂林市2025-2026学年高一上学期期末质量检测数学试题（原卷版+解析版），共21页。试卷主要包含了考生必须保持答题卡的整洁， 我国著名数学家华罗庚曾说过， 某新型电池剩余电量， 下列选项中正确的有等内容，欢迎下载使用。
（考试用时120分钟，满分150分）
注意事项：
1.答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、班级、学号和准考证号填写在答题卡上.将条形码横贴在答题卡的“条形码粘贴处”.
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.
3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将答题卡交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知全集，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 下列等式成立的是（ ）
A. B.
C. D.
3. 函数的零点所在区间为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知，，，则、、的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
5. 我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”，在数学学习和研究中，常用函数的解析式来推断函数图像的特征，则函数的大致图像是（ ）
A. B.
C. D.
6. 已知函数对任意都有成立，且，则（ ）
A. 8B. 4C. 0D. 2
7. 已知不等式的解集为集合，不等式的解集为集合，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
8. 某新型电池剩余电量（单位：％）与使用时间（单位：小时）的关系满足，，，且均为常数．已知该电池使用2小时后剩余电量75%，使用8小时后剩余电量60%，则使用26小时后剩余电量为（ ）
A. 55%B. 50%C. 40%D. 45%
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列选项中正确的有（ ）
A. 函数为奇函数
B. 函数的定义域为
C. 若函数在上减函数，则
D. 和表示同一个函数
10. 某书店的书架上有6本不同类型的书，编号为1、2、3、4、5、6．随机选一本阅读，设事件为“选到书的编号是奇数”，事件为“选到书的编号是3或6”，事件为“选到书的编号小于4”，下列说法正确的是（ ）
A. 和是互斥事件B. 和是相互独立事件
C D.
11. 已知，，，则下列结论正确的是（ ）
A.
B. 若，则的最小值是8
C. 的最小值为2
D. 若，则的最大值为4
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知一组数据2，3，5，11，x，7，8的平均数是6，则该组数据的中位数为________．
13. 已知幂函数的图象经过点，则______．
14. 已知函数对于正实数，定义集合，且，则的取值范围是________．
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知集合，，
（1）求，；
（2）若，求实数的取值范围．
16. 为传承和弘扬数学文化，激发学生学习数学的兴趣，某校高一年级举办数学文化知识竞赛活动，现从1000名参赛的学生成绩中随机抽取100个成绩进行统计得到频率分布直方图如图所示．
（1）求值；
（2）以每组成绩的中点数值代表该组成绩，估计该校高一学生平均成绩；
（3）从和两组中用分层抽样的方法共抽取了7人，再从这7人中随机抽取2人，求这两人来自不同的组的概率．
17. 已知函数是定义在上的偶函数，且当时，.
（1）求；
（2）求函数解析式；
（3）若函数，，求函数的最小值．
18. 某小区快递柜的日均使用频次随小区入住天数增长而上升，物业统计了入住第1、2、3天的日均使用频次如下表；
技术人员提出三种函数模型刻画数据：①；②；③（含的项系数均不为0）．
（1）从①②③中选择最合适的函数模型（并简要说理由）；
（2）运用所选模型，求日均使用频次关于入住天数的函数解析式，并预测入住第5天的日均使用频次；
（3）物业制定阶梯收费规则：
若日均使用频次次（承载量80%），服务费元；
若次，服务费元（240次内按0.5元／次，超出部分按1.5元／次）．
若物业计划当单日服务费达到1000元时，启动增配快递柜预案，求最早需要在入住第几天启动该预案（参考数据：，，结果保留整数）．
19. 已知函数为奇函数，其中为自然对数底数．
（1）用定义证明函数的单调性；
（2）解不等式；
（3）已知函数与的图像关于点对称，设函数，若对，总，使得成立，求实数的取值范围．
入住天数
1
2
3
日均使用频次（次）
5
14
41
桂林市2025～2026学年度上学期期末质量检测
高一年级 数学
（考试用时120分钟，满分150分）
注意事项：
1.答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、班级、学号和准考证号填写在答题卡上.将条形码横贴在答题卡的“条形码粘贴处”.
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.
3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将答题卡交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知全集，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据补集的定义得到答案；
【详解】已知全集，，则，
故选：C.
2. 下列等式成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据根式的性质判断A，根据指数幂的运算法则判断BCD.
【详解】因为，故A错误；
因为，故B错误；
因为，故C正确；
因为，故D错误.
故选：C
3. 函数的零点所在区间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】判断出函数的单调性，结合零点存在定理即可判断出答案.
【详解】由解析式知，函数在上单调递增，
又，
故函数的零点所在区间为.
故选：B
4. 已知，，，则、、的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】结合对数函数与指数函数的单调性即可判断.
【详解】因为，且，，
故有.
故选：D.
5. 我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”，在数学学习和研究中，常用函数的解析式来推断函数图像的特征，则函数的大致图像是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先研究函数的奇偶性，排除选项CD，再通过计算确定答案.
【详解】设，
所以函数是偶函数，其图象关于轴对称，排除选项CD.
当时，，所以排除B，选择A.
故选：A.
6. 已知函数对任意都有成立，且，则（ ）
A. 8B. 4C. 0D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】根据抽象函数赋值法计算即可.
【详解】令，则.
故选：A.
7. 已知不等式的解集为集合，不等式的解集为集合，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】先根据指数函数、对数函数的单调性解不等式，求出集合，再根据充分、必要条件的定义判断即可.
详解】由，得，即，
由，得，即，则，
则“”是“”的必要不充分条件.
故选：B
8. 某新型电池剩余电量（单位：％）与使用时间（单位：小时）的关系满足，，，且均为常数．已知该电池使用2小时后剩余电量75%，使用8小时后剩余电量60%，则使用26小时后剩余电量为（ ）
A. 55%B. 50%C. 40%D. 45%
【答案】D
【解析】
分析】根据函数模型，代入两组数据，化简可得、，即可得函数解析式，再代入即可.
【详解】代入两组数据有，
两式相除：，
化简，解得或（舍），
再代入求得，
因此，
代入，得.
故选：D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列选项中正确的有（ ）
A. 函数为奇函数
B. 函数的定义域为
C. 若函数在上是减函数，则
D. 和表示同一个函数
【答案】ABC
【解析】
【分析】对于A，由奇函数的定义即可判断；对于B，由根号下大于等于0即可判断；对于C，由一次函数的单调性即可判断；对于D，由相同函数的定义即可判断.
【详解】对于A：易知的定义域为，因此定义域关于原点对称，
又因为，故函数为奇函数，故A正确；
对于B：由，解得，故函数的定义域为，故B正确；
对于C：若函数在上是减函数，则，解得，故C正确；
对于D：函数的定义域为，函数的定义域为，故和不表示同一个函数，故D错误.
故选：ABC.
10. 某书店的书架上有6本不同类型的书，编号为1、2、3、4、5、6．随机选一本阅读，设事件为“选到书的编号是奇数”，事件为“选到书的编号是3或6”，事件为“选到书的编号小于4”，下列说法正确的是（ ）
A. 和是互斥事件B. 和是相互独立事件
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】由题干可得事件和可以同时发生，进而可以判断选项A；求出事件和的概率和两者同时发生的概率，根据独立事件的定义即可判断B；利用和事件的概率公式求解即可判断选项C；找出事件同时发生的样本点并求出概率即可判断选项D.
【详解】选项A，由题意知，事件包含样本点，事件包含样本点，
则事件和事件可能同时发生，所以不是互斥事件，故A错误；
选项B，由题意知事件发生的概率，
事件包含的样本点为，则事件发生的概率，
事件和事件同时发生的样本点为3，
则事件和事件同时发生的概率，
所以，和是相互独立事件，故B正确；
选项C，由选项A，B可知，，，，
所以，故C正确；
选项D,事件和同时发生的样本点为，则，故D错误，
故选：BC.
11. 已知，，，则下列结论正确的是（ ）
A.
B. 若，则的最小值是8
C. 的最小值为2
D. 若，则的最大值为4
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据基本不等式逐项求解最值即可得结论.
【详解】对于A，因为，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以，故A正确；
对于B，因为，，，所以，
当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值是8，故B正确；
对于C，因为，令，则，所以，
当且仅当，即时，等号成立，又，故的最小值不为2，故C错误；
对于D，因为，所以，
则，
当且仅当，即，时，等号成立，故最大值为4，故D正确.
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知一组数据2，3，5，11，x，7，8的平均数是6，则该组数据的中位数为________．
【答案】6
【解析】
【分析】先根据平均数的计算公式求出的值，再将这组数据从小到大排序，根据中位数的定义求出中位数.
【详解】由已知可得，解得.
将数据从小到大排序为2，3，5，6，7，8，11，
则该组数据的中位数为6.
故答案为：6.
13. 已知幂函数的图象经过点，则______．
【答案】3
【解析】
【分析】将点坐标代入计算得到，计算得到答案.
【详解】的图象过点，，则，，.
故答案为：.
14. 已知函数对于正实数，定义集合，且，则的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】根据的定义且，作出函数图象，数形结合转化为有实数根，利用二次函数的值域求出的范围即可.
【详解】当时，，此时，为增函数，
当时，，此时，为增函数，
若，则存在，使得成立，
在同一平面直角坐标系中，作的图象

由图可知，要使得成立
需满足且，
即有解，
设，
由知，，
所以，即，所以.
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知集合，，
（1）求，；
（2）若，求实数的取值范围．
【答案】（1），；
（2）
【解析】
【分析】（1）先解一元二次不等式得出集合，再由交集与并集的意义求解即可；
（2）由题意可得，进而可得，求解即可.
【小问1详解】
因为，
所以，；
【小问2详解】
由，
又，
所以，所以实数取值范围为．
16. 为传承和弘扬数学文化，激发学生学习数学的兴趣，某校高一年级举办数学文化知识竞赛活动，现从1000名参赛的学生成绩中随机抽取100个成绩进行统计得到频率分布直方图如图所示．
（1）求的值；
（2）以每组成绩的中点数值代表该组成绩，估计该校高一学生平均成绩；
（3）从和两组中用分层抽样的方法共抽取了7人，再从这7人中随机抽取2人，求这两人来自不同的组的概率．
【答案】（1）0.03
（2）74 （3）
【解析】
【分析】（1）根据频率分布直方图所有小长方形面积和为1的性质列方程计算即可.
（2）找出每组中点值及对应频率，根据平均数公式计算即可.
（3）计算两组样本数，确定抽样比，得到每组抽样人数，结合概率计算公式计算即可.
【小问1详解】
由频率分布直方图的性质可知，，
整理得，解得.
【小问2详解】
每组成绩的中点值为：45，55，65，75，85，95；频率为0.05，0.1，0.2，0.3，0.25，0.1，
所以平均成绩为
.
【小问3详解】
抽取100个样本中，在的人数为，在的人数为.
抽样比为，
所以在中抽取的人数为，在中抽取的人数为.
从中抽2人，共有10个基本事件；从中抽2人，共有1个基本事件；跨组抽共10个基本事件，
故抽取方法共个基本事件.
所以这两人来自不同的组的概率为.
17. 已知函数是定义在上的偶函数，且当时，.
（1）求；
（2）求函数的解析式；
（3）若函数，，求函数的最小值．
【答案】（1）0 （2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据题设先求得，再结合偶函数的性质求解即可；
（2）直接根据偶函数的性质求解即可；
（3）结合（2）可得，，令，，则，进而结合二次函数的性质讨论求解即可.
【小问1详解】
由题意，当时，，
则，
又是定义在上的偶函数，则.
【小问2详解】
由题意，当时，，且是定义在上的偶函数，
则时，，所以，即，
所以.
【小问3详解】
由（2）知，，且，
则
，，
令，，则，函数开口向上，对称轴为，
当时，函数在上单调递增，
则；
当时，函数上单调递减，在上单调递增，
则；
当时，函数在上单调递减，
则.
综上所述，.
18. 某小区快递柜的日均使用频次随小区入住天数增长而上升，物业统计了入住第1、2、3天的日均使用频次如下表；
技术人员提出三种函数模型刻画数据：①；②；③（含的项系数均不为0）．
（1）从①②③中选择最合适的函数模型（并简要说理由）；
（2）运用所选模型，求日均使用频次关于入住天数的函数解析式，并预测入住第5天的日均使用频次；
（3）物业制定阶梯收费规则：
若日均使用频次次（承载量80%），服务费元；
若次，服务费元（240次内按0.5元／次，超出部分按1.5元／次）．
若物业计划当单日服务费达到1000元时，启动增配快递柜预案，求最早需要在入住第几天启动该预案（参考数据：，，结果保留整数）．
【答案】（1）选②，理由见解析；
（2），第5天的日均使用频次为365次；
（3）第6天.
【解析】
【分析】（1）将表格数据代入各模型中的参数值，结合数据的单位增长率及其趋势，由二次函数、指数函数的增长特征确定模型；
（2）根据（1）所得模型写出解析式，并估计数据；
（3）根据题意写出关于的解析式，再利用求出的范围，即可得.
【小问1详解】
若选①，则，可得，此时，满足；
若选②，则，可得，此时，满足；
若选③，则，无解，故不满足；
而随入住天数增加，单位增长率逐渐变大且呈非线性关系，
所以更符合指数函数的增长特征，则模型②满足题设；
【小问2详解】
由（1）知，函数解析式为，则时次；
【小问3详解】
若，则且，可得且，
若，则且，可得且，
由题意，，
要使单日服务费达到1000元，只需，则，
所以，，
所以，最早需要在入住第6天启动该预案.
19. 已知函数为奇函数，其中为自然对数的底数．
（1）用定义证明函数的单调性；
（2）解不等式；
（3）已知函数与的图像关于点对称，设函数，若对，总，使得成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）函数是增函数；
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据奇函数的定义和性质，结合函数的单调性的定义、指数函数的单调性进行求解证明即可；
（2）利用函数的奇偶性和单调性进行求解即可；
（3）根据对称性的性质，结合存在性和任意性的性质进行求解即可.
【小问1详解】
因为的定义域为R且函数为奇函数，
所以，
因为，
所以是奇函数，符合题意，故成立；
，该函数是实数集上的增函数，理由如下：
设是任意两个实数，且，
则有，
因为，所以，所以，
所以函数是实数集上的增函数；
【小问2详解】
因为函数是实数集上的增函数又是奇函数，
所以由
,
所以不等式的解集为；
【小问3详解】
因为函数与的图象关于点对称，
所以，
显然，
所以有，
，
令，当时，，
设，
所以，
于是当时，，
对，总，使得成立，
所以有，
即实数的取值范围为.
入住天数
1
2
3
日均使用频次（次）
5
14
41